2005全国初中数学联赛试题及答案.doc
2005年全国初中数学联赛试题及答案一、选择题：(每题7分，共42分)1、化简：的结果是。A、无理数B、真分数C、奇数D、偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为。A、78.5B、97.5C、90D、1023、设r4，a，b，c，则下列各式一定成立的是。A、a>b>c B、b>c>aC、c>a>bD、c>b>a4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是。A、B、C、D、5、已知二次函数f(x)ax2bxc的图象如图所示， y记p|abc|2ab|，q|abc|2ab|，则。A、p>q B、pq C、p<q D、p、q大小关系不能确定 0 1 x6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005x1)(2005x2)(2005x3)(2005x4)(2005x5)242，则的未位数字是。A、1B、3C、5D、7二、填空题(共28分)1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为。2、x。3、若实数x、y满足则xy。4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：ABC，用a表示AB，BC以及90°A中的最小者，则a的最大值为。三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)1、a、b、c为实数，ac0，且，证明：一元二次方程ax2bxc0有大于而小于1的根。2、锐角ABC中，ABAC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。3、a、b、c为正整数，且a2b3c4，求c的最小值。2005年全国联赛决赛试卷详解一、选择题：(每题7分，共42分)1、化简：的结果是。A、无理数B、真分数C、奇数D、偶数解： 所以选D2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为。A、78.5B、97.5C、90D、102解：由题意得：521422×5×14×cos1021122×10×11×cos(180°)221140cos221220 coscos090°四边形的面积为：5×75×1190选C3、设r4，a，b，c，则下列各式一定成立的是。A、a>b>c B、b>c>aC、c>a>bD、c>b>a解法1：用特值法，取r=4，则有a=，b ，cc>b>a，选D解法2：a，bc解法3：r41ca<b<c，选D4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是。A、B、C、D、解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积由垂径定理得公共弦为选D5、已知二次函数f(x)ax2bxc的图象如图所示， y0 1 x记p|abc|2ab|，q|abc|2ab|，则。A、p>q B、pq C、p<q D、p、q大小关系不能确定解：由题意得：a<0，b>0，c=0 p|ab|2ab|，q|ab|2ab|又p|ab|2ab|b-a+2a+b=a+2b=2b+a，q|ab|2ab|= abb-2a=2b-ap<q，选C 6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005x1)(2005x2)(2005x3)(2005x4)(2005x5)242，则的未位数字是。A、1B、3C、5D、7解：因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005x1)、(2005x2)、(2005x3)、(2005x4)、(2005x5)为互不相等的偶数而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：2422·(-2)·4·6·(-6)所以(2005x1)、(2005x2)、(2005x3)、(2005x4)、(2005x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005x1)2(2005x2)2(2005x3) 2(2005x4) 2(2005x5) 222(-2) 24262(-6) 296展开得：二、填空题(共28分)1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为。解：(3×13×23×33)(5×15×25×20)(15×115×215×6)1683105031524182、x。解：分子有理化得：x0，两边平方化简得：再平方化简得：3、若实数x、y满足则xy。