职高二轮复习 《三角函数》 .doc

职高数学 三角函数 第二轮复习角的概念推广及其度量一、高考要求：1. 理解正角、负角及零角等概念,熟练掌握角的加、减运算;2. 理解弧度的意义,掌握弧度和角度的换算.二、知识要点：1. 角的概念:角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置而成的图形,旋转开始时的射线叫角的始边,旋转终止时的射线叫角的终边,射线的端点叫角的顶点.按逆时针旋转而成的角叫正角,按顺时针旋转而成的角叫负角,当射线没作任何旋转,我们称它形成一个零角.2. 象限角:把角置于直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就叫做第几象限的角,如果角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任一象限. 若为第一象限的角,则;若为第二象限的角,则;若为第三象限的角,则;若为第一象限的角,则.3. 终边相同的角:两个角的始边重合,终边也重合时,称两个角为终边相同的角.所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合: .4. 弧度制:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制,用“度”作单位来度量角的制度叫做角度制.已知,其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长,r为圆的半径.5. 弧度与角度的换算:三、典型例题：例1:已知角,(1) 在内找出所有与有相同终边的角;(2) 若集合,那么集合M与N的关系是什么?例2:若角是第二象限角,(1)问角是哪个象限的角? (2)角的终边在哪里?例3:一个扇形的面积是1,它的周长是4,求圆心角的弧度数和弦长.四、归纳小结：1. 角的大小表示旋转量的大小,各角和的旋转量等于各角旋转量的和.2. 角的概念推广后,注意辨别: (1)“间的角”、“第一象限的角”、“锐角”及“小于的角”;(2)“第一象限的角或第二象限的角”与“终边在x轴上方的角”.3. 正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.4. 公式中,比值与所取的半径大小无关,而仅与角的大小有关.5. 弧长公式为,扇形面积公式为.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列四个命题中正确的是( )A.第一象限角必是锐角 B.锐角必是第一象限角C.终边相同的角必相等 D.第二象限角必大于第一象限角2. 若、的终边相同,则的终边在( )A.x轴的正半轴上 B. y轴的正半轴上 C. x轴的负半轴上 D. y轴的负半轴上3. 若是第三象限角,则是( )A.第一或第三象限角 B.第二或第三象限角 C.第二或第四象限角 D.第一或第四象限角4. 终边是坐标轴的角的集合是( )A. B.C. D.5. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )A. B. C. D.26. 把表示成的形式,使最小的的值是( )A. B. C. D.（二）填空题：7. 与的角终边相同的最小正角是 ,与的角终边相同的绝对值最小的角是 .8. 若角与角的终边在一条直线上,则与的关系是 .9. 若角在间,则整数k的值是 .10. 终边落在直线上的角的集合是 .11. 经过5小时25分钟,时针和分针分别转的弧度数是 .12. 设、满足,则的范围是 .任意角的三角函数一、高考要求：1. 理解正弦、余弦、正切函数的定义,了解余切、正割、余割函数的定义;2. 熟记三角函数在各象限的符号,牢记特殊角的三角函数值.二、知识要点：1. 任意角三角函数的定义:直角坐标系中任意大小的角终边上一点P(x,y),它到原点的距离是,那么分别是的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数,这六个函数统称三角函数.2. 轴与有向线段:(1) 点P的坐标x、y分别是有向线段在x轴上和y轴上射影和的数量,如果x轴正向到方向的转角为,则.(2) 如果是直角坐标系xOy中的任一条有向线段,、分别是在x轴上和y轴上的正射影,x轴正向到方向的转角为,则.3. 单位园与三角函数线:半径为1的圆叫做单位圆,设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0),(-1,0),与y轴的交点分别为B(0,1),(0,-1).设角的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过点P作PM垂直x轴于M,设单位圆在点A的切线与的终边或其延长线相交于点T(),则cos=OM,sin=MP,tan=AT()把有向线段分别称做的余弦线、正弦线和正切线.4. 三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.5. 特殊角三角函数值:02sincostan三、典型例题：例1:已知角的终边与函数的图象重合,求的六个三角函数值.例2:判断下列三角函数式的符号:(1); (2)若sin=-2cos,确定cot与sec的符号.例3:当时,比较,sin,tan的大小.四、归纳小结：1. 三角函数定义中比值与角终边上点P(x,y)的位置无关,只与的大小有关.2. 若角的终边和单位圆相交于点P,则点P的坐标是P(cos,sin),用有向线段表示正弦值、余弦值、正切值时,要注意方向,分清始点和终点.3. 