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第六章,决,策,分,析,-Decision Analysis,决策,就是人们在从事各种活动过程中所采取的决定或,者选择,。,决策分析,就是分析在各种条件下不同的决策行动的合,理性以及在多种可能方案中选择最佳方案的过程。,决策问题通常分为,确定性决策、风险性决策和不确定,性决策。,确定性决策,就是在决策环境完全确定的情况下进行的,决策，因而所作的决策应是合理的。,风险决策和不确定性决策,是在决策环境不完全确定的情况,下进行的决策，其中：,风险决策,对于其面临的自然状态发生的概率，决策者可以,预先计算或估计出来；,不确定性决策,对于其所面临的自然状态发生的概率，决策,者完全不知，只能靠决策者的主观倾向进行决策。,第一节,决策分析问题及其一般性描述,一、决策分析问题举例,例,1,某食品店牛奶的月需求量为,25,至,28,箱，每,箱牛奶的进价为,16,元，售价为,22,元。若牛奶当,月为售完，则因过期而每箱损失,16,元。试制定,食品店每月牛奶的订购箱数。,该问题的基本分析可用如下两个表格来描述,。,（,1,）收益（利润）,此处的收益表示利润。食品店在各种决策（订,货,25,28,箱）下的收益如下表。,表,1,不同决策下的收益表,单位：元,需求,订货,25,箱,26,箱,27,箱,28,箱,25,箱,150,150,150,150,26,箱,134,156,156,156,27,箱,118,140,162,162,28,箱,102,124,146,168,（,2,）损失,食品店的损失分两种情况,。,第一种情况,是订货大于需求,时，牛奶因过期而损失，损失价值为损失的箱数乘以每,箱进价；,第二种情况,是当需求大于订货量时，因失去获,取利润机会的机会损失，其损失值为需求超过订货的箱,数乘以每箱利润。食品店在各种决策下的损失如下表。,表,2,不同决策下的损失表,单位：元,需求,订货,25,箱,26,箱,27,箱,28,箱,25,箱,0,6,12,18,26,箱,16,0,6,12,27,箱,32,16,0,6,28,箱,48,32,16,0,例,2,某公司需要对某种新产品的批量作出决策。市场对该,种产品的需求有三种可能，即需求量大、需求一般和需,求量小。现有三种决策方案，即大批量生产、中批量生,产和小批量生产。经估算，各行动方案在各种需求的情,况下的收益值情况如下表，问哪种行动方案为最好？,表,3,收益表,单位：万元,自然状态,损益值,行动方案,需求量大,S,1,需求量一般,S,2,需求量小,S,3,大批量生产,A,1,36,14,-8,中批量生产,A,2,20,16,0,小批量生产,A,3,14,10,3,二、决策问题的一般性描述,（一）决策问题的基本要素,从以上两个例子可以总结出，决策问题一般包括三个基本,要素：,行动方案、自然状态和损益函数,(Alternative,State,of Nature,Payoff),。,首先，任何决策问题都必须具有两个或两个以上的行动方,案。通常用,A,i,（,i=1,，,，,m,）,表示某一具体的可行方案，,用,A=,A,1,，,A,2,，,，,A,m,表示方案集。,其次，任何决策问题，无论采取何种方案，都面临着一种,或几种,自然状态,。自然状态简称,状态,，也称事件。决策问,题中的自然状态是不可控制因素，因而是随机事件。通常,用,S,i,（,j=1,，,，,n,）,表示某一具体的状态，用,S=,S,1,，,S,2,，,，,S,n,表示状态集。,第三，在某一具体的状态下，作出某一具体的行动方案,（决策），必然会生产相应的,效果,，这种效果通常用,损益,函数,来描述。设在状态,S,j,下，作出决策为,A,i,，则其产生的,效果可用函数,r,ij,=R,（,A,i,，,S,j,）,来表示。,（二）决策问题的基本条件,（,1,）决策者有一个明确的预期达到的目标，如收益最大或,损失最小；,（,2,）存在着两个或两个以上的可供选择的行动方案；,（,3,）各行动方案所面临的可能的自然状态完全可知；,（,4,）各行动方案在不同的状态下的损益值可以计算或能够,定量地估计出来。,决策问题可以用,损益矩阵,或,损益值,表来描述，即决策问,题的模型。,（,1,）损益矩阵,(Pay off Matrix),：,R=,（,r,ij,）,m,n,i=1,，,2,，,，,m,；,j=1,，,2,，,，,n,（,2,）损益值表,(payoff table),?,上述是决策问题的一般性描述，决策者要作出满意的决策必须分,析问题的类型并确定正确的决策方法，这些是下面所要讲述的内容。