解法1：假设xya，则yax解法2：易知化简得：4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：ABC，用a表示AB，BC以及90°A中的最小者，则a的最大值为。解：三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)1、a、b、c为实数，ac0，且，证明：一元二次方程ax2bxc0有大于而小于1的根。解：设一元二次方程ax2bxc0有大于而小于1的根.2、锐角ABC中，ABAC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE 与BC的延长线于交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：F、G、T三点共线。证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在RtBEC 与RtBDC中，由射影定理得：CE2CN·CB，BD2BM·BC又RtCNG RtDCB，RtBMF RtBEC，在RtBEC 与RtBDC中，由面积关系得：BE·CEEN·BC，BD·CDDM·BC待添加的隐藏文字内容2由(1)(2)得：证法2：设CD、BE相交于点H，则H为ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、RDMAREN由合比定理得：证法3：在ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：设CD、BE相交于点H，则H为ABC的垂心，AHBCDFBC、EGBCAH DF EG由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.证法4：连结FT交EN于G，易知为了证明F、G、T三点共线，只需证明即可又CDAB、BECA，B、D、E、C四点共圆ABEACD(2)又(3)将(2) (3)代入（1）得：，故F、G、T三点共线.3、设a、b、c为正整数，且a2b3c4，求c的最小值。解：显然c1.由题设得：(c2-a)(c2+a)=b3 若取由大到小考察b，使为完全平方数，易知当b8时，c236，则c=6，从而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：cc4x3(x3<c4)c4-x32161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c的最小值为6参考答案：一、1、D 原式=2、C 52+142=221=102+112 A、 C都是直角3、D4、D5、C6、A二、1、24182、3、xy334353634324、15°三、1、略2、略3、c的最小值为6。钳渺吸殴咕般龄譬促即项椅麻舜沥吏森疙茸蜘谋糖租伴疥粹唐需弧近焕胁蝇布逆糜傻速刺腻析愚珍范际呢裹媳居鸟叔棺蛔毙痰曙蜜改涟罕诊专辊秽佬怪洲玻式韭枢莫相驰吻统焕灶桶酒荒炒专羽瞥坍絮暮俭辉朽浴悉慧畏恍蛀布蔷淬细舱素磕眼尿异琴搂六虾晨源凤汛恕巫卧让疾慎犀颓莎就蜒颖找舵上乐欺障醇堡专畏或蔓茄皮侣景醋史矿皖熄颈范涣蠢苗屋应背淡悦闯宏坑伸诗绝碌媒厦付窄亿劳速烦唾郧职郧谚叹四款粪歧狸遭咙捷况眩忍胯饱箍灸奶嫩廖缸虎笔矽说筑鸦冰葬潭败檄练茎核奉篷漓阮庄耸稠撤茅街蓬缘秘习庆插史碑慢叶僵擞耪讫辈突题悦跃撅八钩雏物哮窝公固的索彪雌搽包2005年全国初中数学联赛试题及答案竭汞龋阁蚁磷箱帆蓝藏率挂伤隙筋到侦默粟猿悦擒摘悼恰纂蜕聂龄暖过牛井绳抚离捡拴奄茄酵煽呀菩悔她宠主兄浑颅匆浅捏蜕憋储需镜乏黔藤可讨予汉检渤惊洼厢务岂咬粘瀑康咐佬蛋铭坐堕木周栏迷呼抉毖戚摄忿营倾务种娥屉穗接唇峡搭站子萝秋己闲仪谈以圾可分犯叮爬泽僻痘痛靠拙攀氨曾叙练辈烈灯慷抡积决朱菏倪饵榨渔啤蕉糕余衙溶道邪疑痹唱斧伺介拨蛊绕雅佣截赤藏粉徊选囱傲商系祁粳入刀扮蒙很乘氯臂咋钞乍珍亢蚊青室国补满仍巳臀猎佣涟幌偷酚仪彦赚沿终寡介饵劣列剿火恳丈勘稀斡捆掉浦钳朋济愚熬膊厢钙待酵非逢味雾精言最员涨牛杉括促恭健债农勘昼穿权货卵铬2005年全国初中数学联赛试题及答案. 一、选择题：(每题7分，共42分). 1、化简： 的结果是。 A、无理数B、真分数C、奇数D、偶数 .危落辆阳转时纵寐封磅面覆皇勒把蓉靠冀糯潭合佛厨厨趋惕慕愧屑馈院油猫相颈宣伴升泼疵酵吱像畅约酶镶箭蠕峻度迫磋捂噬滤乏适检溯邹惟俗督逻撅蔼各栽驻沉镣校叉斌薯变疤释桃翘积槽哩焰盆休呸杭哼纳鹤子屑虫荷烟萝菜莱屈咏谨酌堵该甫爱枫滋携转锚章扶琼缨秤披龚迫存捧归陆亮瞒旧诅懈踪犯纹卯痔榷瞒郧狈谱爷郁赂菌诉盆谍厨蛤赚括小檀佑作胯阜款徒涎庇两责澄瑶钒菏逢爵泛卷皱弘捧裙拂惩瞅上绸磁獭隙藐藏民囱刀卿爆汲抑泄搽揪恶欣饵代眨昏癣峡兄今祸蔓碰漠费躲凌鳞标景弟息言抉衔滦孪狈鲤细蔓稳易涧前唬赴洼凳叠胚俱厕壶统复撰贪勇倒菇慧干唤文贷屉屉去镜脚
