17 第十七章 推理与证明.doc

第十七章 推理与证明知识网络推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比直接证明间接证明数学归纳法综合法分析法反证法第1讲 合情推理和演绎推理 知识梳理1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.2、合情推理:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提-已知的一般原理；（2）小前提-所研究的特殊情况；（3）结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断。重难点突破重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性问题1：观察：； ；.对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 _.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，则当与抛物线的对称轴垂直时，的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于、两点，则当与椭圆的长轴垂直时，的长度最短（）3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理问题3：定义x为不超过x的最大整数，则-2.1= 点拨：“大前提”是在找最大整数，所以-2.1=-3热点考点题型探析考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律例1 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。；【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” 解析猜想：证明：左边=右边【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） 例2 (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_;=_. 【解题思路】找出的关系式解析 【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系【新题导练】1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式： 根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为_ .解析的分解中，最小的数依次为3，7，13，由得2. (2008惠州调研二理)函数由下表定义：若，则 4 解析 ，点评：本题为循环型3. (2008深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则；（答案用数字或的解析式表示）解析4. (2008揭阳一模)设, 则=（ ）A. B. C. D. 解析，=题型2 用类比推理猜想新的命题例1 (2008韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.【解题思路】从方法的类比入手解析原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等 例2 在中,若,则,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间 解析由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥中，三个侧面两两垂直，且与底面所成的角分别为，则”证明：设在平面的射影为，延长交于，记由得，从而，又，即【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等【新题导练】5. (2008深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为解析解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为6. (2008梅州一模)已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积 解析 7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为_,球心在的球的一般方程为_.解析 ；8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数和都是非零实数，方程和在复数集上的解集分别是和，则“”是“”的充分必要条件试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明解：（3）如果系数和都是非零实数，不等式和的解集分别是和，则“”是“”的既不充分也不必要条件可以举反例加以说明9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ； 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为_这个数列的前项和的计算公式为_解析在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；考点2 演绎推理 题型:利用“三段论”进行推理例1 （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 （填入中的某个字母）【解题思路】从分式的性质中寻找S值的变化规律 解析 因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到例2 （03上海）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=axM；（3）若函数f(x)=sinkxM ,求实数k的取值范围.【解题思路】函数f(x)是否属于集合M，要看f(x)是否满足集合M的“定义”，解（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意xR，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得ax=x,显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=axM.（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0M.当k0时，因为f(x)=sinkxM，所以存在非零常数T，对任意xR，有f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .因为k0，且xR，所以kxR，kx+kTR，于是sinkx 1，1，sin(kx+kT) 1，1，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2m, mZ . 当T=1时，sin(kxk)=sinkx 成立，即sin(kxk+)= sinkx 成立，则k+=2m, mZ ，即k=2(m1) , mZ .实数k的取值范围是k|k= m, mZ【名师指引】学会紧扣“定义”解题【新题导练】10. (2008珠海质检理)定义是向量a和b的“向量积”，它的长度为向量a和b的夹角，若= .解析11. (2008深圳二模文)一个质点从出发依次沿图中线段到达、各点，最后又回到（如图所示），其中：，欲知此质点所走路程，至少需要测量条线段的长度，则（B）A B C D解析只需测量3条线段的长12. (2008惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文，例如，明文对应密文当接受方收到密文时，则解密得到的明文为（ ） A 4，6，1，7 B 7，6，1，4 C 6，4，1，7 D 1，6，4，7解析 由得，选C13.对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则（ ）A B C D解：由题意，解得，所以正确答案为（B）点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算我们可以把该题还原为：已知复数满足，则_抢分频道基础巩固训练1、对于集合A,B,定义运算，则=（ ）A.B B.A C. D. 解析D 用图示法2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是A使用了归纳推理 B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C3、（华南师大附中20072008学年度高三综合测试（三）给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）： “若”类比推出“” “若”类比推出“”“若”类比推出“若” “若”类比推出“若” 其中类比结论正确的个数有（ ）A1B2C3D4解析 类比结论正确的只有4、如图第n个图形是由正边形“扩展”而来,（，）。