2005上海市高中数学竞赛试卷及答案.doc

2005年上海市高中数学竞赛试卷（2005年3月27日 星期日 上午8：3010：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分）1计算： 95+2i （表示虚数单位）2设是某三角形的最大内角，且满足，则可能值构成的集合是（用列举法表示）3一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则表示的复数是 4如图，正四面体的棱长为6，在棱、上各有一点、，若，则线段的长为 5若关于的方程至少有一个实根在区间内，则实数的取值范围为 6、是从集合中任取的5个元素（允许重复），则为奇数的概率为 7对任意实数、，函数满足，若，则对负整数， 的表达式 8实数、满足，且，记为、中最大者，则的最小值为 二、（本题满分14分）设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正数，使的定义域和值域相同解：若a0，则对每个正数b，的定义域和值域都是，故a0满足条件若a0，则对每个正数b，的定义域D，但的值域A故DA，即a0不合条件若a0，则对每个正数b，的定义域D，由于此时，故的值域为所以，综合所述，a的值为0或4三、（本题满分14分）已知双曲线（、）的半焦距为，且是双曲线上任意两点，为的中点，当与的斜率、都存在时，求的值解：M是PQ的中点，设M（x0，y0），P（x0，y0），Q（x0，y0）于是P、Q都在双曲线上，所以又由四、（本题满分16分）设表示不超过实数的最大整数求集合的元素个数解：由即当五、（本题满分16分）数列的通项公式为，记，求所有的正整数，使得能被8整除解：记注意到，可得因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定，故由(*)式可以算出各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，它是一个以6为周期的数列，从而故当且仅当