浅谈数学解题教学反思的实践探索.doc

浅谈数学解题教学反思的实践探索摘 要：数学教学反思是对数学教学的反思性活动。数学解题教学反思的内涵体现在：这种反思既是一种心理活动(思维活动)，又是一种实践行为。它涵盖着解题理念、方法原则和过程策略及解题教学中有效地获得和改善数学解题的实践性知识等诸多方面。关键词：问题解决；数学解题；解题教学；教学反思；反思实践1 数学解题教学的概念理解普通高中数学教学课程标准把“数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力”作为数学课程的主要目标，美国学校数学课程的原则与标准也把数学问题解决作为各年级数学课程的重要组成部分，可见数学问题受到世界各国的广泛重视。1.1 问题是数学的心脏美国数学家哈尔莫斯1980年曾提出：数学究竟是由什么组成的？公理？定理？证明？概念？定义？公式？最后哈尔莫斯强调：“数学的真正组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏。”数学来源于现实生活，是人们将现实世界抽象化的高级思维结果，数学问题的原始状态是实际问题，人们使用数学方法把问题模型化，而成为数学化的实际问题。1.2 数学解题的价值某种意义上讲，解题就是“解决问题”。数学解题是问题解决中的一种特殊类型，就是求解数学问题答案的过程。著名的数学教育家玻利亚早就指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练掌握数学就意味着善于解题。”张乃达先生也指出“数学教育应该以解题为中心。”“解题教学正是达到教学目的的最好手段。”解题在学生数学概念的形成，数学定理、公式、结论的掌握，数学方法和技能的探索、获得等等方面都起着举足轻重的作用。1.3 解题教学的本质解题是模拟数学发现过程的方式之一，是一种有意义的学习。数学家的解题是一个创造和发现的过程，数学教学中的解题更多的是一个再创造或再发现的过程。解题教学基本含义是通过典型数学题的学习，进行“数学地思维”，去探索数学问题解决的基本规律，解题教学是解题活动的教学，是学生解题思维认知结构建构的过程教学，解题过程是在解题思想的指导下，运用合理化的解题策略，制定科学的解题程序，进行解题活动的思维过程。正如罗增儒先生所言：“数学学习中真正发现数学的地方都一无例外地充满着数学解题活动。”通过解题教学可提高学生形式化处理问题的能力，发展学生数学化地本质性的分析和解决问题的能力。因此，数学教育中解题教学几乎成了实现数学教育目的的必不可少的手段。2 数学解题教学反思的内涵理解2.1 反思反思即元认知。简单说，元认知就是对自己的认知过程的认知。譬如解一道题的过程，是你对数学的一种认知过程，认知对象是这道数学题。然而，在解题过程中你是如何思考的？就是对你的解题过程的一种认知，也就是“元认知”，认知对象是你的思维过程。一般认为，计划、监控、反思都是属于元认知。对解题这个过程来说，你打算怎么解这道题(计划)？解题过程中如何防止出现差错，防止走弯路？出现问题之后如何调节(监控)？解完题之后，你有什么经验和教训(反思)？这些都属于元认知。反思是人们以自己的认识活动过程及结果为认识对象的认识活动。通过反思，人们获得不同于感觉所得来的内部经验，使自己的认识得以升华，使自己的实践行为趋于合理，同时在反思过程中自我得到发展，特别是形成一种反思的能力。反思具有普遍性、监控性、批判性、创造性和探究性等特点。目前，学生的元认知(反思)水平发展远落后于认知水平，因此要加强元认知的教育，培养反思能力。2.2 教学反思教学反思是教师立足于自我之外的，批判地考察自己行动及情境的能力，即教师以自己的实践过程为思考对象，对自己的教学行为、决策以及结果进行审视和分析。