江苏省海安高级中学高三数学试卷.doc

江苏省海安高级中学高三数学试卷（25）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1 若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 i=1While i<6 ii+2 s2i+3End whilePrint sEnd2 下面程序运行后输出的结果为 3 在区间上随机取一个实数x，使得成立的概率是 4 设正项数列的前n项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则 5 已知集合，若，则的最小值为 x22yO （第7题图）6 由曲线，围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足，的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则 7 已知函数的导函数的图象如右图，若的极大值与极小值之和为，则的值为 8 椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率e是 9 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别是A（1,5）、B（1,3）、C（5,3）、D（5,5）若过原点的直线l将该矩形分割成面积相等的两部分，则直线l的方程是 10设函数， 则方程的实数解的个数为 11已知、为锐角，且，则 (第12题)12如图，已知圆M：，四边形ABCD为圆M 的内接正方形，E为边AB的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动，同时点F在边AD上运动时，的最大值是 13已知,若 或,则实数m的取值范围是 14定义区间的长度均为d c，其中若a、b为实数，且ab则满足不等式的x构成的区间长度之和为 二、解答题：本大题共6小题，计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，面积为，且， ，（1）求函数在区间上的值域；（2）若a =3，且，求b16（本小题满分14分）A1ABCPMNQB1C1如图，在三棱柱中，面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分别是的中点（1）求证：平面平面；（2）求证：平面MNQ 17（本小题满分14分）如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米均不小于2米，且要求“转角处”（图中矩形AEFG）的面积为8平方米（1）试用a表示草坪的面积，并指出a的取值范围；（2）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积32aab1818（本小题满分16分）椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2,0），且椭圆T过点E（2，） 的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P（1）求椭圆T的方程；（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：为定值19（本小题满分16分）设是等差数列，其前n项的和为（1）求证：数列为等差数列；（2）设各项为正数，若存在互异正整数m，n，p满足： mp=2n；. 求集合的元素个数；（3）设 (a为常数，a > 0，a 1，a1a2)，数列前n项和为对于正整数c，d，e，f，若c < d < e < f，且c + f= d + e， 试比较与的大小20（本小题满分16分）设x = m和x = n是函数的两个极值点，其中mn，（1）求的取值范围；（2）若，求证：（注：e是自然对数的底数）江苏省海安高级中学高三数学试卷（25）附加题21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B（矩阵与变换）若直线y = kx在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点，求实数k的值C（极坐标与参数方程）在极坐标系中，求曲线与的交点Q的极坐标【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）某产品在投放市场前，进行为期30天的试销，获得如下数据： 日销售量（件）012345频数1361064在试销期间，每天开始营业时商品有5件，当天营业结束后，进行盘点存货，若发现存量小于3件，则当天进货补充到5件，否则不进货（1）求超市进货的概率；（2）记为第二天开始营业时该商品的件数，求的分布列和数学期望23（本小题满分10分）（1）设函数，求的最小值； （2）设正数满足， 求证：江苏省海安高级中学高三数学试卷（25）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1 若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 i=1While i<6 ii+2 s2i+3End whilePrint sEnd【答案】62 下面程序运行后输出的结果为 【答案】 17 3 在区间上随机取一个实数x，使得成立的概率是 【答案】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y22x的焦点为F.设M是抛物线上的动点，则的最大值为 【答案】4 设正项数列的前n项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则 【答案】5 已知集合，若，则的最小值为 【答案】对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数若是倍值函数，则实数的取值范围是 【答案】x22yO （第7题图）6 由曲线，围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足，的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则 【答案】4:37已知函数的导函数的图象如右图，若的极大值与极小值之和为，则的值为 【答案】8椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率e是 【答案】9如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别是A（1,5）、B（1,3）、C（5,3）、D（5,5）若过原点的直线l将该矩形分割成面积相等的两部分，则直线l的方程是 