数学建模竞赛论文基于模糊数学的贫困生等级评定.doc

数学建模竞赛论文论文题目： 基于模糊数学的贫困生等级评定 姓名1： XXX 学号： 09102102 专业： 信计 姓名1： XXX 学号： 09102115 专业： 信计 姓名1： XXX 学号： 09103102 专业： 信管 2011 年 05 月 02 日 基于模糊数学的贫困生等级评定摘要随着我国高等教育成本分担机制的推行和资助范围的扩大，贫困生等级认定工作日益凸显。为更好地将资助政策落实，充分体现“公平、公开、公正”的原则，本文利用模糊数学的方法来建立模型量化评定标准。用数字将贫困生认定因素准确化，用方程将贫困生认定最优化。针对问题（1），通过随机抽样统计数据发现，等级评定因素总体成正态分布，因而将父母情况、健康状况、年收入状况、人口数、家庭因突发性变故或自然灾害、有无其他人在读书六大因素纳入评定指标体系中。根据资助比例计算出其隶属值，设隶属值为一等：0.9，二等：0.55，三等：0.2 从而利用公式 U(Xi)= (0.9*x1+0.55*x2+0.15*x2）/(x1+x2+x3)分别求出各评定因素对各等级的隶属度。 将抽样数据以十人为一组分为三组，将不同学生的单个因素影响类型构成模糊关系矩阵N,Mi为各组因子权重矩阵，S为总体评定结果，则有下面的模糊关系方程: N*Mi=S (i=1,2,3) M= 由可求出因子权重矩阵 M=-0.7721,0.2211,0.9575,0.7566，-0.4618,0.8001 针对问题（2），利用模糊矩阵建立模型，并将附录1所给的情况简表中的不同学生个体的单个因素描述情况转化为相应判定因素的隶属度。从而根据问题一中求解出的因素权重得出其所在的加权因子小领域定量给出判定结果。 关键字： 贫困生认定 模糊方法 矩阵 隶属值 目 录一、问题重述3 二、问题分析3 三、模型的假设4 四、定义与符号说明4 五、模型的建立5 1.问题1的模型5 2.问题2的模型5六、模型的求解5 1.问题1的求解5 2.问题2的求解11 七、模型的评价与推广11 参考文献12 一、问题重述 根据学校“家庭经济困难学生认定工作实施办法”（东华理工发【2008】27号），每年9月下旬，贫困生认定工作在全校启动。该项工作由学生资助管理中心负责，具体由各学院的认定工作领导（工作）小组进行认定。认定对象涉及在校就读的二本、三本、高职新生以及老生。贫困生的认定结果，将直接作为国家励志奖学金、国家助学金的评定资格，因此，认定工作意义重大。2010年12月，温家宝总理召开国务院常务会议决定扩大大中专学校家庭困难学生资助范围，提高资助标准，国家助学资助标准从原来生均2000提高到3000。因此，贫困生等级认定工作突现了新的问题，给与不给相差悬殊，一般贫困和不贫困很难界定等等。做好贫困生等级认定，让家庭经济困难学生得到资助，感受到党和政府对他们的关怀，并最终顺利完成学业，已经成为了摆在我们面前、迫在眉睫的问题。假设贫困生的等级为3档，认定比例控制在全部年级学生总人数的25%以内，且各年级A等（一般贫困）、B等（比较贫困）、C等（特别贫困）的评定比率分别为3:5:2。请你参考学生手册相关细则，尝试用数学建模的方法给出一种定量的，且易于实施的贫困生等级评定方法，并根据附件1所给各年级家庭经济困难情况表，对申请者进行贫困等级认定（各年级总人数见表1）。表1各年级的总人数及贫困生申请人数汇总表年级2004级2005级2006级2007级2008级2009级2010级总人数6262123137140189118申请人数24234447506439二、问题分析 通过数学模型的方法帮助解决贫困生等级评定问题，将贫困生等级评定问题由定性转化为定量以使贫困生等级界定易于区分、评定工作易于实施，使资助政策更好地落实，充分体现“公平、公开、公正”的原则。 一方面，贫困生等级评定问题受到各种不同因素的制约，如父母情况、健康状况、年收入状况、人口数、家庭因突发性变故或自然灾害等等，不同的因素集的选取将会影响到贫困生的评定标准，因此需要在随机抽样统计的基础上确定；另一方面，因素集中的个不同因素对评定结果有不同的影响程度，如申请者孤残理应比家中人口数多对评定等级影响要大，即其权重值大。 基于此，贫困生等级的判定可归为两大问题，问题一是建立合理的数学模型，定量化求出因素集中每个因素的影响程度，即因子权重矩阵。因子权重的计算可以使用层次分析法，但是在本文中涉及的数据较多，考虑到本题中数据数据量大，可以从中随机抽样，随机抽样所得的数据近似服从正态分布，然后对样本进行直觉法评定样本中的贫困生等级，评定结果主要是用模糊数学统计法计算因素集的隶属度，与最后贫困生等级综合评定无关。由于以上分析，我们可以首先随机抽样法抽出样本，对其贫困生进行等级评定，然后应用模糊数学统计法建立模型，对样本数据进行统计，最后，利用matlab计算出因子权重矩阵，从而解决了评定贫困生等级因素集的权重问题。 问题二主要要解决的是如何计算贫困生等级综合评定值，因为每个贫困生的情况是单个因素综合影响的结果，且不同因素对贫困生的影响程度不同，转换成数学问题即是要用到问题一已解决的评定贫困生等级的因素集的权重值的和因素集的隶属度，针对这两点，构建贫困生等级评定的综合评定值的计算公式，即评定贫困生等级的各个因素的权重值分别和对应的因素的隶属度相乘的值加起来，就是最后的综合评定值的计算公式。