高等数学86几何应用7方向导数梯度课件.ppt

2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,1,复习:平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,2,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,3,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,点击图中任意点动画开始或暂停,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,4,1.曲线方程为参数方程的情况,切线方程,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,5,此处要求,也是法平面的法向量,切线的方向向量:,称为曲线的切向量.,如个别为0,则理解为分子为 0.,不全为0,因此得法平面方程,说明:若引进向量函数,则,处的导向量,就是该点的切向量.,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,6,例1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解:由于,对应的切向量为,在,故,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,7,2.曲线为一般式的情况,光滑曲线,当,曲线上一点,且有,时,可表示为,处的切向量为,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,8,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,9,也可表为,法平面方程,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,10,例2.求曲线,在点,M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,11,法平面方程,即,解法2.方程组两边对 x 求导,得,曲线在点 M(1,2,1)处有:,切向量,解得,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,12,切线方程,即,法平面方程,即,点 M(1,2,1)处的切向量,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,13,解法3.,M(1,2,1),=(1,2,1),下面的解法相同。,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,14,二、曲面的切平面与法线,设 有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0.,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面.,上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,15,证:,在 上,得,令,由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上,从而切平面存在.,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,16,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,17,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,18,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,19,例3.求球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,20,例4.确定正数 使曲面,在点,解:二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切,故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面,因此有,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,21,1.空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,22,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2)一般式情况.,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,23,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1)隐式情况.,的法向量,切平面方程,2.曲面的切平面与法线,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,24,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线的方向余弦,法向量,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,25,思考与练习,1.如果平面,与椭球面,相切,提示:设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,26,证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示:在曲面上任意取一点,则通过此,2.设 f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.,点的切平面为,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,27,3.求曲线,在点(1,1,1)的切线,解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,28,4.证明曲面,与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立.,的所有切平面恒,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,29,第八章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,30,一、方向导数,定义:若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l(方向角为,)存在下列极限:,记作,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,31,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点 P 可微,得,故,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,32,对于二元函数,为,)的方向导数为,特别:,当 l 与 x 轴同向,当 l 与 x 轴反向,向角,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,33,例1.求函数,在点 P(1,1,1)沿向量,的方向导数.,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,34,例2.求函数,在点P(2,3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,35,例3.设,是曲面,在点 P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,36,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模:f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,37,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f(P)在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,2.梯度的几何意义,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,38,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数 f 的等值线.,则L*上点P 处的法向量为,同样,对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,指向函数增大的方向.,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,39,3.梯度的基本运算公式,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,40,例4.,证:,试证,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,41,三、物理意义,函数,数量场(数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,(势),如:温度场,电位场等,如:力场,速度场等,(向量场),注意:任意一个向量场不一定是梯度场.,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,42,例5.,已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点,试证,证:利用例4的结果,这说明场强:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向.,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,43,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向 l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l(方向角为,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,44,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,45,思考题,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,46,思考题解答,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,47,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,48,思考与练习,1.设函数,(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,2.P73 题 16,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,49,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,50,曲线,1.(1),在点,解答提示:,M(1,1,1)处切线的方向向量,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,51,2.P73 题 16,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,52,备用题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x,y,z 具有轮换对称性,(考研题),2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,53,精品课件！,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,54,精品课件！,2023年4月2日星期日,D8_6几何中的应用 8_7方向导数,55,指向 B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,2.函数,提示:,则,(考研题),