教学主体通过这种自我解剖，不断发现、探究并解决教与学实践中的具体问题，提高教学实践的合理性，促进自我职业水平的发展。教学反思不要只停留在对教学实践行为、教学经验的反省，更重要的是指向未来教学实践活动。“教会年轻人思考”、“有目的思考”、“能产性思考”(玻利亚)是中学数学教学的重要目的。2.3 数学教学反思数学教学反思，即对数学教学的反思性活动，是指教师借助于对自己数学教学实践的行为研究。数学教学反思以探索和解决数学教学实践活动中的问题为基本出发点，以追求合理的数学教学实践为最终目的；数学教学反思是贯穿于数学教学全过程，是教师对数学教学的元认知；数学教学反思是数学教师学会教学的过程，是其自身全面发展的过程。2.4 数学解题教学反思玻利亚主张“解题是富有特征的、特殊类型的有目的的思考”。他结合自己数十年的教学与科研经验，提炼出了分析和解决数学问题的一般规律和方法，明确了“怎样解题”的4个步骤：弄清问题、拟订解题计划、实施解题计划、回顾总结反思等。为通过解题提高数学素养，数学解题教学中不能忽视解题“回顾反思”这个极其重要的一步。正如弗赖登塔尔所说：“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心动力，是一种积极的思维活动和探索行为，是同化、是探索、是发现、是再创造。”2.5 数学解题教学反思的内涵随着教育教学的改革，教师们越来越认识到了学习的重要性，通过各种渠道学习新的教学理念，新的教学方法。但是不少教师，仅仅停留在了学习，很少去思考、反思自己的教学。上海市普陀区教育局的王华老师认为，解决数学问题有三种境界：就题论题，就题论法，就题论道。就题论题，只囿于问题本身，问什么答什么，不论方法，不思变式；就题论法，通过题这个载体，思考解决问题的一般方法，明确建立能够举一反三的通法；就题论道，不只学习一般的解题方法，而且由联想推广到一般结论，力争找出反映问题本质属性的规律。目前的现状可以这样说，大多数老师的解题教学水平还只是在就题论题的水平，少数的老师能够通过归纳总结解决问题的一般方法，达到就题论法的水平，能够达到就题论道的，可以说是凤毛麟角。一个不会反思的教师，不能真正地理解数学；一个不会反思的教师，把握不了教学的真谛；一个不会反思的教师，更加教不出会反思的学生。著名翻译家杨宪益老先生说过“教育没有反思就没有进步”，我们的课堂教学又何尝不是这样。学生的学习，很大程度上从模仿教师开始，模仿教师的书写方式，模仿教师的思维方式。如果教师不善于反思，那么学生也就缺少了真正学好数学的基础了。华罗庚先生曾说过“读数学书不做习题，等于入宝山而空返”，那么做了习题不反思，就等于“拿着宝物又放下了”。我们的传统是主张熟能生巧，其实熟不一定生巧，能不能生巧，关键之一是反思。我们常说“题不在于多，而在于精”，然而，精选了，还要精讲，对于每一道题目，都要把它的作用发挥到极致，要把文章做足。因此，教师首先要提高自身的元认知水平，特别要加强反思能力的培养，然后在教学中，当然也包括解题教学中，对学生进行元认知的教育，提高反思水平，争取做到“就题论道”。3 数学解题教学反思的实践探索近几年，本人从如下几方面进行了数学解题反思的实践教学，有效地提高了解题教学的质量和水平。3.1 反思课本例、习题的深化课本是数学知识的系统载体，是数学课程标准的具体体现。课本是学生获取知识的主要来源和教师教学的主要依据。课本中的例、习题都是经过专家精心筛选的，具有一定的典型性和代表性，其中许多例、习题蕴藏着丰富的内涵和背景，是课本的精髓。下面就高中数学新教材(人民教育出版社的全日制普遍高级中学教科书(试验修订本·必修)中几道例、习题进行反思深化。3.1.1 保留条件，深化结论1 求证：如果三条共点直线两两互相垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两互相垂直。