再利用matlab软件计算每个同学的综合评定值，又根据题目中的贫困生A、B和C等人数比例（3:5:2）得到三个等级评定的加权因子集合P,最后，若贫困生的综合评定值趋近某个等级评定的加权因子小区域，则将其评为该等级即可。 三、模型的假设1、 假设被评上的贫困生的人数刚好占年级总人数的25%；2、 假设获得A、B和C等助学奖人数的比例刚好为3:5:2；3、 假设模糊统计法中进行的抽样具有随机性且近似服从正态分布；4、 假设样本用模糊统计法评选A、B和C等助学奖中的主观因素可以忽略；5、 假设国家有足够的钱来补助；6、 假设除了题中所给的七大因素，忽略其他次要因素；四、定义与符号说明1、各个符号代表的意义如下表：符号意义A父母因素B家人健康状况C家庭年收入状况D家庭人口数E家庭是否因突发性变故及自然灾害F家中是否有无其他人在读书X最终评定等级时所参考的数据，即评定值2、 每个符号类型描述如下表：各个影响因素和各个因素类型描述因素因素的类型描述父母情况A：A1:单亲A2:双亲A3：孤儿健康状况B: B1:家中有人久病B2：家中无人久病B3：都无病 年收入状况C：C1:收入一般C2:收入低（不稳定）C3：负债人口数D:D1:人口数<=4D2：56人D3:人口数>=7 家庭因突发性变故及自然灾害E： E1:有E2：无有无其他人在读书F:F1:无F2:有一人F3:有两人或两人以上五、模型的建立5.1问题一模型： 贫困生助学奖的评定是有诸多导致贫困的因素综合影响的结果，即评定贫困生的家庭经济困难程度因素有很多，但是，每个因素对贫困生等级评定结果的影响程度肯定是不一样的。本文问题一主要目的就是要建立合理的数学模型，相对定性的计算各个因素对最后贫困生等级评定结果权重的大小值。根据题目中所给的贫困生的资料以及学生生手册中，关于贫困生的评定的相关内容，我们通过统计初步可以确定影响贫困生最后评定结果主要有如下七大基本因素：父母情况因素、家人健康状况因素、家庭年收入因素、家庭人口因素、家庭是否因突发性变故及自然灾害因素、家中是否有无其他人在读书因素。针对各个因素的对最后结果权重的问题，本文应用模糊数学的方法建立模型，把影响贫困生等级评定的各个因素构成因素集，为了便于研究，从而忽略了除七大因素外的其他次要因素对贫困生等级评定结果的影响。5.2 问题二模型：在问题一中，本文已经通过模糊数学的方法，求解出了七大因素对贫困生等级评定结果具体的权重值的大小。在问题二中，本文把每个影响因素的权重都设成一个变量，构建一个公式，求解最后贫困生综合评定结果X的值，计算公式如下： 公式中，、为每个因素对应类型描述的隶属度，、为每个因素权重值的大小。六、模型的求解1、问题一求解： 隶属函数是确定的方法有很多，如推理大方法、最小模糊度法、二元对比排序法等等。本文主要是应用模糊统计的方法来确定不同因素的隶属度。 本文的具体做法是，根据题目中所给的附录，用随机抽样法从中抽出一百二十名贫困生，因为题目中要求贫困生人数应该占总人数的25%，所以本文用模糊数学中之直觉法初步的确定能够评上三十个贫困生，然后，根据学生手册中相关规定和选中的三十个贫困生的具体情况，评选出A、B和C三个等级。评选结果主要是用于模糊统计使用，不作为最后的评选结果。 本文采用的是模糊统计法，以A父母情况因素为例，具体操作流程如下：对于A中三种情况（单亲、双亲、孤儿），分别给定三个A、B和C等级，根据抽样中评定的贫困生的相关资料，统计父母不同情况的人数，给定评语集合一个加权因子(根据三个等级人数相关比例，即3:5:2来确定）=0.15，0.55、0.9,定义频数种父母情况的获得A、B和C等奖的人数，若A评语频数为=，,则A的隶属度为： 1、 关于父母情况因素：等级/父母情况A1（单）A2（双）A3（孤儿）C等420B等5100A等180由表可知：2.关于健康状况因素：健康状况B: B1:家中有人久病B2：家中无人久病B3：都无病 C等312B等555A等630由表可知：3、关于年收入状况因素：年收入状况C：C1:收入一般C2:收入低（不稳定）C3：负债C等042B等0114A等045由表可知：4、关于人口因素：人口数D:D1:人口数<=4D2：56人D3:人口数>=7C等420B等942A等360由表可知：5、关于家庭因突发性变故及自然灾害因素： 家庭因突发性变故及自然灾害E： E1:有E2：无C等06B等015A等36由表可知：6、关于有无其他人在读书因素:有无其他人在读书F:F1:无F2:有一人F3:有两人或两人以上C等402B等564C等243由表可知： 