浅谈如何在初中数学中渗透换元思想.doc
浅谈如何在初中数学中渗透换元思想 洪雅县东岳镇天宫学校 杨贵芬数学知识、数学思想与数学方法三者是密不可分的,人们在解决问题的过程中都要经历问题思考总结的过程,而剖析这一过程正是我们数学教学的重要任务。这个过程的实质就是发现数学和运用数学,是比数学本身更为重要、更为宝贵的数学思想。而换元思想则是几种重要的数学思想之一，其方法也就是换元法。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使得代换后的问题中仅含新变量，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。初中数学要求“理解”或“会应用”的基本方法有：待定系数法、降次法、消元法、配方法、换元法、数形结合法、而换元法可以达到消元或降次的目的。换元法作为多种重要解题方法之一,对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，从整个初中教材来看,没有一道例题是用换元法来讲解的，只是在习题，或其它教辅资料中，部分题如果运用换元法解更便于学生理解、掌握、现就以一些题为例：（华东师大版教材）七年级上册第121页21题把(xy)看作一个整体，合并下列各式中的同类项，（）、(xy)(xy) xy)（）、(xy)(xy)(xy)(xy)其实此题，也就相当于，设xya，则（）题就变为了aaaa（）题变为aaaaaa第121页25题已知：代数式xy的值为，求xy的值解：设xxy，则有y，即y原式（xx）y在计算求值时,常妙用换元法,把一个代数式用一个新元进行代换.以新元参与有关运算,大大简化了计算过程.换元法在有理数混合运算中的应用：×（）（0.5）×÷()|()3|此题对刚进初中的学生来说，计算起来比较繁锁，如果我们先设×（） （0.5）×÷()|()3|再计算就简单多了七年级下册：解方程组例1、 ××××解：设则方程组可变为（此处用换元法把含有分母的方程组换成了不含分母的方程组）解之得：1311所以有13 即 xy91 11 xy77解之得 x=84y= 7 例2、 |x|y |x|y解：设|x|m，则原方程组可变为mymy6（此处用换元法把带有绝对值符号的方程组化成了不含绝对值的方程组）解之得：my所以有|x|当x，即x时x，即x此时方程组的解为 x y当x，即x时x，即x此时方程组的解为x y八年级上册 例、 化简：（xy）2（xy）（xy）（xy）解：设xyaxyb 原式aabb （ab） 即（xyxy）y例、分解因式：（）、xy解：设xmyn原式mn （mn）（mn）（xy）（xy） （xy）（xy）（xy）（）、9x（ab）16y（ab） 解：设3x（ab）m4y（ab）n 原式mn (mn)（mn） 3x（ab）4y（ab） 3x（ab）4y（ab） （xa3xbya4yb）（xa3xb-ya-4yb）运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.八年级下册1.用换元法解分式方程例：解方程： (1)；（2）； (3) 解: (1)原方程可化为: . 设,则方程化为: . 解方程,得 . 当时， . 解得,. 当时, . 解得,或. 经检验,知,都是原方程的解. 所以,原方程的解为,在（）、（）小题中方程中含有未知数的几个分式，除数字系数外，互为倒数关系（如，解方程：），这时，只须设即可. 九年级上册用换元法解无理方程. 例.解方程：原方程可化为: . 设,则方程化为: . 解方程,得 . 当时, . 解得,. 当时, . 此方程无解. 经检验,知都是原方程的解. 所以,原方程的解为.妙用换元法,将无理方程化为有理方程,从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题. 解比较复杂的无理方程时,如果用两边平方的方法,将出现高次方程,增加解题难度,此时若能根据方程的特点,灵活地应用换元法,则可以实现化繁为简、化难为易的目的.在采用换元法解无理方程时,一般设整个根式为辅助元,这样不仅能简化方程,而且往往能直接把无理方程化为有理方程.总之，换元法贯穿整个初中教材,广泛应用代数部分,换元法可以化难为易,以简驭繁,可以将高次方程降次而求得结果,也可以把无理方程变为有理方程,把含有分母的方程组化为不含分母的方程组,把含有绝对值的方程化为不含绝对值，从而更简单地演算出结果教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这种数学思想的应用，而且要激发学生学习这种数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题，为以后的进一步学习奠定坚实的基础。