,自然状态,损益值,行动方案,S,1,S,2,S,n,A,1,r,11,r,12,r,1n,A,2,r,21,r,22,r,2n,A,m,r,m1,r,m2,r,mn,第二节,不确定性决策,(Decision Making without probability),不确定性决策是在决策者已知决策可能面临的自然状态，,但各状态出现的概率完全不知情况下的决策。,由于缺乏自然状态的进一步信息，决策者只能根据自己的,主观判断，采用某一准则进行决策。,决策者可以根据具体情况，选用最为合适的准则进行决策。,除特别说明外，以下所说损益值均为收益。若损益值为损,失，则各决策准则需要作相应地调整。,一、悲观准则,(,保守法,conservative,approach,),决策者总是从最不利的角度去考虑问题。认为，不论作,出什么决策，总会出现最不利的状态与之对应。这样，,决策者只能对各决策方案的最小损益值进行比较，从中,选择最大者对应的方案为满意方案。因此，该准则也称,最大最小准则。这是一种万无一失的保守型决策者的选,择准则。其数学描述如下：,则,r,*,所对应的方案为所选方案。,m,in,m,ax,),(,m,in,m,ax,*,ij,j,i,j,i,S,S,A,A,r,S,A,R,r,j,i,?,?,?,?,悲观准则举例,在各行中找出损益值最小的值，列于表中第五列，然,后在该列中找出最大值，对应方案为所选方案。,i,r,max,*,?,3,min,?,ij,j,r,min,ij,j,r,故应选方案,A,3,自然状态,损益值,行动方案,需求,量大,S,1,需求,一般,S,2,需求,量小,S,3,悲观法,大批量生产,A,1,36,14,-8,-8,中批量生产,A,2,20,16,0,0,小批量生产,A,3,14,10,3,3,二、乐观准则,(optimistic,approach),与悲观准则相反，在该准则下，决策者总是从最有利的,角度去考虑问题，即认为，,无论采取何种决策，总会出,现最有利的自然状态与之对应。,这样，决策者可以对各,决策方案的最大损益值进行比较，从种选择最大值，相,应的方案为最优方案。其数学描述如下：,则,r,*,所对应的方案为所选方案。,这种决策方法是一种偏于冒险的决策方法，在客观条件,一无所知的情况下，一般不宜采用这种方法进行决策。,max,max,),(,max,max,*,ij,j,i,j,i,S,S,A,A,r,S,A,R,r,j,i,?,?,?,?,乐观准则举例,在各行中找出损益值最小的值，列于表中第五列，然,后在该列中找出最大值，对应方案为所选方案。,i,r,max,*,?,36,max,?,ij,j,r,max,ij,j,r,故应选方案,A,1,自然状态,损益值,行动方案,需求,量大,S,1,需求,一般,S,2,需求,量小,S,3,乐观法,大批量生产,A,1,36,14,-8,36,中批量生产,A,2,20,16,0,20,小批量生产,A,3,14,10,3,14,三、乐观系数准则,(Hurwicz,decision,criterion),这是一种折中的准则，,即决策者对客观条件的估计既,不乐观也不悲观，主张一种平衡。,通常用一个表示乐,观程度的系数来进行这种平衡。其数学描述如下：,则,r,*,所对应的方案为所选方案。,其中，,为乐观系数,（,01,），,当,=1,时，就是乐观,准则，当,=0,时，就是悲观准则。,d,i,为第,i,方案的折中,损益值。,m,i,r,r,d,ij,j,ij,j,i,1,min,),1,(,max,?,?,?,?,?,?,?,max,*,i,i,d,r,?,乐观系数准则举例,选乐观系数为,=0.6,，则有：,=18.4,d,2,=0.6,20+0.4,0=12,d,3,=0.6,14+0.4,3=9.6,故选方案,A,1,。,min,ij,j,r,max,ij,j,r,),8,(,4,.,0,36,6,.,0,min,),1,(,max,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,j,j,j,j,r,r,d,?,?,自然状态,损益值,行动方案,需求,量大,S,1,需求,一般,S,2,需求,量小,S,3,悲观法,乐观法,大批量生产,A,1,36,14,-8,-8,36,中批量生产,A,2,20,16,0,0,20,小批量生产,A,3,14,10,3,3,14,四、后悔值准则,(,minimum,regret,approach,),该准则认为，,决策者制定决策之后，如果实际情况没有,达到理想的结果，决策者必后悔,。