(第二册(下A)39页题10(1)保留上题的条件，在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，那么，(1)P、A、B、C四点在所对的面内的射影均是对面三角形的垂心；(2)ABC为锐角三角形；(第二册（下A）80页题14)(3)，（O为ABC的垂心）；(4) ；(5)分别为侧面与底面所成的角)；(6) 分别为侧棱与底面所成的角)；(7)对棱中点的连线段长相等，且互相平分；(8)对棱的平方和都相等；(9)P、A、B、C共球，且PA=PB=PC=1，求球的体积和表面积。(第二册(下A)77页例2)反思：课本上许多例、习题都是为了巩固某一知识点而设置的，它们之间都有着一定的联系，将它们串在一起，可使零碎的知识成为有机的整体，有利于加深对例、习题功能的理解。对充分发挥例、习题的典型性和示范性，培养学生的抽象、概括能力十分有益。3.1.2 等价转价，联想结论2 已a>b>c，求证：.(第二册(上)30页题8)分析 证明过程很简单，事实上但如果用分析法，则可得，出现“”形式，联想出下面结论：(1)已知x、y都是正数，求证：2.(第二册(上)11页题2(1)(2)已知x、y都是正数，求证：.(与上例题等价)事实上，令x=ab>0，y=bc>0，则ac=(ab)+(bc)=x+y即得。(3)对任意a>b>c，求使不等式成立的实数k的取值范围。与之等价的有“设x>0、y>0，求使恒成立的k的取值范围”。过程略，k的取值范围是(，4)。(4)对任意xy>0，求使不等式恒成立的k的取值范围。过程略，k的取值范围是(0，4)。反思：解数学题就是不断地变更数学问题，亦即不断地变更数学问题的表达形式。“如果不变化问题，我们几乎不能有什么进展。”(波利亚语)对数学问题进行充分的挖掘、转化，尽情地去联想结论，“多题归一”是培养思维灵活性的有效途径。3.1.3 观察类比，归纳结论3 已知a、b是正数，且ab，求证：a3+b3>a2b+ab2.(第二册(上)12页例3)课本上采用了作差比较法加以证明。观察不等式的结构特征，模仿证明过程，类比可得到：(1) ab，求证：a6+b6a4b2+a2b4.(第二册(上)16页题2)注：课本上原题“ab，求证：a6+b6>a4b2+a2b4”是不成立的。(2)已知a、b、c是不全相等的正数，求证：2(a3+b3+c3)>a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).(第二册(上)30页题4)(3)已知a、bR+，nN*，求证：an+1+bn+1abn+anb.(4)已知nN*，kN*，a、bR+，求证：an+k+bn+kakbn+anbk.OPBA4 如图，、不共线，用、表示。(第二册(下)107页例5)课本用向量加法、减法的三角形法则得出结果。=(1t)+t.可归纳出：(1)O为任一点，P为AB的中点，则=；(中点向量公式)(2) O为任一点，=，则=；(定比分点向量公式)(3) O为任一点，P为P1P2P3的重心，则=。(重心向量公式)注：结论(3)由(1)、(2)可证明；O可以是空间任一点；上述结论的逆命题也成立。(4)已知向量、满足条件=，|=|=|=1，求证： P1P2P3是正三角形。(第一册(下)151页题6)分析 由结论(3)知，P1P2P3重心与外心重合，从而得出结论；也可按下述过程进行证明：由=得，从而.由|=|=|=1，得2=1，即=同理=.故得证。反思：类比是数学中最常用的、最有效的归纳猜想方法之一，对数学的发展作用很大。“珍惜类比胜于任何别的东西，它是最信赖的老师”(开普勒语)将课本例、习题并联类比、归纳推广，向学生展现问题的通性通法，使学生明白一类，抓住一串，达到举一反三，触类旁通，有利于提高发现规律、猜想一般结论的能力。