将抽样法评定的三十个贫困生的情况，分成三组，每组十个，每个贫困生对于因素的隶属值制成三个表格如下：组1编号ABCDEF隶属值01A20.425B10.41C20.54D20.41E20.54F30.490.5502A20.425B20.41C30.43D10.5625E10.15F20.390.1503A20.425B10.45C20.54D20.41E20.54F20.390.1504A20.425B10.45C30.43D20.41E10.15F20.390.1505A20.425B10.45C30.43D30.55E20.54F30.490.5506A20.425B10.45C30.43D10.5625E20.54F20.390.5507A10.65B20.41C30.43D10.5625E20.54F10.600.5508A20.425B30.65C20.54D20.41E20.54F20.390.1509A20.425B20.41C20.54D10.5625E20.54F30.490.5510A20.425B30.65C20.54D30.55E20.54F30.490.55组2编号ABCDEF隶属值01A20.425B20.41C20.54D20.41E20.54F20.390.5502A10.65B30.65C20.54D10.5625E20.54F10.600.5503A10.65B30.65C20.54D10.5625E20.54F10.600.904A10.65B30.65C20.54D20.41E20.54F30.490.905A10.65B10.45C30.43D10.5625E20.54F30.490.906A10.65B20.41C20.54D10.5625E20.54F30.490.1507A10.65B30.65C30.43D10.5625E20.54F20.390.1508A10.65B10.45C30.43D20.41E20.54F20.390.1509A20.425B10.45C20.54D10.5625E20.54F20.390.5510A20.425B10.45C30.43D10.5625E20.54F10.600.15组3编号ABCDEF隶属值01A10.65B20.41C20.54D10.5625E20.54F10.600.5502A10.65B30.65C30.43D10.5625E20.54F20.390.5503A10.65B20.41C20.54D10.5625E20.54F30.490.904A20.425B20.41C20.54D10.5625E20.54F10.600.5505A20.425B10.45C20.54D20.41E20.54F10.600.1506A20.425B30.65C20.54D20.41E20.54F30.490.5507A20.425B10.45C20.54D10.5625E20.54F10.600.908A20.425B20.41C30.43D10.5625E20.54F10.600.909A20.425B20.41C20.54D10.5625E20.54F20.390.5510A10.65B20.41C20.54D10.5625E20.54F10.600.55对于每一个贫困生而言，综合评定的是单个因素综合影响的结果，而且，不同的每个贫困生的具体情况不同，即单个影响因素对不同的贫困生的影响程度是不同的，若M为各个因子的权重矩阵，N为不同学生的单个因素模糊关系矩阵，S为总体评定结果，则模糊关系方程为：方程中，N和S可由上面的表格中得到数据，M即为我们也要求的每个因素对贫困生等级综合评定的权重。令则可得到下面的模糊关系方程：第一组：0.4250.410.540.410.540.49 0.55 0.4250.410.430.56250.150.39 0.150.4250.450.540.410.540.39 X1 0.150.4250.450.430.410.150.39 X2 0.15 0.4250.450.430.550.540.49 * X3 = 0.550.4250.450.430.56250.540.39 X4 0.55 0.650.410.430.56250.540.60 X5 0.550.4250.650.540.410.540.39 X6 0.150.4250.410.540.56250.540.49 0.550.4250.650.540.550.540.49 0.55 第二组：0.4250.410.540.410.540.39 0.550.650.650.540.56250.540.60 0.550.650.650.540.56250.540.60 X1 0.90.650.650.540.410.540.49 X2 0.90.650.450.430.56250.540.49 * X3 = 0.90.650.410.540.56250.540.49 X4 0.150.650.650.430.56250.540.39 X5 0.150.650.450.430.410.540.39 X6 0.150.4250.450.540.56250.540.39 0.550.4250.450.430.56250.540.60 0.15第三组：0.650.410.540.56250.540.60 0.55 0.650.650.430.56250.540.39 0.550.650.410.540.56250.540.49 X1 0.90.4250.410.540.56250.540.60 X2 0.550.4250.450.540.410.540.60 * X3 = 0.150.4250.650.540.410.540.49 X4 0.550.4250.450.540.56250.540.60 X5 0.90.4250.410.430.56250.540.60 X6 0.90.4250.410.540.56250.540.39 0.550.650.410.540.56250.540.60 0.55用matlab求解M矩阵，可得到三组M值即、 则令 求得M =-0.7721,0.2211,0.9575,0.7566，-0.4618,0.8001 从M中可以看出各个因素对评定结果的影响程度：C(家庭年收入状况)对评定结果影响最大，其次是F（家中是否有其他人读书),A(父母情况），D(家庭人口数）也对评定结果有较大的影响。