该准则将各自然状态,下的最大损益值确定为理想目标，将该状态下的各方案,的损益值与理想值的差值称为相应方案的后悔值（或称,为机会损失值），然后在各方案的最大后悔值中选择一,个最小的，相应的方案为最优方案。因此，该原则也称,为最小后悔值准则。其数学描述如下：,则,h,*,所对应的方案为所选方案。,式中，,h,ij,为在状态,S,j,下采取方案,A,i,的后悔值；,h,*,为最小,最大后悔值。,n,j,m,i,r,r,h,ij,ij,i,ij,1,;,1,max,?,?,?,?,?,?,max,min,*,ij,j,i,h,h,?,后悔值法举例,首先按公式,(i=1,，,，,m,；,j=1,，,，,n),计算后悔值，结果如下表：,表,6,后悔值决策表,根据表中数据有：,=11,，,因此，按此方法应选方案,A,1,。,max,ij,j,h,max,min,*,ij,j,i,h,h,?,ij,ij,i,ij,r,r,h,?,?,max,自然状态,损益值,行动方案,需求,量大,S,1,需求,一般,S,2,需求,量小,S,3,大批量生产,A,1,0,2,11,11,中批量生产,A,2,16,0,3,16,小批量生产,A,3,22,6,0,22,五、等可能准则,（,Laplace,decision,criterion,）,等可能准则的思想是：,认为各自然状态发生的可能性均相,同，即若有,n,各自然状态，则每个自然状态出现的概率均,为,1/n,。这样，就可以求各方案损益值的期望值，取期望,值最大所对应的方案为最优方案。其数学描述如下：,则,r,*,所对应的方案为所选方案。若有几个方案的期望损益,值均为最大，则需要另用悲观准则在这几个方案中选择。,式中，,ER,（,A,i,）为方案,A,i,的期望损益值。,m,i,r,n,A,ER,n,j,ij,i,1,1,),(,1,?,?,?,?,?,),(,max,*,i,i,A,ER,r,?,等可能准则举例,因为自然状态只有三个，按各自然状态出现的概率,均为,1/3,来计算各方案的期望损益值，有,故应选方案,A,1,。,14,),8,14,36,(,3,1,3,1,),(,3,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,j,j,r,A,ER,12,),0,16,20,(,3,1,),(,1,?,?,?,?,A,ER,9,),3,10,14,(,3,1,),(,3,?,?,?,?,A,ER,不确定性决策总结,综上所述，对于非确定性决策问题，采用不同,的决策方法所得结果可能会不同，而且也难以,判断各方法的优劣。之所以这样，是因为这些,方法之间没有一个统一的评判标准。因此，实,际应用中选择何种方法，取决于决策者对自然,状态所持的主观态度。若态度悲观，则选用悲,观法；若重视机会，则采用后悔值法；若认为,各状态出现的机会相等，则可采用等可能准则。,第三节,风险决策,(Decision Making with Probability),为了提高决策的客观性，决策者通常需要对,决策所面临的自然状态所出的概率进行统计,分析。此时，决策者虽然知道自然状态出现,的概率，但仍然不知道哪种自然状态肯定会,出现，因此决策仍然具有一定的风险。所以,这种条件下的决策称为风险决策。,决策问题的统计分析,本章例,1,中，为了获得每月牛奶不同需求量的概率，食,品对过去,20,个月的牛奶需求进行了统计，结果如下表。,表,7,各种需求量的概率统计分析表,每月需求量（箱,数）,各种需求出现次,数的统计,各种需求出现的,概率,25,2,次,0.1,26,6,次,0.3,27,10,次,0.5,28,2,次,0.1,20,次,1.0,这样，就得到如下表所示的决策信息（风险决策表）。,状态,损益值,方案,25,箱,(S,1,),26,箱,(S,2,),27,箱,(S,3,),28,箱,(S,4,),P,（,S,1,）,=0.1,P,（,S,2,）,=0.3,P,（,S,3,）,=0.5,P,（,S,4,）,=0.1,25,箱（,A,1,）,150,150,150,150,26,箱（,A,2,）,134,156,156,156,27,箱（,A,3,）,118,140,162,162,28,箱（,A,4,）,102,124,146,168,一、最大可能准则,由概率论的知识可知，一个事件的概率越大，则该事件,发生的可能性就越大。