3.1.4 变换条件，探索结论5 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长。(第二册(上)118页例3)这是一道研究直线与二次曲线位置关系(直线截抛物线)的基础问题。课本上按解析几何的基本方法坐标法进行了处理，同时给出了用韦达定理或用圆锥曲线定义去求所截弦长的又一种常用方法。进一步分析：本例涉及三个要素“直线l”、“抛物线C(二次曲线)”、“弦长|AB|”，由其中两个要素处理第三个要素。课本例3的形式是“直线l及抛物线C弦长|AB|”，变换条件、结论，可得出：(1)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=x1截得的弦长等于8，求抛物线的方程(y2=8x或y2=4x)(2)已知直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，若|AB|=8，求直线l的方程。(y=x1或y=x+1)(3)斜率为1的直线与抛物线y2=4x相交于A、B两点，|AB|=8，求直线l的方程，并在x轴上求一点P，使ABP的面积为.( y=x+1，P(0，0)或P(2，0)(4)求抛物线y2=4x的斜率为1的平行弦的中点轨迹方程。(y=2(x>1)(5)求抛物线y2=4x过点(2，0)的弦中点的轨迹方程。(y2=2(x2)(6)若抛物线y2=4x上存在两点关于直线y=x+m对称，求实数m的取值范围。(m<3)反思：像上述这样一道课本基础的例题，经过不断的变换、改造和转化，几乎串联了直线与二次曲线相截问题的全部类型，达到以点带面、以少胜多、巩固三基(基本知识、基本技能和基本思想方法)的效果，使知识形成网络化、系统化，大大提高了思维的创造性。可以看出，教师在平时的教学和高考复习的过程中，应认真钻研教材，吃透教材，真正弄懂、弄通教材编排意图。善待教材中每一道例、习题，体会教材中例、习题的潜在价值、功能，对例、习题进行有机的演变、引申和开拓，可以最大限度的发挥课本的作用，也可以培养学生学数学、用数学的意识。3.2 反思课本题的研究性学习高中数学课程改革早已成为广大数学教师的自觉行动，“探索型的学习方式”、“研究性学习”观念早已深入人心。江苏省普通高中课程标准数学实验教科书在每一章复习题部分都设计了“探究·拓展”内容，用以激发学生探索数学的兴趣。下面以数学必修·2第一章复习题18为例作一介绍。题目：（操作题）用硬纸剪一个三边均不等的锐角三角形AOB，然后以AB边上的高为折痕，折得两个直角三角形，使之直立于桌面上（如图1），那么，就是在桌面上的射影，转动其中的一个直角三角形，观察与的大小关系，是否存在某个位置，使=？探究过程：3.2.1 探究准备1：一道熟悉题错解辨析(1996年“希望杯”竞赛高二（二试题8）)如图2，设C是ABO所在平面M外一点，且CO平面M，则以下结论正确的是 （ ）AACBAOB B. ACBAOBC. ACBAOB D. ACB与AOB大小关系不确定错解：如图3，在平面M内过点O作ODAB于D，连接CD.M在RtBDO中，sinBOD=,在RtBDC中，sinBCD=,在RtBOC中，BO<BC,从而sinBOD>sinBCD,故BOD>BCD，同理：AOD>ACD，所以，AOB=AOD+BOD>ACD+BCD=ACB. 选B辨析：所作垂足D一定在线段AB内部吗？若ABC或BAC为钝角，则D点落在线段AB或线段BA的延长线上。则AOB=AODBOD，ACB=ACDBCD，无法保证AOB>ACB成立。3.2.2 探索准备2：几何学史上的著名的米勒问题如图4，设点A、B是锐角MON的一边OM上的两点，试在ON边上找一点C使ACB最大。解：所求点C为过A、B两点且和射线ON相切的圆的切点，如图5.证明：事实上，在射线ON上任取点（异于点C），则交在圆外，连A，B，AM.