全国中学生数学竞赛初赛试题选.doc

初 赛 试 卷 姓名 1. 若x为实数，则代数式|x|-x的值一定是 A. 正数 B. 非正数C. 非负数 D. 负数2已知(a+b)2=8，(a-b)2=12，则ab的值为A1 B-1C4 D-43若bk0，则直线y=kx+b一定通过A第一、二象限B第二、三象限 C第三、四象限D第一、四象限4已知20102011-20102009=2010x×2009×2011，那么x的值是A2008 B2009 C2010 D20115在平面上，如果点A和点B到点C的距离分别为3和4，那么A、B两点的距离d应该是 A. d=1 B. d=5C. d=7 D. 1d76.如图4，在等腰直角三角形ABC中，C=90°，D为BC的中点，将ABC折叠，使BAC图4FED点A与点D重合，EF为折痕，则sinBED的值是A BCD7是一个等腰直角三角形，是其内接正方形，是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）、； 、； 、； 、8。设，且函数与有相同的最小值；函数与有相同的最大值；则的值( ).、必为正数； 、必为负数； 、必为； 、符号不能确定第9题图9如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D的逆时针方向旋转90°至DE，连结AE，则ADE的面积是（ ）A1 B2 C3 D410若关于的方程没有实根，那么，必有实根的方程是（）； ； 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）.定义运算“”：（a，b）（c，d）=(acbd，ad+bc).若（1，2）(p,q)=(5,0)，则p+q=_.12已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O为坐标原点，QPO=150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 13若不论自变量x取何实数时，二次函数y=2x22kx+m的函数值总是正数，且关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根.当k为符合条件的最大整数时，m的取值范围为_.第14题图14如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸片面积的一半，则EF的长为_.15设cb0a，a+b+c=1，则M,N,P 之间的关系是 16如图5，已知矩形ABCD，AB=2，BC=3，MB=MC，则点D到AM的距离为 17如图6，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=AD=1，B:A=1:2，M、N分别是AD、BC的中点，P是直线MN上的一点，则PC+PD的最小值为 CBDA图5MCBDA图6MNPCBDA图7PQ18如图7，在平行四边形ABCD中，P为BC上任一点，连结DP并延长交AB延长线于Q，则= 、19单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 . 20圆内接四边形的四条边长顺次为：，则四边形的面积为 .三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)CBDA图8P18如图8，ABC是边长为1的等边三角形，P是AB边上的一个动点（P与B不重合），以线段CP为边作等边CPD（D、A在BC的同侧），连结AD（1）判断四边形ABCD的形状，并给予证明；（2）设BP=x，PAD的面积为y，求出y关于x的函数关系式，并求出PAD面积的最大值及取得最大值时x的值19如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在O上.若AB=m+,其中m、n是整数，求m+n的值.·ABDCOPQ20在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针针旋转，旋转角为，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交轴于点N(如图).（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）当旋转角为多少度时，OMN的面积最小，并求出此时BMN内切圆的半径.