,最大可能准则就是在风险决策的情况下，选择一个概率,最大的自然状态进行决策，而不考虑其它自然状态，这,样，就将风险决策问题变成了一个确定性的决策。,该准则的数学描述如下：,则,r,*,所对应的方案为所选方案。,),(,max,),(,j,j,k,S,P,S,P,?,max,*,ik,i,r,r,?,例,4,用最大可能准则对下表所表述的问题进行决策。,故应选方案,A,3,。,注意：,该方法适用于有一个自然状态的概率明显大于其,它状态的概率，且收益矩阵中的元素相差不大的情况。,当各自然状态的概率相差不大时，不宜使用该方法,。,5,.,0,),(,max,),(,3,?,?,j,j,S,P,S,P,162,max,33,3,*,?,?,?,r,r,r,i,i,状态,损益值,方案,25,箱,(S,1,),26,箱,(S,2,),27,箱,(S,3,),28,箱,(S,4,),P,（,S,1,）,=0.1,P,（,S,2,）,=0.3,P,（,S,3,）,=0.5,P,（,S,4,）,=0.1,25,箱（,A,1,）,150,150,150,150,26,箱（,A,2,）,134,156,156,156,27,箱（,A,3,）,118,140,162,162,28,箱（,A,4,）,102,124,146,168,二、期望值准则,(,expected,value,approach,),（一）最大期望收益准则,期望收益最大值所对应的方案为最优方案。其数学描,述为,则方案,A,k,为最优方案。,),(,max,),(,1,),(,),(,1,i,i,k,n,j,ij,j,i,A,ER,A,ER,m,i,r,S,P,A,ER,?,?,?,?,?,?,?,举例,用最大期望准则对下表所表述的问题进行决策。,解：各方案的期望收益值计算如下,ER,（,A,1,）,=0.1,150+0.3,150+0.5,150+0.1,150=150.0,（元）,ER,（,A,2,）,=0.1,134+0.3,156+0.5,156+0.1,156=153.8,（元）,ER,（,A,3,）,=0.1,118+0.3,140+0.5,162+0.1,162=151.0,（元）,ER,（,A,4,）,=0.1,102+0.3,124+0.5,146+0.1,168=137.2,（元）,故方案,A,2,为最优方案,。,8,.,153,),(,max,),(,2,?,?,i,i,A,ER,A,ER,状态,损益值,方案,25,箱,(S,1,),26,箱,(S,2,),27,箱,(S,3,),28,箱,(S,4,),P,（,S,1,）,=0.1,P,（,S,2,）,=0.3,P,（,S,3,）,=0.5,P,（,S,4,）,=0.1,25,箱（,A,1,）,150,150,150,150,26,箱（,A,2,）,134,156,156,156,27,箱（,A,3,）,118,140,162,162,28,箱（,A,4,）,102,124,146,168,（二）期望损失准,最小期望损失准则就是先计算各方案的期望损失值，,然后加以比较，期望损失最小值所对应的方案为最,优方案。其数学描述为,则方案,A,k,为最优方案。,式中,h,i,j,为在状态为,S,j,下作出决策为,A,i,的机会损失,。,),(,min,),(,1,),(,),(,1,i,i,k,n,j,ij,j,j,A,EL,A,EL,m,i,h,S,P,A,EL,?,?,?,?,?,?,?,解：各方案的期望损失值计算如下,EL,（,A,1,）,=0.1,0+0.3,6+0.5,12+0.1,18=9.6,（元）,EL,（,A,2,）,=0.1,16+0.3,0+0.5,6+0.1,12=5.8,（元）,EL,（,A,3,）,=0.1,32+0.3,16+0.5,0+0.1,6=8.6,（元）,EL,（,A,4,）,=0.1,48+0.3,32+0.5,16+0.1,0=22.4,（元）,故方案,A,2,为最优方案,，与最大期望收益准则所得结论相同。,元）,(,8,.,5,),(,min,),(,2,?,?,i,i,A,EL,A,EL,举例,用期望损失准则对下表所表述的问题进行决策,。