则ACB=AMB>AB，故切点C即为所求。说明：如果设OA=a，OB=b，则由切割线定理得,。米勒（德国数学家）起初问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即在什么部位，可见角最大）？（1986年全国高考题）在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(0，b) (a>b>0)，试在x轴正半轴上求一点C使ACB最大。(C(，0)（2004年全国高中数学联赛题）在平面直角坐标系中，给定两点A(1，2)，B(1，4)，点C在x轴正半轴上移动。ACB最大时，点C的横坐标为 。（）下面就图2中AOB，ACB大小情况进行详细探究。3.2.3 探究1估算，进行定量分析如图2，设OA=a，OB=b，AB=c，OC=h. 则在AOB，ACB中，由余弦定理得从而.作差恒有当AOB为钝角时，从而；当AOB为直角时，也有，从而也成立；当AOB为锐角时，符号无法确定，此时大小无法确定.说明：事实上，对AOB为锐角的情况，随着a，b，c，h的值的不同，可使的值为正、为零、为负，分别有，.如：取a=1，b=900，AOB=1°，h=1，则有，即。3.2.4 探究2空间问题平面化如图6，将ABC沿边AB折转到平面M内成AB，则ABCAB，ACB=AB，从而只需比较AOB与AB的大小当BAC90°且ABC90°时，探究准备1中已有答案.当ABC为钝角时（BAC为钝角同样处理）如图7，作ODAB于D，连接CD，则CDAB，从而DAB，由D>OD得在线段DO的延长线上。如图8，在平面内，作ABO的外接圆，交线段DO的延长线于点E，点、点E都在线段DO的延长线上.当点位于线段OE内部时，AB>AOB，即ACB>AOB.当点位于点E位置（和E重合）时，AB=AEB=AOB，即ACB=AOB.当点位于线段DE延长线上时，AB<AOB，即ACB<AOB.说明：这种探索处理过程的背景就是上述探究准备2中几何学史上的米勒问题。3.2.5 探究3静止问题运动中思考容易看出AOB(，)当AOB，)时，探究准备1中已有确切答案.当AOB(，)时，如图9，固定此角大小，让点A、点B分别在射线O、O上运动.当A、B两点无限逼近于点O时，ACB0°.当A点沿射线O方向远离点O至“无穷远”，同时B点无限逼近点O时，ACB90°.当B点沿射线O方向远离点O至“无穷远”，同时A点无限逼近点O时，ACB90°.从而，当AOB(，)且固定此角大小时，ACB(，)且能取到(，)中任意值.当点A、B分别在射线O、O上运动时，ACB在平面M内的射影角始终是AOB（固定值）. 此时通过调整点A、B的位置可使ACB<AOB，ACB=AOB，ACB>AOB三种情形发生。说明：动静转换处理数学问题是常用的解题策略之一，尤其对一些极端情形的探索判断常能起到关键的作用。通过以上探索，可以发现数学必修·2第一章复习题18中=那个位置是存在的。反思：探究的一点体会研究性学习并不只是在课外开展，更不是对传统的教材和课堂教学的否定，利用正常的教学内容，学生（研究者）从教师的课堂教学中和课本中的教学内容中发现自己感兴趣的问题是开展研究性学习的一个重要途径。拓展性学习是研究性学习的先导，研究性学习是拓展性学习的重要形式。现行普通高中课程标准实验教科书中考虑到学生的不同需要，设计了许多具有挑战性的“探究·拓展”内容。平时的教学活动中，选择其中一些内容作思考与探究，既可以最大限度的发挥教材的作用，也可以培养学生学数学、用数学的意识，还可以让学生喜欢数学，感觉数学好玩，进而玩好数学。3.3 反思运算能力的提高运算能力是指在运算过程中，达到简捷、灵活、合理、正确的能力。3.3.1 注意观察结构特征，选择运算途径解题1 (1979年高考题) 已知(zx)24(xy)(yz)=0，求证：x、y、z成等差数列。