南京理工自主招生数学试卷.doc
数学自主招生、保送生考试数学试卷一. 填充题:本大题共20小题,每小题5分,共计100分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设全集,则 2.若命题“”是假命题,则实数的取值范围为 .3.已知圆:,直线.过上一点作圆的切线,则当切线长最短时,点的坐标为 4.函数的值域为 5对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.观测次数12345678观测数据4042414444454748在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是 6.已知平面向量满足:与的夹角为,则的取值范围为 7. 已知正三棱柱的底面边长为1,两侧面的异面的对角线互相垂直,则该三棱柱的侧棱长为 8.某公司在2010年投资了一个项目,每年都既有现金投入,又有现金收入.已知2010年度公司投入了1000万元,以后每年投入将比上年减少20%;2010年度公司收入了500万元,以后每年收入会比上年增加25%.按此计算,公司将于 年即可收回全部投入.(参考数据:)9.已知椭圆为其左右焦点,为椭圆上任意一点,为内切圆圆心,点满足且(且),则椭圆的离心率是 10.已知关于方程，其中、是非零向量，且、不共线，则该方程实数解的个数为 个11.已知若不等式在上有解,则实数的取值范围为 12.已知，若函数存在整数零点，则的取值范围为 13.设表示不超过的最大整数,例如:等.则方程在内的解组成的集合为 14.已知数列满足:,且,则的通项公式为 15. 已知为正常数,若的最大值为,且,则的取值范围为 16.已知函数.（），那么下面命题中真命题的序号是 : 的最大值为;的最小值为; 在上是减函数; 在上是减函数.17.已知函数,若且在区间上的最小值为,则 18.设函数是定义在上的奇函数,且对任意的,当时,总有,则下列不等式一定成立的是 (填上你认为正确的结论的序号):; ; ; 19.在平面直角坐标系中,为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为,若点在直线上运动,定义.已知点，直线的方程为，则的最大值为 20.已知函数,若在上既有最大值,又有最小值,且最大值与最小值的和为,则 .二.解答题:本大题共6小题,共计100分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21（本小题满分14分）在锐角中,角的对边分别为,已知.（）若,求的值;（）求的最大值.22.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，侧棱,为中点.（）求证：；（）求证：平面平面；（）求点到平面的距离.23.（本小题满分14分） 某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：销售量(件)与衬衣标价(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：，在销售淡季近似地符合函数关系：，其中为常数；在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；若称中时的标价为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍请根据上述信息，完成下面问题：()分别写出销售旺季和销售淡季销售总利润(元)与标价(元/件)的函数关系式(含、或);()在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？24.（本小题满分18分） 已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，直线与抛物线交于两点.（）求抛物线的方程；（）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程；（）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值.25（本小题满分20分）如图,，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .（）求；（）求出点的横坐标关于的表达式；（）设，若对任意正整数及 ,不等式恒成立,求实数的取值范围.26（本小题满分20分）已知实数满足,设函数() 当，求的极小值；() 若函数的极小值点与的极小值点相同求的极大值的最大值,并求取到最大值时的值数学自主招生、保送生考试数学试卷参考答案一.填充题:本大题共20小题,每小题5分,共计100分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 2. 3. (2,2) 4. 5. 6. 7. 8. 2014 9. 10. 0或1 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 或 18. 19. 5 20. 8二.解答题:本大题共6小题,共计100分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21（本小题满分14分）解: （）. . 2分, 4分又,得 7分（）由（）知, ,即为锐角三角形,均为正数,当且仅当时等号成立. 10分 当且仅当时等号成立.,即的最大值的最大值为. 14分22.（本小题满分14分）解: （）设中点为，连结， 因为，所以. 1分又，所以. 2分CABPED因为，所以平面.因为平面，所以. 5分（）由已知，所以，. 又为正三角形，且，所以. 6分因为，所以. 所以. 8分又,平面,平面,所以平面.平面,平面平面. 10分（）设到平面平面的距离为,为的中点,到平面平面的距离为. 11分由,得到平面平面的距离为= 14分23.（本小题满分14分）解：（）旺季,淡季 5分 （）在（）的表达式中，由可知，在销售旺季，当时，利润取得最大值；在销售淡季，当时，利润取得最大值 7分下面分销售旺季和淡季进行讨论：由知，在销售旺季，商场以140元/件的价格出售时，能获得最大利润.因此在销售旺季，当标价时，利润取得最大值。此时，销售量为. 10分令得，故在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件.由知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为120元/件.可见在销售淡季，当标价时，. 12分在销售淡季，当时，利润取得最大值，故在销售淡季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为110元/件. 14分24.（本小题满分18分）解：（）抛物线 的准线为， 1分由抛物线定义和已知条件可知， 3分解得，故所求抛物线方程为. 4分（）联立，消并化简整理得. 依题意应有，解得. 5分设，则 7分设圆心，则应有.因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为， 8分 .所以 ，解得. 10分所以，所以圆心为.故所求圆的方程为. 12分（）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（）知，所以， 13分直线：整理得，点到直线的距离 ， 14分所以. 15分令，0极大由上表可得最大值为 . 17分所以当时，的面积取得最大值 . 18分25（本小题满分20分）解:（）. 3分（）依题意，则，在正三角形中，有 . 5分， ， 同理可得 . -并变形得， . 数列是以为首项，公差为的等差数列. 8分 ， ，. 10分（）， . 11分.当时，上式恒为负值，当时，数列是递减数列. 13分的最大值为. 14分若对任意正整数及,不等式恒成立则对任意,不等式恒成立,即恒成立. 15分设,则,在为增函数, 17分设,则,在为减函数,在为增函数,. 19分所以,实数的取值范围为. 20分26（本小题满分20分）解: () 当a2时，f (x)x23x2(x1)(x2) 列表如下：x(-，1)1(1，2)2(2，+)f (x)00f (x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，f (x)极小值为f (2) 6分()f (x)x2(a1)xa(x1)(xa)g (x)3x22bx(2b4)8分令p(x)3x2(2b3)x1， (1) 当 1a2时，f (x)的极小值点xa，则g(x)的极小值点也为xa，所以p(a)0，即3a2(2b3)a10，即b，19分此时g(x)极大值g(1)1b(2b4)3b3 8分由于1a2，故 212分此时13分(2) 当0a1时，f (x)的极小值点x1，则g(x)的极小值点为x1，由于p(x)0有一正一负两实根，不妨设x20x1，所以0x11，即p(1)32b310，故b15分此时g(x)的极大值点xx1， 有 g(x1)x13bx12(2b4)x1lnx11bx12(2b4)x1(x122x1)b4x11 (x122x10)(x122x1)4x1113分x12x11(x1)21 (0x11) 综上所述，g(x)的极大值小于等于 19分 综上, 的极大值的最大值为,取到最大值时的值分别为和20分