,状态,损益值,方案,25,箱,(S,1,),26,箱,(S,2,),27,箱,(S,3,),28,箱,(S,4,),P,（,S,1,）,=0.1,P,（,S,2,）,=0.3,P,（,S,3,）,=0.5,P,（,S,4,）,=0.1,25,箱（,A,1,）,0,6,12,18,26,箱（,A,2,）,16,0,6,12,27,箱（,A,3,）,32,16,0,6,28,箱（,A,4,）,48,32,16,0,可以证明，对于同一问题，用最大期望准则和最小期望,损失准则进行决策，其结果是完全相同的。具体如下,由于,对于某一具体的问题，,为常数，,因此，当,ER,（,A,i,）为最大时，,EL,（,A,i,）必为最小。,n,j,m,i,r,r,h,ij,ij,i,ij,1,;,1,max,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,j,ij,ij,i,j,j,ij,j,i,r,r,S,P,h,S,P,A,EL,max,),(,),(,),(,?,?,?,?,?,?,?,j,i,ij,i,j,j,j,ij,j,ij,i,j,A,ER,r,S,P,r,S,P,r,S,P,),(,max,),(,),(,max,),(,?,?,j,ij,i,j,K,r,S,P,max,),(,三、决策树法,(,decision,tree,),决策树法,就是用一种树状的网络图形（即决策树）进行,决策分析，其决策准则是期望值准则，这就是决策树法。,（一）决策树法步骤,为了说明决策树法的决策过程，我们用决策树法对例,2,所,提出的问题进行决策。决策收益及各状态的概率如表,自然状态,损益值,行动方案,需求量,大,S,1,需求一,般,S,2,需求量小,S,3,ER(A,i,),大批量生产,A,1,36,14,-8,16.2,中批量生产,A,2,20,16,0,14,小批量生产,A,3,14,10,3,9.8,该问题的决策树如下图所示,。,需求量大,S,1,（,0.3,）,需求一般,S,2,（,0.5,）,需求量小,S,3,（,0.2,）,36,14,-8,A,1,需求量大,S,1,（,0.3,）,需求一般,S,2,（,0.5,）,需求量小,S,3,（,0.2,）,20,16,0,A,2,需求量大,S,1,（,0.3,）,需求一般,S,2,（,0.5,）,需求量小,S,3,（,0.2,）,14,10,3,A,3,1,16.2,14,9.8,大批量生产,A,1,中批量生产,A,2,小批量生产,A,3,16.2,图,1,图,1,所描述的是一个单级决策问题。有些决策问题包括,两级以上的决策，即所谓的多级决策（也称序贯决策）,问题。这类决策问题用决策树法可以有效地加以解决,（二）决策树法举例,例,7,某企业需要在是否引进新产品之间进行决策，即开,始时有引进新产品和不引进新产品两种方案。若引进新,产品，又面临其它企业的竞争。估计有其他企业参与竞,争的概率为,0.8,，没有企业参与竞争的概率为,0.2,。在无,竞争的情况下，企业有给产品确定高价、中价和低价三,种方案，其相应的收益分别为,500,、,300,和,100,万元。在,有竞争情况下，企业也有给产品确定高价、中价和低价,三种方案，但此时各方案的收益大小要受到竞争企业的,产品定价的影响，有关数据如表,11,。试用决策树法进行,决策。,表,11,竞争企业定价方案,高价,中价,低价,本企,业,定价,方,案,高,价,概率,收益,(,万,元,),0.3,150,0.5,0,0.2,-200,中,价,概率,收益（万,元）,0.1,250,0.6,100,0.3,-50,低,价,概率,收益（万,元,）,0.1,100,0.2,50,0.7,-100,解：首先画出决策树如图,2,引进产品,156,对手高价,(0.3),对手中价,(0.5),对手低价,(0.2),5,150,0,-200,5,对手高价,(0.1),对手中价,(0.6),对手低价（,0.3,）,6,250,100,-50,70,对手高价,(0.1),对手中价,(0.2),对手低价,(0.7),7,100,50,-100,-50,本企业高价,本企业低价,本企业中价,3,70,本企业高价,本企业中价,本企业低价,500,300,100,4,有竞争,（,0.8,）,无竞争,（,0.2,）,500,2,0,不引进产品,1,156,图,2,决策树法总结,从上述讨论可以看出，决策树方法可以通过,一个简单的决策过程，使决策者可以有顺序、,有步骤地周密考虑各有关因素，从而进行决,策。对于较复杂的多级决策问题，可以画出,树形图，以便,集体讨论、集体决策,。