特殊角三角函数值及三角函数在各象限的符号是根据三角函数的定义导出的.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 已知,且,则是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2. 角终边上的单位向量在x轴上的正投影分量是( ) A. B. C. D.3. ,且,则a、b、c的大小关系为( ) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a4. 在六个三角函数中,当时没有意义的是( ) A. B. C. D.5. 将函数的图象右移个单位,平移后对应的函数为( ) A. B. C. D.6. 若,则在( ) A.一或二象限 B.一或三象限 C.二或三象限 D.二或四象限7. 已知,则点P(,)所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8. 若sin=2-,则实数m的取值范围是( ) A.1m9 B.0m9 C.0m1 D.m=1或m=99. 函数的值域是( ) A.-2,4 B.-2,0,4 C.-2,0,2,4 D.-4,-2,0,410. 设是第一象限角,那么( )A.sin>0 B.cos>0 C.tan>0 D.cot<011. 若,则等于( )A.sin B.csc C.-sin D.-sec12. 若是第一象限,那么能确定为正值的是( )A. B. C. D.（二）填空题：13. 已知,则= .14. 方程有实数解,则实数m的取值范围是 .15. 已知,为第二、三象限的角,则a的取值范围是 .16. 若,则等于 .同角三角函数的基本关系式一、高考要求：熟练掌握同角三角函数的基本关系式.二、知识要点：同角三角函数的两个基本关系式:,.三、典型例题：例1:已知,是第三象限的角,求的其他三角函数值.例2:求证:.四、归纳小结：同角三角函数的基本关系式还有,要求会证明.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 如果0x,且成立,则x的取值范围是( ) A.0x B.0x C.x或x D.0x或x2. 若是第三象限角,则等于( ) A.1 B. C.-1 D.03. 设角的终边过点P(-6a,-8a)(a0),则sin-cos的值是( ) A. B.或 C.或 D.4. 已知,且,则cos- sin的值是( ) A. B. C. D.5. 函数的值域是( ) A.-1,1,3 B.-3,-1,1 C.1,3 D.-3,16. 已知,并且是第二象限的角,则tan的值等于( ) A. B. C. D.7. 设,则的值是( ) A.1 B.2 C.-2 D.（二）填空题：8. 适合等式的x的集合是 .9. 已知,则的值是 .（三）解答题：10. 已知A是三角形的一个内角,且tanA=,求sinA,cosA的值.11. 已知:,求的值.12. 已知,求:的值.诱导公式一、高考要求：掌握诱导公式.二、知识要点：诱导公式: (一),;(二),;(三),;(四),.三、典型例题：例1:已知,计算: (1); (2).例2:化简: (1);(2).四、归纳小结：1. 将诱导公式中的用代替,即得到另外几组公式.2. 诱导公式可概括为:的各三角函数值,当k为偶数时,得角的同名三角函数值;当k为奇数时,得角相应的余函数值;然后放上把角看作锐角时的原函数所在象限的符号.即“奇变偶不变,符号看象限”.3. 解题思路是:负角化正角,大角化小角,最后化锐角.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 化简等于( ) A. B. C. D.2. 的值是( ) A. B. C. D.3. 的值是( ) A. B. C. D.4. 若,且,则的值是( ) A. B. C. D.5. 若,且,则的值是( ) A. B. C. D. 6. 若,那么的值是( ) A. B. C. D.（二）填空题：7. 硬盘在电脑启动后,每3分钟转2000转,则每分钟转弧度数为,其正弦值= .8. = .9. = .10. 计算= .（三）解答题：11. 若,求的值.12. 设,求的值.和角公式一、高考要求：掌握和角公式.二、知识要点：三、典型例题：例1:化简:.例2:已知,求.例3:求下列各式的值:(1); (2);(3) .四、归纳小结：要根据公式的形式特点会熟练地进行角的变形,如,等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 的值是( ) A. B. C.- D.2. ,则有( ) A. B. C. D.3. 化简的结果应为( ) A.1 B. C. D.4. 已知,则的值是( ) A.0 B. C.0或 D.0或5. 在中,的值是( ) A.或 B. C. D.6. 化简后是( ) A. B. C. D.7. 的值为( ) A. B. C. D.8. 等于( ) A. B.1 C. D.9. 设,且,则等于( ) A. B. C. D.10. 若,则等于( ) A. B. C. D.11. 已知,则的值是( ) A. B. C. D.（二）填空题：12. 计算= .13. 计算= .14. 计算= .15. ,且,则= .16. 已知,则的值是 .17. 如果,那么的值等于 .（三）解答题：18. 已知向量,将向量的长度保持不变绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置,求点的坐标.19. 已知,求的值.20. 已知,且,求.倍角公式一、高考要求：掌握倍角公式.二、知识要点：三、典型例题：例1:求值:.