分析 观察发现已知条件的外形结构：( )24( )( )=0与一元二次方程的判别式b24ac=0相似!故当xy时关于u的二次方程(xy)u2+(zx)u+(yz)=0有两相等根。进一步观察，发现各系数和为零，从而此一元二次方程两等根为1。据韦达定理有1+1=，即2y=x+zx、y、z成等差数列.至于x=y情形，结论显然成立。2 设aR，方程x4+ax3+3x2+ax+1=0的一切根均为虚数且其模均不为1，求a取值范围。分析 初看，方程是高次议程，根为虚根，无法下手。细看，方程即(x2+1)2+ax(x2+1)+x2=0由x=0不是方程根，两边同除以x2得设可得一元二次方程t2+at+1=0令x=u+iv，其中u、vR，v0，u2+v20，u2+v21，=i因而t恒为虚数，于是方程(*)的根都为虚数。故 2<a<2反思：对命题的条件、结论的构成(如符号、字母、母形、数学关系式的结构)，作全面，深入、正确的观察，找出其本质特征，直觉地选择不含繁杂运算的最佳运算途径。自然而然就有了想运算一下的欲望再加上熟练运用运算法则，应用一些解题策略，就一定能正确、合理地进行运算。3.3.2 注意严谨推理，防止运算失误3 设x、yR+且x+y=1，求f(x,y)=的最小值。分析 据x、yR+及x+y=1，可令，(0，).错解 f(x,y)=2··=8故所求最小值为8.因两等号无法同时取到，故所得结论是错误的。正解 f(x,y)=csc2+4sec2=5+(ctg2+4tg2)9所求最小值为9.4 设双曲线极坐标方程为，过极点F作与极轴成角的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的长。分析 由圆锥曲线极坐标方程，得e=，=，故=故直线AB与双曲线的交点A、B分别在左、右两支上(<arctg)，因此应设左支上的支点A(，)，右支上的交点B(，)，则有，=2，|AF|=2，|BF|=|AB|=|AF|BF|=2=注 此题易错设A(，)，B(，)，|AB|=+。这样的运算过程是没有搞清双曲线左支上点的极径应为负。反思：有不少学生，解题时碰到新问题(哪怕是过去见过的)，通过观察审题，总感到题目还是可以下手的。但解题过程中，不能顺利过渡到最后一步，即使能做到最后一步，也是做不对或不全对。其原因主要是运算、推理过程的不严密所致。如果能养成严谨的逻辑推理的习惯，就会使运算正确地进行到底。3.3.3 加强联想，运用已有知识综合运算5 在锐角ABC中，求证：3+n(n2)分析 这是一道三角形的综合题，涉及到三内角A、B、C的正切tgA、tgB、tgC，在三角形的各式各样关系中很快联想到恒等式：tgA+tgB+tgC= tgA·tgB·tgC由锐角三角形得tgAtgBtgC= tgA+tgB+tgC待添加的隐藏文字内容2从而有tgAtgBtgC3=3()n>3(1+) n>3(1+n)=3+n反思：联想是提高解题能力的重要手段。只要平时注意掌握好数学基础知识基本思想方法，在头脑中形成一系列的知识网点，作为联想的信息基础，运算就能左右适源，得心应手。如果能把所学数学知识内化成认知结构，就能从认知结构的网络上联想找到知识的突破点，进而就能进行高层次的综合运算。3.3.4 换位思考，灵活快速运算6 有对数方程lg(3x)+lg(x1)=lg(ax)讨论它有解时实数a的取值范围。分析 这是一道含参变数的对数方程的讨论题。先作等价转化，转化成讨论一元二次方程(3x)(x1)=ax在区间(1，3)内有解的条件问题。思路一 求解一元二次方程，然后验根，这是基本解法，但过程稍繁，略。思路二 一元二次方程(3x)(x1)=ax在区间(1，3)内有解时a的取值范围，等价于求f(x)=(3x)(x1)+x当x(1，3)时的值域。易得a(1，。