插值方法初探与应用毕业论文.doc

插值方法初探与应用摘要插值法是计算数学中的一种重要的方法，而且计算问题可以说是现代社会各个领域普遍存在的共同问题，无论哪一行哪一业都有许多数据需要处理，插值法正在科学技术中发挥越来越大的作用.本文首先介绍了插值法的概念，并进一步讨论了插值问题的存在性与唯一性；由该性质出发，结合数学归纳法与猜想法构造性的引出拉格朗日插值法.但拉格朗日插值法随着插值结点的变化，会引起重复计算的问题；为克服该问题又引出了牛顿插值.但牛顿插值随着插值结点的增多，会导致多项式的增高插值函数的稳定性降低，为克服该问题又进一步引出分段线性插值.但分段线性插值带来光滑性问题，埃尔米特插值在插值结点处的一阶微商处也符合插值条件，一定程度上克服了这个缺点.三次样条插值能够很好的求出插值结点处的微商值，因此在这些方面，三次样条插值代替了埃尔米特插值.其次介绍了插值法在初高中的一些问题上的应用，为了说明插值法并不是陌生的知识；最后介绍了插值法在热工计算上及温度预测上的处理数据的实际应用.关键字：插值；插值结点；拉格朗日插值；热工计算；温度预测PRELIMINARY SYUDY AND APPLICATION OF INTERPOLATION METHODABSTRACTInterpolation method is a kind of important methods of computational mathematics, and computing problems can be said to be the common problems of each modern social domain, no matter which field it is, many data need dealing with, and interpolation is playing a more and more important role in science and technology. This paper first introduces the concept of interpolation method, and further discusses the existence and uniqueness of the interpolation problem. Starting from the nature, combined with the method of mathematical induction and conjecture leads Lagrange interpolation method constructively. But the Lagrange interpolation method will cause repeated calculation problems with the change of the interpolation node. In order to overcome this problem, piecewise linear interpolation the Newton interpolation is introduced. But piecewise linear interpolation Newton interpolation can lead to the reduction of the stability of higher polynomial interpolation function along with the increase in interpolation nodes, in order to overcome this problem, is introduced. But the piecewise linear interpolation bring smoothness problem, Hermite interpolation order interpolation nodes in the micro business is also in line with the interpolation conditions, to a certain extent, overcomes this drawback. Cubic spline interpolation is good for the derivative of the interpolation node value, so in these respects, cubic spline interpolation can replace Hermite interpolation. Secondly, the application of interpolation method in some problems in the secondary and high school stages are introduced to illustrate interpolation method is not new knowledge. Finally this paper introduces the practical application of interpolation method in the data processing of thermal calculation and temperature prediction.Key words: interpolation; interpolation node; Lagrange