则第n2个图形中共有个顶点。解析 设第n个图中有个顶点，则，5、如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，都有.若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是_.解析 6、类比平面向量基本定理:“如果是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量，有且只有一对实数，使得”，写出空间向量基本定理是： 解析 如果是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量，有且只有一对实数，使得综合提高训练7、(2008汕头一模)设P是内一点，三边上的高分别为、，P到三边的距离依次为、，则有_；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是、，P到这四个面的距离依次是、，则有_。解析用等面积法可得，1，类比到空间有8、(2008惠州一模)设 ，又记 则（ ） A； B； C； D；解析 C ，9、（1）已知等差数列，（），求证：仍为等差数列；（2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明解析（1），为等差数列为常数，所以仍为等差数列；（2）类比命题：若为等比数列，（），则为等比数列证明：，为常数，为等比数列10、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。（1）若定义在(0，)上的函数M，试比较与大小.（2）设函数g(x)x2，求证：g(x)M. 解析 (1)对于，令得<(2) ,所以g(x)M第2讲 直接证明与间接证明 知识梳理三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立重难点突破重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题1.从命题的特点、形式去选择证明方法一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法问题1：对于任意非零实数，等式总不成立点拨：从命题的形式特点看，适合用反证法证明 2.比较复杂的命题，有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。热点考点题型探析考点1 综合法 题型：用综合法证明数学命题 例1 (东莞20072008学年度第一学期高三调研测试) 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明；【解题思路】证明函数（）满足三个条件解析（1）取可得 又由条件，故 （2）显然在0，1满足条件； 也满足条件若，则 ，即满足条件， 故理想函数 【名师指引】紧扣定义，逐个验证【新题导练】1.(2008年佛山)证明:若,则解析当时，两边取对数，得，又当时2.在锐角三角形中,求证:解析为锐角三角形，在上是增函数，同理可得，3. .已知数列中各项为：个个12、1122、111222、 ,证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.解析 个记：A = , 则A=为整数 = A (A+1) ， 得证 考点2 分析法题型：用分析法证明数学命题例2 已知,求证 解析要证，只需证 即，只需证，即证显然成立，因此成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证-只需证-”，而不是“因为-所以-”【新题导练】4. 若且，求证：解析要证，只需证即，因，只需证即，设，则成立，从而成立5. 已知，求证：解析 ，显然成立，故成立考点2 反证法 题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3 已知，证明方程没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 解析假设是的负数根，则且且，解得，这与矛盾，故方程没有负数根【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多【新题导练】6. （08江西5校联考）某个命题与正整数有关，若时该命题成立，那么可推得时该命题也成立，现在已知当时该命题不成立，那么可推得 A.当时，该命题不成立 B.当时，该命题成立C.当时，该命题不成立 D.当时，该命题成立解析用反证法，可证当时，该命题不成立7.设a、b、c都是正数，则、三个数A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于2解析 ，举反例可排除A、B、C，故选D8.已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、不可能成等差数列解析 a、b、c成等差数列，假设、成等差数列，则，从而与矛盾，、不可能成等差数列9. （广东省深圳市宝安中学、翠园中学2009届高三第一学期期中联合考试）下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915 请将错误的一个改正为 = 解析，所以3和9的对数值正确，若正确，则从而，即，矛盾。故15的对数值错误，应改正为抢分频道基础巩固训练1.（2008年华师附中）用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于”时，应假设（ ）A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于解析 B2.已知，关于的取值范围的说法正确的是（ ）A. 不大于 B.不大于2 C.不小于2 D.不小于解析 B3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定解析 B4.要证明不等式成立，只需证明： 解析 5.已知 与的大小关系是 解析 （注意：不能取等号）用平均值不等式6. (07年惠州第一问)已知数列满足, ，求证：是等比数列； 解析由an1an6an1，an12an3(an2an1) (n2)a15，a25a22a115故数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列 综合提高训练7. （金山中学2009届高三期中考）已知表中的对数值有且只有两个是错误的： x1.53568912lgx3a-b+c2a-ba+c1+a-b-c3(1-a-c）2(2a-b)1-a+2b请你指出这两个错误 （答案写成如lg20abc的形式）解析若错误，则也错误，反之亦然，此时其他对数值都正确，但，、且，若错误，则也错误， 正确若错误，也能导出错误，正确，正确，综上，8. 设函数为奇函数.（）求实数的值；（）用定义法判断在其定义域上为增函数解析（）依题意，函数的定义域为R是奇函数 （）由（）知， 设且，则在R上是增函数9. 已知证明： 解析即证： 设.当x（-1，0）时，k(x)>0，k(x)为单调递增函数；当x（0，）时，k(x)<0，k(x)为单调递减函数；x=0为k(x)的极大值点，k(x)k(0)=0.即10. 已知函数， 的最小值恰好是方程的三个根，其中求证：；解析三个函数的最小值依次为， 由，得 ，故方程的两根是，故， ，即 参考例题：1. 设为非零向量，且不平行，求证，不平行解析假设，则，不平行，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立2. 已知为锐角，且，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：； 求证： 解析 又为锐角 都大于0 , , 又 第3讲 数学归纳法 知识梳理1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 重难点突破重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题难点：对不同类型的数学命题，完成从k到k+1的递推重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法问题1用数学归纳法证明：错证：（1）当n=1时，左=右=1，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，那么当n=k+1时，综合（1）（2），等式对所有正整数都成立点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设2.归纳起点未必是1 问题2：用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为点拔：本题的归纳起点3.