全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷(含答案).doc

2015年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷（考试时间：2015年3月13日下午3：005：00）班级：: 姓名： 成绩： 题 号一二三四五合计得 分评卷人复核人一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、计算：的结果为（ ）A、 B、 C、 D、02、已知x为实数，则的最小值为（ ）A、0 B、2 C、4 D、63、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，正方形ABCD的边长为1，则的周长为（ ）A、2 B、3 C、4 D、54、方程的自然数解（即x，y，z都是自然数）的组数是（ ）A、9组 B、10组 C、11组 D、12组FEBACD45°第3题图5、在中，若，面积为2，则（ ）A、2 B、C、2或 D、2或 6、已知2015年3月13日是星期五，则天之后是星期（ ）BACD第9题图A、一 、二 C、三 D、四二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、计算：.8、已知，则的值为 .9、如图，在四边形ABCD中，则BD的值为 .10、如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）的个数为 .三、（本大题满分20分）11、已知实数a，b满足，试求的值。四、(本大题满分25分)12、当实数a在什么范围内取值时，关于x的方程有一个正数解，但没有负数解？五、（本大题满分25分）13、如图，已知和均为等腰直角三角形，且A、B、D三点在同一直线上。点P、Q、M分别为AC、AD、CE的中点。EQPBACDM（1）请问AE与CD有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）若，求PM的值。2015年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题参考解答一、选择题1D.2C.3A 延长FD至点G，使得DG=BE.显然ABEADG.AE=AG.易证FAGFAE. FG=FE. ECF的周长=CF+FE+EC=CF+FG+EC=CF+FD+DG+EC=（CF+FD）+（BE+EC）=CD+BC=2.选A.4B 当z=0时， 或 或 或 或 或当z=1时， 或 或当z=2时，共计10组自然数解.选B.5D 作高AD.显然AD=.在RtABD中，BD=.显然B90°.当B为锐角时，如图（1），CD=BC-BD=.AC=；当B为钝角时，如图（2），CD=BC+BD=，AC=.综上AC=2或.选D.6C 32除以7余2，36除以7与23除以7余数相同，为1.而32015=(36)335·35，32015除以7与35除以7余数相同，为5. 32015天之后为星期三.选C.二、填空题7. 82014 .98 作DECA交BA的延长线于点E.由于ACBD，则DEBD,而四边形CDEA是平行四边形，则AC=DE,CD=AE.在RtBDE中，BD2+DE2=BE2=（AE+AB）2=（AB+CD）2，即AC2+BD2=（AB+DC）2, 62+BD2=102. BD=8.10. 12. 即是.因为原不等式组的整数解仅为1，2，3,所以即.所以可以取9,10,11共3个数，可以取1,2,3,4共4个数. 所以适合原不等式组的整数组成的有序数对的个数为个.三、解答题11解：a2+2ab+b2-6a-6b+9=0，. 5分 (a+b)2-6(a+b)+9=0. 10分 (a+b-3)2=0. .15分 a+b-3=0. .20分 a+b=3. .25分四、解答题12解： 当x是方程的一个正数解时，有2015x=ax+2016,得x=,.5分a<2015. . 10分当x是方程的一个负数解时，有-2015x=ax+2016,得x=，.15分a>-2015. .20分而原方程有一个正数解，但没有负数解，a<2015成立，但a>-2015不成立.a-2015. .25分五、解答题13解：（1）AE=CD，且AECD.理由如下：.5分连结QM、CD、AE，延长AE交CD于点N. 易证RtABERtCBD. .10分AE=CD, EAB=DCB.EAB+CDB=DCB+CDB=90°. ANCD，即AECD. . .15分(2)AP=PC，AQ=QD，PQ且PQ=.AP=PC,CM=ME, PM且PM=.20分PQ=PM, PQPM.MPQ为等腰直角三角形.PM=PQ=2.5. .25分