例2:已知,求值:(1); (2).四、归纳小结：掌握二倍角公式的变形:,.五、基础知识训练：（一）选择题：1. (96高职)如果,则的最简结果是( ) A. B. C. D.2. 已知:,那么的值等于( )A. B. C. D.3. 化简的结果是( ) A. B. C. D.4. 一个等腰三角形的顶角的正弦值为,则它的底角的余弦值为( ) A. B. C. D.或5. 已知,则的值等于( ) A. B. C.2 D.-26. 设,则有( ) A.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a7. 的值是( ) A.2 B.4 C.8 D.16（二）填空题：8. 已知是方程的两根,则= .9. 已知,则的值是 .10. 已知,则= .（三）解答题：11. 若,证明:.12. 证明下列恒等式:(1); (2);13. 已知:为锐角,且,求证:三角函数中的化简与求值问题一、高考要求：会求任意角的三角函数值,会证明简单的三角恒等式.二、知识要点：1. 利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式、倍角公式等进行变形,化简三角函数式、求某些角的三角函数值.2. 利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式、倍角公式等证明较简单的三角恒等式.三、典型例题：例1:求的值.例2:证明三角恒等式:.四、归纳小结：1. 三角函数求值的常用方法:一般是利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式、倍角公式等进行变换,使其出现特殊角,若非特殊角,则可出现正负抵消或约分等情况,从而求出其值.2. 已知某些函数值,求其它三角函数值,一般应先化简所求式子(或变化已知式),弄清所求的量,再求之.主要方法有:(1)消去法;(2)解方程(组)法;(3)应用比例的性质等. 3. 三角函数化简常用方法有:(1)切割化弦、高次化低次.4. 证明三角恒等式的基本思路是:根据等式特征,通过恒等变形、化繁为简、左右归一、变更改正等方法,化“异”为同,常用方法有:(1)定义法;(2)切割化弦法;(3)拆项拆角法;(4)“1”的代换法;(5)公式变通法等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 等于( )A. B. C. D.2. 的值等于( )A. B. C. D.3. 已知,则等于( )A.-1 B.1 C.-2 D.24. 已知,则等于( )A. B. C.7 D.-75. 已知,则等于( )A. B. C. D.（二）填空题：6. 化简:= .7. = .8. 已知,则的值等于 .（三）解答题：9. 证明: 10. 已知,且,求的值; 求的值.11. 设为锐角,且,求.三角函数的图象和性质一、高考要求：1. 熟练掌握正弦函数的的图象和性质,了解余弦、正切函数函数的图象和性质;2. 理解周期函数与最小正周期的意义;3. 掌握正弦型函数的图象和性质;4. 会用“五点法”画正弦函数、余弦函数、正弦型函数的简图.二、知识要点：1. 周期函数的概念:如果存在一个不为零的常数T,使函数,当x取定义域内的每一个值时, 都成立,就把叫做周期函数,其中常数T叫做周期.如果一个周期函数的所有周期中存在一个最小正数,就把这个最小正数叫做最小正周期.一般所说三角函数的周期就是它的最小正周期.2. 三角函数的图象和性质:RR-1,1-1,1RR奇函数偶函数奇函数奇函数上是增函数;上是减函数.上是增函数;上是减函数.上是增函数.上是减函数.3. 正弦型函数的图象和主要性质:定义域:R; 值域:-A,A;最大值是A,最小值是-A; 周期:.图象：可通过把函数的图象,沿x轴或y轴进行压缩或伸长,或沿x轴平移而得到.4. 用“五点法”作正弦函数、余弦函数、正弦型函数的图象:关键在于选出五个点:5. 可化为正弦型函数的函数(a、b是不同时为零的实数)的解法:设,则三、典型例题：例1:求函数的定义域.例2:已知函数,(1) 用五点法作出该函数的简图(坐标系的长度单位用1cm表示,并写出作图简要说明);(2) 求该函数的周期、最值、单调区间;(3) 说明该函数是通过的图象作怎样的变换得到的?四、归纳小结：1.解决非正弦函数、余弦函数、正弦型函数这三种形式的函数问题,要先通过诱导公式、同角三角函数的基本关系式、和角公式、倍角公式等变形为这三种形式.2.函数图象的变化规律:(1)的图象向左或向右平移个单位得到的图象;(2)的图象上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到的图象;(3)的图象上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍(横坐标不变)得到的图象.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 函数y=sinx+cosx的周期是( ) A. B. C. D.2. (已知,且,则a、b、c的大小关系为( )A.a>b>c B.b<c< a C.c>a>b D.c>b>a3. (函数y=3sin2x-4cos2x的周期与最小值是( ) A.;-5 B.;-7 C.;-5 D.2;-74. 下列命题: 其中正确的是( )函数在区间内是增函数; 函数在区间内是增函数;函数在区间内是减函数; 函数在区间内是减函数. A. B. C. D.5. 若为锐角,且,则下列关系式成立的是( ) A. B. C. D.6. 函数在上的单调递减区间是( ) A. B. C. D.7. 