,第四节,信息的价值与贝叶斯决策,一、全信息的价值,(expected,value,of,perfect,information,EVPI),所谓全信息就是关于自然状态的准确信息。,当决策者获得了全信息，决策者就能正确地作出决策。,例如：在下表中，当决策者准确知道会出现自然状态,S,1,时，就会作出大批量生产的决策，同理，,自然状态,损益值,行动方案,需求量,大,S,1,需求一,般,S,2,需求量小,S,3,ER(A,i,),大批量生产,A,1,36,14,-8,16.2,中批量生产,A,2,20,16,0,14,小批量生产,A,3,14,10,3,9.8,若决策者掌握了全信息，就会给决策者带来额外的收,益，这个,额外的收益就是全信息的价值,。,全信息的价值来源于决策者,总能作出正确的决策，从,不会后悔,。,在这种情况下，决策者的期望收益称为,全,信息期望收益,，,其数学描述为,式中，,r,j,*,为在状态,S,j,下作出正确决策的收益值。,EPPI,就是全信息期望收益。,在决策者未获得全信息的情况下，决策只能根据期望,收益最大准则来选择方案。若所选方案的期望收益为,ER,*,，则全信息的价值为,EVPI=EPPI,ER,*,max,*,ij,i,j,r,r,?,?,?,?,j,j,j,r,S,P,EPPI,*,),(,对于上表所描述生产规模的决策问题，计算其全信息的价,值,r,1,*,=36,；,r,2,*,=16,；,r,3,*,=3,EPPI=0.3,36+0.5,16+0.2,3=19.4,（万元）,在未获得信息的情况下，只能作出方案,A,1,的决策，其期望,收益为,ER,*,=max16.2,，,14,，,9.8=16.2=ER,（,A,1,）,这样,EVPI=EPPI,ER,*,=19.4,16.2=3.2,（万元）,这,3.2,万,元就是本问题完全信息的价值，它一方面说明完全,信息能给决策者带来更大的收益，另一方面说明决策在现,有情况下，无论怎样去补充信息，最大能增加,3.2,万元的收,益。,关于全信息的几点结论,信息可以给决策者带来额外的收益，决策者当然想尽,可能的获取全面的信息。,获取信息往往要付出代价，若获取完全信息的代价小,于全信息价值，决策者就应投资获取全信息，反之，,决策者就不应投资获取全信息,。,对于随机事件，全信息实际上是不存在的。,一般说来，研究或购买只能得到部分信息，然而这一,部分信息也是有价值的。在具有部分信息的情况下应,如何决策，这就是下面要说的,贝叶斯决策。,二、贝叶斯决策,(,Bayes,Decision,),在实际决策中人们往往采取各种“试验”手段（抽样,调查、抽样检验、购买信息、专家咨询等）获取信,息,不完全信息或样本信息,(,Sample Information,),。,样本信息也可以给决策者带来额外收益，该额外收益,就是,样本信息的价值,(,Expected Value of sample,information,),。,对于风险决策问题，由过去经验或专家估计所获得的,各自然状态的概率称为,先验概率,(,prior probabilities,),。,决策者通过“试验”等手段，获得了自然状态出现概,率的新信息作为补充信息，用它来修正原来的先验概,率估计，得到修正后的各状态的概率，这种概率称之,为,后验概率,(,posterior probabilities,),。,后验概率通常要比先验概率准确可靠，可作为,决策者进行决策分析的依据。由于这种概率的,修正是借助于贝叶斯定理完成的，所以这种情,况下的决策称之为,贝叶斯决策。,贝叶斯决策的具体步骤：,（,1,）先由过去的资料和经验获得状态发生的先,验概率；,（,2,）根据调查或试验得到各状态下试验事件的,条件概率，并利用贝叶斯公式计算出各状态的,后验概率，即,式中,P,（,S,j,）为状态,S,j,的先验概率；,P,（,B,k,|S,j,）为试验获,取的信息，其意义为在状态为,S,j,条件下出现事件,B,k,的概率；,P,（,S,j,|B,k,）为试验事件为,B,k,时状态,S,j,的后验概率（条件概,率）。,?,为全概率公式。,（,3,）利用后验概率代替先验概率进行决策分析。,l,k,n,j,S,B,P,S,P,S,B,P,S,P,B,S,P,n,i,i,k,i,j,k,j,k,j,1,;,1,),|,(,),(,),|,(,),(,),(,?,?,?,?,?,?,),|,(,),(,),(,1,?,?,?,n,i,i,k,i,k,S,B,P,S,P,B,P,概率论相关知识,条件概率,设,A,为一个随机事件，称在“事件,B,出现”的,条件下，事件,A,的概率为“事件,B,出现下事件,A,的条件概率。