思路三 等价于求函数f(x)=(3x)(x1)+x当x(1，3)时的图象与函数y=a的图象有交点的条件。作图可得出答案。思路四 通过根的分布法讨论方程(3x)(x1)=ax在(1，3)内有一解、有二解的条件而解决问题。反思：达·芬奇曾说过：即使是一个鸡蛋，只要换一个角度去看它，形状就立即不同了。在运算过程中不要一味地抱住一种解法。如果从更多角度、在更多的方面发现和尝试，可以找到最佳运算过程。打破思维定势，换位思考，有助于灵活、迅速地进行运算。培养善于打破运算定势的变通能力，也有助于培养发散思维，开发思维的创新性。3.4 反思数学思维品质的培养这里仅就几种学生思维过程中的心理障碍进行分析思考，以达到提高数学思维能力，培养数学思维品质的目的。3.4.1 克服知觉干扰，培养思维的深刻性知觉是指人脑对直接作用于感官的事物整体的反映，知觉干扰常常是由于知识的片面性所造成的思维障碍，只看到表面现象，不能透过现象深入理解本质，对一些概念、定理、公式只是依葫芦画瓢地硬套，不考虑其成立的条件，表现为思维的肤浅性。如：判断f(x)=x2(0x1)奇偶性时，只注意到(x)2=x2，忽视了f(x)是否有意义；在求极限值时，据极限的四则运算法则，=+=0，忽视了“无限”意识的转变。1 已知三个不等式：(1)|2x4|<5x；(2)1；(3)2x2+tx1<0。如果满足不等式(3)的x值至少满足不等式(1)、(2)中的一个，求实数t的取值范围。分析 不等式(1)、(2)的解集分别为A1(1，3)，A2=0，1)(2，4，关键词“至少”实质反映了集合的“并”的关系。于是有f(x)=2x2+tx1，A3=x|f(x)<0，A3A1A2=(1，4.据二次函数图像及根的分布得 t<1反思：把数学对象从背景材料中区分出来，取决于对所涉及的数学材料的本质属性的理解程度。要克服知觉干扰这种心理障碍，就要提高学生对数学信息的感知能力。感性材料只有经过思维过程的提炼，在头脑中的认识才能产生突变，从而产生概括，只有抓住本质，认识其规律性，这样才能克服思维的表面性、绝对化与不求甚解的毛病，培养思维的深刻性。3.4.2 克服思维定势，培养思维的灵活性、广阔性定势是由心理操作形成的模式所引起的心理活动的准备状态，也称心向。学生由于受先前数学经验的影响，使当前的心理活动表现出一定的倾向性，在数学解题过程中总想遵循已掌握的规则系统。思维定势有时会引起负迁移，产生消极影响，表现为思维的呆板性、狭隘性。在定势的妨碍下，学生学习表现为程式化、模式化，缺少应变能力。如：受直线和圆位置关系定势的影响，误以为直线和圆锥曲线只有一个交点，就是相切；由实系数一元二次方程有实根条件的迁移，误以为复系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实根的条件也是b24ac0。2 设数列an的前n项和Sn=an2+bn且a<0，则当n2时比较nan、Sn、na1的大小。分析 凭经验应是据Sn求出an表达式，然后比较大小。但如果打破常规，注意到：，d=2a<0，就可很快地得到解决。3 (1987年高考题)设对任意xR，x2+2x+>0恒成立，求实数a的取值范围。分析 此类问题通常解法是讨论二次项系数及判别式，然后解不等式组。但如果将原不等式写x2(3+)2x+2>0，即3x2+(x22x+2)>0.就可冲出定势，开阔思路，分离变量>，当xR时，右边最大值为0，从而>0，0<a<1.反思：要克服思维定势这种心理障碍的影响，教学过程中，在培养学生使用“双基”的定势来巩固、掌握数学知识的同时也要培养学生善于打破定势，使学生遇到陌生的数学问题既不落落入“套式”，也不束手无策，多方面、多角度地去思考问题，培养思维的灵活性、广阔性。3.4.3 克服自卑心理，培养思维的主动性、批判性自卑是指学生对自己的品质和能力做出过低评价，或对自身的智力和能力怀疑所产生的心理感受，又称自我否定意识。