interpolation; thermal calculation; temperature prediction目 录1 前言-12 插值法-22.1 插值法的概念-22.2 几种不同插值法-22.2.1 拉格朗日插值-32.2.2 牛顿插值-52.2.3 分段线性插值-62.2.4 埃尔米特插值-72.2.5 三次样条插值-83 插值法的应用-113.1 基础知识-113.2 插值法在初高中数学问题中的应用-113.2.1 插值法在初中数学问题中的应用-123.2.2 插值法在高中数学问题中的应用-163.3 插值法在实际问题中的应用-193.3.1 热工计算上的实际应用-193.3.2 温度预测上的实际应用-224 结论-25参考文献-26致谢-271 前 言插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题.插值法是一个古老的话题，早在公元六世纪，刘焯就创立“等间距二次内插法公式”来计算日、月、五星的运行速度，之后，插值法就随着后来科学家的深入研究使之更加完善.插值法不仅是在算法上能够更加简便，而且在实际应用中，插值法会使很多问题由复杂变为简单从而方便解决.插值法的提出主要源于实际问题，在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值，因此需要用插值方法处理，求出近似函数.在插值问题的研究工作中，对用于逼近的简单函数的类型有不同的选取.多项式或分段多项式最便于计算和使用，因而使用的也比较多。特别计算机出现后，人们更把注意力集中在利用多项式的插值方面，因为计算公式相对的易于描述和进行程序设计，其误差分析也比较简单.无论国外还是国内，科学家们对于插值法已有了很多研究，如：刘焯、牛顿、拉格朗日、莱昂哈德·欧拉、爱德华·华林等，对于插值法算法的研究，虽然在一些想法上比较抽象，不容易理解，但是在解法上还是比较具体的.通过本论文的研究会对插值法有进一步不一样的了解，会让它在初学者眼里都比较熟悉，同时拓展运算思维能力，因此进一步开展这方面的研究将大有可为.2 插值法实际问题中遇到的函数是多种多样的，有的表达式很复杂，有的甚至没有给出表达式，只提供了一些离散点上的函数值或导数值。为进一步分析问题的性质和变化规律，希望找到一种能近似描述函数变化规律、又便于处理的简单函数作为的近似.这就是下面要介绍的插值法所要解决的问题.2.1 插值法的概念插值法又称“内插法”，是利用函数在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用函数的值作为函数的近似值，这种方法称为插值法.如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式；如果这特定函数值是三角函数，就用三角多项式作为插值函数等.因此函数的类型可以有各种不同的选择，但我们最常用的类型是代数多项式，这是因为代数多项式具有一些很好的特性，如：它具有各阶导数，计算多项式的值比较方便，等等.因此本文中的所有插值函数都是代数多项式插值，所以本文讨论的都是代数插值多项式.为定义在区间上的函数，,，为上个互不相同的点，为给定的某一函数类。若函数，满足=， 则称为关于节点,，上的插值函数.称点,，为插值节点；称称为被插函数.2.2 几种不同插值法上节讨论了插值法的概念，使读者了解插值函数通常用来代替实际函数计算，因此构造插值函数很重要，而且越逼近实际函数，就说明插值效果更好，所以插值方法很重要，下面就介绍几种常用的插值.2.2.1 拉格朗日插值欲构造插值函数，首先想到的就是定义.即设函数在区间上有定义，且已知在点上的函数值，求一个次数不高于的插值多项式，使 成立，即 这是一个关于的元线性方程组，其系数矩阵的行列式为,这个行列式称作范德蒙（Vandermonde）行列式，如果，则，所以方程组有唯一解但是这样的方法比较麻烦，计算量大，不便于实际应用.因此我们讨论一下用其它简单的方法来解决类似的问题.先给出简单的两个点讨论，如下表格构造一个插值函数若把直线方程用两点式来表示，则有+ 上式是两个线性函数和的线性组合，把这两个函数分别记为=，=，并把叫做点的一次基函数，把叫做点的一次基函数.插值函数是两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值，这种形式的插值称之为拉格朗日（Lagrange）插值.插值函数与函数之间存在误差，则误差=-（）=， 若在两点的基础上在增加一个点，如下表：构造一个插值函数由于两点的关系式为： +，由于此关系式为关于的关系式，因此很容易猜想到是关于的关系式，并且此关系式是二次的.由于需要满足，因此由，可知与相乘的式子为1，与，相乘的式子为0，所以与相乘的式子有；由，可知与相乘的式子为1，与，相乘的式子为0，所以与相乘的式子有；由，可知与相乘的式子为1，与，相乘的式子为0，因此推出与相乘的式子是，所以可以推出与，相乘的式子分别为，由一次基函数的定义，可以定义为点的二次基函数，为点的二次基函数，为点的二次基函数.因此插值函数与函数之间存在误差，则误差=-=， 由以上的分析，可知对于拉格朗日插值，随着插值节点的增加，基函数都需重新计算，比较麻烦，因此需要找到另一个插值方法克服拉格朗日插值法的缺点.2.2.2 牛顿插值拉格朗日插值公式是由直线方程的两点式表示的，数据同2.2.1中的数据表，若把直线方程用点斜式表示，则有=+（），也可按照通常的写法写为：，若在在两点的基础上在增加一个点，从式子中很难推断再增加一个点后的关系式.因此将（）的关系式用另外一种角度分析，函数在，处一阶均差的定义是：，所以式中的是在，处的一阶均差.