函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D.8. 设是锐角,则的值可能是( ) A. B. C. D.19. 函数的周期不大于2,则正整数k的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.1310. 是( ) A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数11. 函数的一个对称中心是( ) A. B. C. D.12. 由函数的图象得到函数的图象的原因是原函数图象( ) A.向左平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向右平移个单位13. 在下列函数中,以为周期的函数是( ) A. B. C. D.14. 下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D.15. 函数的一个单调递减区间是( ) A. B. C. D.（二）填空题：16. 已知函数,当x= 时,有最大值 .17. 函数的周期是 .18. 函数的值域是 .（三）解答题：19. 若的最大值为,最小值为,求函数的最大值、最小值及周期.20. 已知函数,(1) 求该函数的周期; （2）求该函数的单调区间;（3）说明该函数是通过的图象作怎样的变换得到的?三角函数中的求角问题一、高考要求：已知三角函数值,会求指定区间内的角度.二、知识要点：已知三角函数值,会求指定区间(或定义域)内x的取值集合.思路是:先求出一个单调区间内的特解,再利用诱导公式及三角函数的周期性写出指定区间(或定义域)内x的取值集合三、典型例题：例1: (1)已知,且,求x的取值集合;(2)已知,且,求x的取值集合;(3)已知,且,求x的取值集合.例2:已知,求角的集合.四、归纳小结：已知三角函数值求角,所得的角不一定只有一个,角的个数要根据角的取值范围来确定,这个范围在题目中给定.解法可分为以下几步:(1) 根据函数值的符号,判断所求角可能的象限;(2) 求出函数值的绝对值对应的锐角;(3) 根据诱导公式求出内满足条件的角x,一般地,有(4) 根据三角函数的周期性写出指定区间(或定义域)内x的取值集合.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 已知,A是三角形的内角,则A的值为( )A. B. C.或 D.2. 已知A是三角形的内角,且,则A的值为( )A. B. C.或 D.3. 当,则角x等于( )A. B. C. D.4. 方程在内解的个数为( )A.2 B.4 C.8 D.16（二）填空题：5. 已知,且,则x的取值是 .6. 已知,且,则x的取值是 .7. 已知,且,则x的取值是 .（三）解答题：8. 已知,且,求x的取值集合.9. 已知,求角的集合.解斜三角形一、高考要求：理解正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,并会用这三组公式解简单的有关斜三角形的问题.二、知识要点：1. 余弦定理: 可变形为 2. 正弦定理: .3. 任意三角形面积公式:.三、典型例题：例1:在中,已知,解此三角形.例2:在中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若a+c=2b.(1) 求证:;(2) 若,判断此三角形的形状.四、归纳小结：1.解斜三角形有四种类型:(1) 已知两角A,B与一边a,由A+B+C=求出角C,再由求出b,c(唯一解);(2) 已知两边b,c与其夹角A,由求出a,再由及分别求出角B,C(唯一解);(3) 已知三边a,b,c,由余弦定理求出角A,B,C(唯一解);(4) 已知两边a,b及其中一边的对角A,由求出另一边的对角B,由A+B+C=求出C,再由求出c.而通过求角B时,可能出现一解,两解或无解的情况.2.根据说给条件确定三角形的形状,主要有两条途径:(1)化边为角;(2)化角为边.具体有如下四种方法:通过正弦定理实施边角转换;通过余弦定理实施边角转换;通过三角变换找出角之间的关系;通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性的讨论.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 在中,已知,则b等于( )A. B. C. D.2. 在中,是的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3. 根据下列条件,确定有两解的是( )A.,有两解 B.,有一解C.,有两解 D.,无解4. 不解三角形,下列判断中正确的是( )A. B.C. D.5. 在中,已知,则等于( )A. B. C.或 D.6. 在中,已知,则为( )A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形7. 在中,已知,则此三角形的最大内角=( )A. B. C. D.8. 在中,若,且三角形有解,则A的取值范围是( )A. B. C. D.9. 在中,若,此三角形的面积,则a的值是( )A. B.25 C.55 D.49（二）填空题：10. 在中,若,则= .11. 已知三角形的三边长分别为,则这个三角形的最大角是 .12. 在中,已知,则= .13. 在中,则的形状是 .（三）解答题：14. 在中,判断的形状.15. 在中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且,试确定的形状.- 17 -