【答案】4x-3y=0等差数列的n项的和为，且，则a1= 【答案】201110设函数， 则方程的实数解的个数为 【答案】311已知、为锐角，且，则 (第12题)【答案】112如图，已知圆M：，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E为边AB的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动，同时点F在边AD上运动时，的最大值是 【答案】813已知,若或,则实数m的取值范围是 【答案】（1,0）14定义区间的长度均为d c，其中若a、b为实数，且ab则满足不等式的x构成的区间长度之和为 【答案】 2二、解答题：本大题共6小题，计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，面积为，且， ，（1）求函数在区间上的值域；（2）若a =3，且，求b【答案】（1）由题设得：，即， ； ， ； ；在区间上的值域为（2）， ， ， 16（本小题满分14分）A1ABCPMNQB1C1如图，在三棱柱中，面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分别是的中点（1）求证：平面平面；（2）求证：平面MNQ【答案】（1）AC = BC，且P是AB的中点， ABPC，又，且 AB平面，又MN/AB，MN平面，又平面MNQ， 平面平面MNQ（2）连结交MN于点K，连结KQ，得QK/，平面MNQ，平面MNQ， /平面MNQ 17（本小题满分14分）如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米均不小于2米，且要求“转角处”（图中矩形AEFG）的面积为8平方米（1）试用a表示草坪的面积，并指出a的取值范围；32aab18（2）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积【答案】（1）由条件知：ab=8，b2， ，2a4 （2），当且仅当时，等号成立此时取得最大值400平方米18（本小题满分16分）椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2,0），且椭圆T过点E（2，）的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P（1）求椭圆T的方程；（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：为定值【答案】（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以，解得， 故椭圆的方程为（方法2、待定系数法）（2）设，由：，两式相减，得到所以，即， 同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以 方法2：设直线：，代入椭圆，得到，化简得以下同19（本小题满分16分）设是等差数列，其前n项的和为（1）求证：数列为等差数列；（2）设各项为正数，若存在互异正整数m，n，p满足： mp=2n；. 求集合的元素个数；（3）设 (a为常数，a > 0，a 1，a1a2)，数列前n项和为对于正整数c，d，e，f，若c < d < e < f，且c + f= d + e， 试比较与的大小【答案】（1）an为等差数列，设其公差为，则，于是（常数），故数列是等差数列. 【解】（2）因为an为等差数列，所以是等差数列，于是可设为常数)，从而.因为m+p=2n，所以由两边平方得，即，亦即， 于是，两边平方并整理得因为mp，所以，从而，而a1=，所以.故. 所以.因为15有4个正约数，所以数对（x，y）的个数为4个.即集合中的元素个数为4. （3）因为（常数），所以数列bn是正项等比数列.因为a1a2，所以等比数列bn的公比q1. （解法一） . 因为，所以要证，只要证， 而. 显然成立，所以成立，从而有.（解法二）注意到当n>m时，. 于是而，故. （注：第（3）问只写出正确结论的，给1分）20（本小题满分16分）设x = m和x = n是函数的两个极值点，其中mn，（1）求的取值范围；（2）若，求证：来源（注：e是自然对数的底数）【答案】（1）函数的定义域为 依题意得：方程有两个不等的正根m，n （m<n） 故：，且m+n=a+2，mn=1则 所以：的取值范围为 （2）当时，若设，则 于是有来源:Z+xx+k.Com 构造函数（其中），则所以在上单调递减， 故：K江苏省海安高级中学高三数学试卷（25）附加题21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B（矩阵与变换）若直线y = kx在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点，求实数k的值【答案】设变换T：， 则， 即代入直线得， 将点代入得k4 （注：本题亦可将点在矩阵的逆矩阵作用下得到点的坐标代入直线，从而求出k的值）C（极坐标与参数方程）在极坐标系中，求曲线与的交点Q的极坐标【答案】将直线与圆分别化为普通方程得， 直线与圆， 易得直线与圆切于点Q， 所以交点Q的极坐标是 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）某产品在投放市场前，进行为期30天的试销，获得如下数据： 日销售量（件）012345频数1361064在试销期间，每天开始营业时商品有5件，当天营业结束后，进行盘点存货，若发现存量小于3件，则当天进货补充到5件，否则不进货（1）求超市进货的概率；（2）记为第二天开始营业时该商品的件数，求的分布列和数学期望。【答案】（1）P（进货）= P（销售3件）+ P（销售4件）+ P（销售5件） = （2）的取值是3，4，5. 即分布列是：345P 23（本小题满分10分）（1）设函数，求的最小值； （2）设正数满足， 求证：【答案】（1）对函数求导数： 于是当在区间是减函数，当在区间是增函数所以时取得最小值，（2）证法一：用数学归纳法证明（i）当n=1时，由（）知命题成立（ii）假定当时命题成立，即若正数，则当时，若正数令则为正数，且由归纳假定知 同理，由可得 综合、两式即当时命题也成立根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立证法二：令函数利用（）知，当对任意 下面用数学归纳法证明结论（i）当n=1时，由（I）知命题成立（ii）设当n=k时命题成立，即若正数 由得到 由归纳法假设 即当时命题也成立 所以对一切正整数n命题成立