“归纳猜想证明”是一种重要的思维模式问题3：在数列中，求数列的通项公式点拨：本题有多种求法，“归纳猜想证明”是其中之一解析：猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，猜想成立（2）假设当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立综合（1）（2），对猜想都成立热点考点题型探析考点1 数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识例1 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立解析 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式（3）从和的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子【新题导练】1.用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）A. 1 B. C. D. 解析 n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B2.用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是 解析求即可当 n=k时，左边，n=k+1时，左边,故左边增加的式子是，即考点2 数学归纳法的应用题型1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等）例2 用数学归纳法证明不等式解析（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时， 不等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面【新题导练】3. 用数学归纳法证明等式：解析 （1）当n=1时，左=右，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立4.数列中，用数学归纳法证明：解析(1) 当n=1时, ,不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即，则，当n=k+1时， 不等式也成立综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立题型2 用“归纳猜想证明”解决数学问题 例3 是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立 解析 把n=1,2,3代入得方程组，解得，猜想：等式对一切都成立下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立（2）假设n=k时等式成立，即则所以当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2），对等式都成立【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式【新题导练】5. 在数列中，（1）写出；（2）求数列的通项公式解析 ，猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立（2）假设n=k时猜想成立，即则所以当n=k+1时，猜想也成立综合（1）（2），对猜想都成立抢分频道基础巩固训练1.用数学归纳法证明，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ）A.2k+1 B. C. D. 解析 左端需乘的代数式是=，选B2.用数学归纳法证明：1+时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）A. B. C. D.解析 项数为,选A3. 凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线数f(n+1)为（ ）A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2解析 C4. 如果命题对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知对n=4不成立，则下列结论中正确的是（ ）A. 对成立 B. 对n>4且成立C. 对n<4且成立 D. 对n4且不成立解析 D5.设，用数学归纳法证明“”时，第一步要证的等式是 解析 6.若存在正整数，使得能被整除，则= 解析36. ，猜想：=36综合提高训练7. 求证：证明(1)当n=1时，左端=1 ，右端=，左端=右端，等式成立；(2)假设n=k时，等式成立，即，则.所以，当n=k+1时，等式仍然成立由(1)(2)可知，对于等式依然成立.8. 证明：能被整除解析 （1）当n=1时，能被整除；（2）假设n=k时命题成立，即能被整除则可设（其中为次多项式）当当n=k+1时，能被整除所以，当n=k+1时，命题仍然成立由(1)(2)可知，对于命题依然成立.9. 在数列中，其中，求数列的通项公式解析 ，.由此可猜想出数列的通项公式为.以下用数学归纳法证明：(1)当n=1时，,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，即.则当n=k+1时，.这就是说，当n=k+1时等式也成立。由(1)(2)可知数列的通项公式10. 数列满足且 .用数学归纳法证明： ； 证明(1)当n=2时，不等式成立.假设当n=k时不等式成立，即 （，那么.这就是说，当n=k+1时不等式成立.根据可知：对所有成立.第十九章综合检测一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分）1. 集合P=1, 4, 9, 16，若aP, bP则abP，则运算可能是 A加法 B减法 C除法 D乘法解析 D.2. 若平面四边形满足,则该四边形一定是A直角梯形 B矩形 C正方形 D菱形解析 D.AB/CD,BDAC3. （2008·珠海市高三教学质量检测）给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：“若a,b”类比推出“若a,b”；“若a,b,c,d”类比推出“若a,b,c,d则”；“若a,b” 类比推出“若a,b”；其中类比结论正确的个数是 （ ）(A).0 (B).1 (C).2 (D).3 解析 B.正确命题4. (09深圳九校)平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到维向量，维向量可用表示.设,规定向量与夹角的余弦为.当,时，=ABCD解析 5. 下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是A B C D 解析 D6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2、值域为0,4的“同族函数”共有( )个.A. 2 B. 3 C. 4 D.无数解析3. 定义域可以是以下3种情况：0，2、0，-2、0，2，-27.（08南昌调研）对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做的上确界,若，则的上确界为ABCD 解析 B，的上确界为8. (2008深圳二模)如图，圆周上按顺时针方向标有五个点。一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点。该青蛙从这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是（）A. B C D解析 A每两次跳3个点，每跳10次回到5这个点，故跳2010次后它停在5这个点，跳2008次后它将停在的点是1二.填空题: （本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分）9. (2008中山一模)观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_个小正方形，第n个图中有 个小正方形.解析 28，.设第n个图中有个小正方形. ，10. 在数列中，满足设则合情推理推出=_ ,.=_.解析 ；11. (2008江苏模拟)已知 ,猜想的表达式为 解析 .,12. (2008韶关一模)在实数集上定义运算：，若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 解析 . ，13. (济宁市20072008学年度高三复习第一阶段质量检测)设等边的边长为,是内任意一点,且到三边、的距离分别为、,则有为定值;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体的棱长为,是正四面体内任意一点,且到平面、平面、平面、平面的距离分别为、，则有为定值 . 解析 14. （07韶关调研）设是等比数列的前项和,对于等比数列,有命题若成等差数列,则成等差数列成立；对于命题：若成等差数列, 则