2、问题二求解： 问题一已经算出了七个因素的权重矩阵和每个因素对应的隶属度、。可以利用matlab计算每个同学评定值X的准确值，X计算公式如下： 根据重新设定的加权值P=0.05,0.3,0.8,0.95，判断每个贫困生的评定值属于哪个加权值的小区域，然后界定贫困生获得助学奖的等级。例如：某学生的因素为因此，该同学评为B等。 利用matlab求得最后的获得助学奖名单如下：2004级获得助学金名单A等：S200401 S200402 S200404 S200405 S200402 S200403S200424B等：S200403 S200406 S200407 S200408 S200413 C等：S200414 S200417 S200418 S200419 S200420 S200421 S200422 2005级获得助学金名单A等：S200503 S200510 S200520 B等：S200501 S200504 S200514 S200521 S200522 C等：S200505 S200506 S200507 S200511 S200517 S200518 S200519 S2005232006级获得助学金名单A等：S200617 S200534 S200544 S200630 S200631 S200634 B等：S200604 S200606 S200611 S200612 S200618 S200624 S200627 S200628 S200629 S200632 S200635 S200636 S200637 S200639 S200641 S200642C等：S200602 S200609 S200610 S200613 S200615 S200616 S200621 S200547 S200625 S200626 S2006402007级获得助学金名单A等：S200707 S200712 S200717 S200721 S200727 S200729 S200730 S200737 S200744 B等：S200701 S200705 S200706 S200711 S200714 S200715 S200716 S200718 S200722 S200734 S200736 S200739 S200741 S200743 S200745 S200746 S200747 C等：S200703 S200709 S200726 S200728 S200731 S200735 S2007382008级获得助学金名单A等：S200807 S200810 S200813 S200814 S200816 S200820 S200839 S200840 S200842 S200843 S200844B等：S200801 S200802 S200803 S200815 S200821 S200824 S200828 S200831 S200832 S200833 S200834 S200838 S200841 S200844 S200850 C等：S200803 S200811 S200827 S200829 S200830 S200836 2009级获得助学金名单A等：S200912 S200913 S200916 S200919 S200920 S200936 S200938 S200941 S200942 S200962 S200963B等：S200906 S200908 S200915 S200916 S200923 S200925 S200927 S200929 S200931 S200932 S200934 S200939 S200940 S200944 S200950 S200957C等：S200903 S200904 S200909 S200911 S200922 S200930 S200933 S200948 S200949 S200951 S200952 S20092010级获得助学金名单A等：S201001 S201003 S201009 S201015 S201024 S201602B等：S201004 S201006 S201010 S201012 S201013 S201016 S201022 S201030 S201031 S201032 S201034 S201035 S201036 S201038C等：S201005 S201008 S201014 S201017 S201021 S201027七、模型评价与推广1、本文模型的优点： （1）模型中对于助学奖获得者比例和人数的相关假设和抽样法符合近似正态分布的假设比较合理； （2）本文巧妙的抽样法和运用模糊数统计法，避免了数据较多且难以统计的困难，定性的求出相对比较合理的因素集权重； （3）本文通过因素集合，把贫困生的情况转换成对应的因素集合，减少了评定的主观性，保证了评定的结果的相对准确性。