,记为,P,（,A|B,）。,条件概率举例,：,一批零件共,100,个，次品率,10%,。从中任,取一个零件，取出后不放回去，再从余下的部分中任取一,个零件。求在第一次取得次品的情况下，第二次取得正品,的概率。,解,：,事件,A,第一次取得次品；事件,B,第二次取得正品,这样,：,P,（,A,）,=10/100,P,（,B|A,）,=90/99,先验概率与后验概率举例,：,对以往数据分析结果表明，当,机器调整良好时，产品合格率为,90%,，而当机器发生某一,故障时，其合格率为,30%,。每天早上机器开动时，机器调,整好的概率为,75%,。试求已知某日早上第一件产品合格时，,机器调整良好的概率是多少？,解,：,事件,S,1,机器调整良好；事件,S,2,机器发生某一故障；,事件,B,1,产品合格；事件,B,2,产品不合格；,试验结果出现事件,B,1,这样,：,P,（,B,1,|S,1,）,=90%,；,P,（,S,1,）,=75%,；,P,（,S,2,）,=25%,；,P,（,B,1,|S,2,）,=30%,9,.,0,3,.,0,25,.,0,9,.,0,75,.,0,9,.,0,75,.,0,),|,(,),(,),|,(,),(,),|,(,),(,),|,(,2,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,S,B,P,S,P,S,B,P,S,P,S,B,P,S,P,B,S,P,P,（,S,1,|B,1,）,=0.9,即为试验结果为产品合格情况下，机器调整良好,的概率,后验概率,。,P,（,S,1,）,=75%,为,先验概率,。,若试验结果为,“第一件产品为次品，求机器调整良好”,的,概率,解,：,事件,S,1,机器调整良好；事件,S,2,机器发生某,一故障；事件,B,1,产品合格；事件,B,2,产品不合格；,试验结果出现事件,B,2,这样,：,P,（,B,2,|S,1,）,=10%,；,P,（,S,1,）,=75%,；,P,（,S,2,）,=25%,；,P,（,B,2,|S,2,）,=70%,3,.,0,7,.,0,25,.,0,1,.,0,75,.,0,1,.,0,75,.,0,),|,(,),(,),|,(,),(,),|,(,),(,),|,(,2,2,2,1,2,1,1,2,1,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,S,B,P,S,P,S,B,P,S,P,S,B,P,S,P,B,S,P,同理有：,7,.,0,7,.,0,25,.,0,1,.,0,75,.,0,7,.,0,25,.,0,),|,(,),(,),|,(,),(,),|,(,),(,),|,(,2,2,2,1,2,1,2,2,2,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,S,B,P,S,P,S,B,P,S,P,S,B,P,S,P,B,S,P,1,.,0,3,.,0,25,.,0,9,.,0,75,.,0,3,.,0,25,.,0,),|,(,),(,),|,(,),(,),|,(,),(,),|,(,2,1,2,1,1,1,2,1,2,1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,S,B,P,S,P,S,B,P,S,P,S,B,P,S,P,B,S,P,例,9,对于表,10,所描述的决策问题，决策者为了掌握更多的,信息，决定花费,1.5,万元请咨询公司调查该新产品的销路情,况。调查结果为：在需求量大的情况下，该新产品销路好,与不好的概率分别为,0.8,和,0.2,；在需求量一般的情况下，,该新产品销路好与不好的概率各为,0.5,；在需求量小的情况,下，该新产品销路好与不好的概率分别为,0.3,和,0.7,。这些,数据列于表,12,。,问：（,1,）花费,1.5,万元进行调查是否合算；,（,2,）应如何,根据调查结果进行决策。,S,B,需求量大,S,1,需求量一般,S,2,需求小,S,3,销路好,B,1,P,（,B,1,|S,1,）,=0.8,P,（,B,1,|S,2,）,=0.5,P,（,B,1,|S,3,）,=0.3,销路差,B,2,P,（,B,2,|S,1,）,=0.2,P,（,B,2,|S,2,）,=0.5,P,（,B,2,|S,3,）,=0.7,解：,根据所获信息，利用贝叶斯公式，可以得到修正后,的各自然状态的概率（后验概率）。