表现为消极的自我评价，是和正常的自尊心相对立的一种病态心理。在数学思维活动中，自卑心理是较为普遍的、相当严重的心理障碍，尤其对成绩中等及偏下的学生更为突出。他们在个别时候偶尔也会表现出自己的聪明才智，然而大多数情况表现为缺乏主动性、无批判性。4 如果关于x的方程x3ax22ax+a21=0有且只有一实根，求实数a的范围。分析 学生看完题目，觉得自己能力不够，等待老师去讲解。(创设特定情境)将原方程“主”、“客”转换，关于a整理得a2(x2+2x)a+(x31)=0.(学生主动参与)分解因式a(x1)a(x2+x+1)=0，x=a+1或x2+x+(1a)=0。(主体性充分发挥)由原方程只有一个解，得=14(1a)<0，a<.反思：要克服自卑这种心理障碍，除了社会作用外，更重要的是教师的作用。在平时的教学中，要设法创设特定的思维情境，千方百计地调动学生学习的积极性、主动性，让学生愉快地学习，彻底改变应试教育中的教育观点、教育模式，优化课堂教学。3.4.4 克服“逻辑电网”，培养思维的独创性“逻辑电网”是指学生在学习过程中，因害怕逻辑错误而不敢大胆思维的心态。数学是非常讲究逻辑思维的学科，但过于偏爱逻辑推进，把严密性看得过重，容易在心理上筑起一道“电网”，束缚自己的创造性思维，形成心理障碍。5 设a、b、cR+，a+b+c=3，求证：3.分析 据，=a+1，只能得到左(a+1)+(b+1)+(c+1)=6，而无法使其小于3.由a、b、c的对称性猜得a=b=c=1时，左=右。大胆创新：= a+2，(由a=1时2a+1=3)故左(a+2)+(b+2)+(c+2)=9，左3.6 方程x+y+z=10有多少组不同的整数解?分析 本题从求解方程角度无法进行，发散另辟蹊径。将10分成三部分，可将问题看成在10根电线杆之间插入2面小红旗，每一种插法就是一组不同的正整数解。不同插法种数=36，从而方程共有36组不同的正整数解。反思：要克服“逻辑电网”这种心理障碍，就必须在加强严谨细致、有根有据的集中思维培养的同时，注意灵活流畅、富有创新意识的发散思维的培养，使学生不受时空限制，冲破“电网”封锁，进行飞跃式的想象、猜测、创造，培养思维的独创性。4 结束语反思回顾是解题教学的重要一环，其作用在于将解题实践提炼升华，积累经验，提高能力。对数学解题教学进行反思，尚有许多问题值得研究。比如，数学教师的数学解题教学反思意识与能力的培养，激励教师数学解题教学反思的学校环境的营造，数学解题教学反思标准，教师的反思技能，反思性数学解题教学的教学模式，反思性数学解题教学思维的特点，等等。为了深入研究数学解题教学反思，我们需要更多的数学解题教学反思案例作为研究的实践基础，这就需要广大数学教师多反思，敢于暴露自己数学解题教学反思的全过程，真正让“解题教学”反思成为师生的自觉行动，使之“制度化”。玻利亚语：“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域。”参考文献：1 单墫 解题研究M. 南京：南京师范大学出版社，2002.7376 79 2 曹一鸣 数学教学模式导论M. 北京：中国文联出版社，2002.208 3 王林全，吴有昌 中学数学解题研究M. 北京：科学出版社，2010.1，83，106.4 陈永明名师工作室 数学习题教学研究M. 上海：上海教育出版社，2010.130.5 周根龙 试论数学教学反思J. 数学教育学报，2003，12(1)；90.6 汤晓燕 解题反思：内涵理解与实践探索J. 高中数学教与学，2011.8；5253.7 徐树旺 克服心理障碍 培养数学思维品质J. 数学教学研究，1999.2；46.8 徐树旺 浅谈培养和提高运算能力J. 中学生理科应试，1998.4；1315.9 徐树旺 例谈课本例习题的深化J. 数学教学研究，2007.1；1214.