2、模型改进方向：（1） 随机抽样法中，样本中贫困生的等级评定用的是直觉法，具有一定程度的主观性；（2） 模型中忽略了除七大因素外的其他因素的影响，可能导致最终评定结果有一定小范围的偏差。参考文献1 姜启源、谢金星、叶俊等，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003。2 朱旭、李换琴、籍万新，matlab软件与基础数学实验，西安：西安交通大学出版社，2008。3肖华勇，实用数学建模与软件应用，西安：西北工业大学出版社，2010。4韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005。5 王建宏，模糊数学基础，附录：1、问题一程序第一组A=0.425,0.41,0.54,0.41,0.54,0.49;0.425,0.41,0.43,0.5625,0.15,0.39;0.425,0.45,0.54,0.41,0.54,0.39;0.425,0.45,0.43,0.41,0.15,0.39;0.425,0.45,0.43,0.55,0.54,0.49;0.425,0.45,0.43,0.5625,0.54,0.39;0.65,0.41,0.43,0.5625,0.54,0.60;0.425,0.65,0.54,0.41,0.54,0.39;0.425,0.41,0.54,0.5625,0.54,0.49;0.425,0.65,0.54,0.55,0.54,0.49;B=0.55;0.15;0.55;0.15;0.55;0.55;0.55;0.15;0.55;0.15;X=ABX = 0.6470 -1.6613 0.8834 0.5197 0.9364 -0.5219第二组A=0.425,0.41,0.54,0.41,0.54,0.39;0.65,0.65,0.54,0.5625,0.54,0.60;0.65,0.65,0.54,0.5625,0.54,0.60;0.65,0.65,0.54,0.41,0.54,0.49;0.425,0.45,0.54,0.5625,0.54,0.49;0.65,0.41,0.54,0.5625,0.54,0.49;0.65,0.65,0.43,0.5625,0.54,0.49;0.65,0.45,0.43,0.41,0.54,0.39;0.425,0.45,0.43,0.5625,0.54,0.39;0.65,0.45,0.43,0.5625,0.54,0.60;B=0.55;0.55;0.9;0.9;0.9;0.15;0.15;0.15;0.55;0.15;X=ABX = -2.4807 1.6540 2.0412 -1.2640 0.0271 1.4253第三组A=0.65,0.41,0.54,0.5625,0.54,0.60;0.65,0.65,0.43,0.5625,0.54,0.39;0.65,0.41,0.54,0.5625,0.54,0.49;0.425,0.41,0.54,0.5625,0.54,0.60;0.425,0.45,0.54,0.41,0.54,0.60;0.425,0.65,0.54,0.41,0.54,0.49;0.425,0.45,0.54,0.5625,0.54,0.60;0.425,0.41,0.43,0.5625,0.54,0.60;0.425,0.41,0.54,0.5625,0.54,0.39;0.65,0.41,0.54,0.5625,0.54,0.60;B=0.55;0.55;0.9;0.55;0.15;0.55;0.9;0.9;0.55;0.55;X=ABX = -0.4826 0.6707 -0.0521 3.0140 -2.3488 0.4531权重：M1 =0.6470,-1.6613,0.8834,0.5197,0.9364,0.5219;M2 =-2.4807,1.6540,2.0412,-1.2640,0.0271,1.4253;M3 =-0.4826,0.6707,-0.0521,3.0140,-2.3488,0.4531;M=(M1+M2+M3)./3M = -0.7721 0.2211 0.9575 0.7566 -0.4618 0.80012、问题二的程序 求解每个学生的评定值的程序：A1= 0.65;A2 =0.425;A3 =0;B1= 0.45;B2= 0.41;B3= 0.65;C1=0;C2 =0.54;C3=0.43;D1=0.5625;D2 =0.41;D3=0.55;E1=0.15;E2=0.54;F1=0.60;F2=0.39;F3=0.49;W=A1,B3,C1,D1,E2,F1;；A1,B3,C1,D3,E2,F1;；A1,B3,C2,D1,E2,F1;A1,B3,C1,D3,E2,F1;；A1,B3,C1,D2,E2,F1;；A2,B1,C1,D1,E1,F1;A2,B3,C1,D1,E2,F1;；A2,B1,C1,D2,E2,F1;；A2,B3,C2,D1,E2,F1;A2,B3,C2,D1,E2