,在信息为销路好时，有,P,（,B,1,）,=P(S,1,),P(B,1,|S,1,)+P(S,2,),P(B,1,|S,2,),+P,（,S,3,）,P,（,B,1,|S,3,）,=,0.3,0.8+0.5,0.5+0.2,0.3,=,0.55,因此有,4364,.,0,55,.,0,8,.,0,3,.,0,),(,),|,(,),(,),|,(,1,1,1,1,1,1,?,?,?,?,B,P,S,B,P,S,P,B,S,P,4545,.,0,55,.,0,5,.,0,5,.,0,),(,),|,(,),(,),|,(,1,2,1,2,1,2,?,?,?,?,B,P,S,B,P,S,P,B,S,P,1091,.,0,55,.,0,3,.,0,2,.,0,),(,),|,(,),(,),|,(,1,3,1,3,1,3,?,?,?,?,B,P,S,B,P,S,P,B,S,P,在销路差时，有,P,（,B,2,）,=P(S,1,),P(B,2,|S,1,)+P(S,2,),P(B,2,|S,2,),+P,（,S,3,）,P,（,B,2,|S,3,）,=0.3,0.2+0.5,0.5+0.2,0.7=0.45,因此有,1333,.,0,45,.,0,2,.,0,3,.,0,),(,),|,(,),(,),|,(,2,1,2,1,2,1,?,?,?,?,B,P,S,B,P,S,P,B,S,P,5556,.,0,45,.,0,5,.,0,5,.,0,),(,),|,(,),(,),|,(,2,2,2,2,2,2,?,?,?,?,B,P,S,B,P,S,P,B,S,P,3111,.,0,45,.,0,7,.,0,2,.,0,),(,),|,(,),(,),|,(,2,3,2,3,2,3,?,?,?,?,B,P,S,B,P,S,P,B,S,P,销路好时的各方案的期望收益为,ER,（,A,1,）,=P(S,1,|B,1,),r,11,+P(S,2,|B,1,),r,12,+P(S,3,|B,1,),r,13,=0.4364,36+0.4545,14+0.1091,(,8),=21.2(,万元,),ER(A,2,)=0.4364,20+0.4545,16+0.1091,0,=16(,万元,),ER(A,3,)=0.4364,14+0.4545,10+0.1091,3,=10.98(,万元,),ER,*,(B,1,)=max21.2,，,16,，,10.98=21.2(,万元,)=ER,（,A,1,）,即在销路好时，应选方案,A,1,。,销路差时的各方案的期望收益为,ER,（,A,1,）,=P(S,1,|B,2,),r,11,+P(S,2,|B,2,),r,12,+P(S,3,|B,2,),r,13,=0.1333,36+0.5556,14+0.3111,(,8),=10.09,（万元）,ER,（,A,2,）,=0.1333,20+0.5556,16+0.3111,0,=11.56,（万元）,ER,（,A,3,）,=0.1333,14+0.5556,10+0.3111,3,=8.36,（万元）,ER,*,（,B,2,）,=max10.09,，,11.56,，,8.36,=11.56,（万元）,=ER,（,A,2,）,即在销路差时，应选方案,A,2,。,样本信息的最大期望收益为,ERI=P(B,1,),ER,*,(B,1,)+P(B,2,),ER,*,(B,2,),=0.55,21.2+0.45,11.56=16.862,（万元）,样本信息的价值为,EVSI=ERI,ER,*,=16.862,16.2=0.662,（万元）,因此，用,1.5,万元的费用获取新的信息，远远超过其价,值本身，因此花费这笔咨询费并不合算。,数据、模型与决策案例,匹兹堡发展公司（,PDC,）决策分析问题,PDC,购买了一块地计划开发高档楼群。现有三个可供,选择的项目（方案）：,(1),小规模楼群：,30,栋大楼；,(2),中规模楼群：,60,栋大楼；,(3),大规模楼群：,90,栋大楼；,影响决策方案的主要因素之一就是对楼群需求的随机,性,高需求和低需求,。,经估计，各方案在两种需求的情况下将会产生不同的,收益，这些数据汇总在如下的损益表中；,PDC,楼群方案损益表,单位,:,百万美元,自然状态,决策方案,高需求,(s,1,),低需求,(s,2,),小规模楼群,(d,1,),中规