利用均差的对称性，可表示为=+（），这种形式的插值叫做牛顿（Newton）插值.误差与拉格朗日两点的误差一样.变化后的就比较容易推出再增加一个点后的关系式，表格如下：构造一个插值函数令=+（），由于，所以，可得这是一阶均差的均差，函数在任意三个互异点，处的二阶均差为=，则=+（）+其中误差与拉格朗日三点的误差一样.由此得到的二次插值函数与牛顿插值法得到的一次插值函数比较，只是多了一项，因此，用此公式计算插值函数，在已知点的基础上再增加几个点，只需在已知结果的基础上再增加几个多项式而已.因此在此方面，牛顿插值比拉格朗日插值更加简单.2.2.3 分段线性插值前面介绍了构造插值多项式的方法，并分析了余项，即误差.从余项的表达式看到，插值多项式与被插函数逼近的程度同分点的数目及位置是有关的，但也不能说，分点越多，插值多项式对函数的逼近程度越好.因为有些函数，在给定的插值节点，有些点逼近效果很好，但有些点逼近效果却很差.因此引进了分段函数.设在区间上，给定个插值节点=<<<<=和相应的函数值，求作一个插值函数，具有下面性质：=，=0，1，2，在每个小区间上是线性函数插值函数叫做区间上对数据（=0，1，）的分段线性插值函数.构造具有这种性质的插值函数，需要把前面构造拉格朗日插值函数的办法加以推广，先在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，再作它们的线性组合.分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取1，在其他的插值节点上取零，而且在每个小区间上是线性函数.= =则分段线性函数的表达式为=分段线性插值函数与函数之间存在误差，则误差 其中，2.2.4 埃尔米特插值为了使插值函数与被插函数的密合程度更好，因此要构造一个插值函数，不但在给定的节点上取已知函数值，而且取已知微商值。因此有埃尔米特插值.设给定，和相应的函数值，以及微商值，构造插值函数.要求满足条件：是不超过三次的多项式=，=，=，=仍然采用构造基函数的方法，在每个点上构造两个插值基函数，设点对应的插值基函数分别为和，对应的插值基函数为和.最多是一个三次多项式，而且在，除函数值为零外微商值也是零，所以必有因子，则=.利用=1得=1，为确定，对求微商，再利用=0得=-，于是得到=.用同样的办法可以得到=，又因为在，上函数值为零，在上微商值为零，故有因子，又是一个不超过三次的多项式，于是=，对求微商，再利用=1得出=1，所以=.用同样的方法得出=.利用这四个插值基函数可直接写出Hermite插值函数=Hermite插值函数与函数之间存在误差，则误差=，2.2.5 三次样条插值上面讨论了埃尔米特插值，已知构造埃尔米塔插值时需要一阶微商值.但在实际问题中，给出插值点上的函数值比较方便，给出插值点上的微商值就困难一些.要在只给出插值点上的函数值的情况下构造一个整体上具有二阶连续微商的插值函数.这就是下面的三次样条插值所要解决的问题.给定区间上个节点和这些点上的函数值，若满足，在每个小区间上至多是一个三次多项式，在上有连续的二阶导数，则称为关于部分的三次样条插值函数，称为样条结点.假如在区间上三次样条插值函数存在，并用来表示在点处的微商值.由于曲线通过点，并且在每一个小区间上满足条件：，,，故可利用Hermite插值公式写出小区间上的三次样条插值函数的计算公式 （a）但在样点上的微商值不知道时，如果要用此公式时，就必须设法首先求出.为了求出，利用函数在样点上二阶微商连续的性质.将（a）式对求微商并令，不难得到- 因为是在区间上的三次多项式，因此可以得到在区间上点的右微商，记为：= (b)同样，可以给出区间上点的左微商，记为:= (c)由于二阶微商连续，因此=即= 将上式整理，并令 (d)再对每个内点建立方程，则得到方程组 (e)这是关于个未知量的个线性方程组.方程组有无穷多个解，但实际问题只能选取特定的一个解.这就需要根据具体情况，补充两个附加条件，它们称为边界条件，常见的边界条件有：曲线在两端点处的切线斜率已知，即及已知，方程组(e)就成为具有个未知数的个方程组，它有唯一解.函数在两端点和处二阶微商为零，即，或，从方程(b)、(c)可得 （f）把式(e)和式（f）联立，也可唯一地解出未知数.函数是周期函数，基本周期为，这时，相应地要求样条插值函数也是周期函数，在端点上满足条件和，有将上式与式(e)联立，也可唯一解出未知数.以上介绍的插值法为几种常见的插值法，还有关于其他插值法的介绍，如：克里格插值法等，由于篇幅的原因，这里就不一一介绍了.3 插值法的应用3.1 基础知识求一个一次函数关系式，使其过点（，）、(,),另此一次函数为，将已知两点代入此关系式为，解此方程组得到、，从而得到一次函数关系式.求一个二次函数关系式，使其过点（，）、(,)、，令此二次函数为，将已知三点代入此关系式为，解此方程组得到、，从而得到二次函数关系式.确定函数在某点的取值范围：对于给出的含变系数的多项式，当时，确定的取值范围，可将已知条件通过解不等式组，先求出变系数函数的系数值范围，然后将点代入函数表达式，这样就能得出最终结果.对于某一类较为复杂的因式分解问题，若运用以前初高中数学的方法，只能采取展开算式，合并同类项，然后需要一定的技巧和观察力，通过添项，拼凑的途径，经过许多次的试算达到分解因式的目的.对于恒等式的证明问题，如果对于所要证明的恒等式含有个或三个以上分式之和的问题，通常采取通分、合并同类项、添项、去项、因式分解，提取公因式，然后再约分，从而得出结果.3.2 插值法在初高中数学问题中的应用3.2.1 插值法在初中数学问题中的应用例1 若一次函数满足，求此一次函数.方法1 常规解法解 令此一次函数为，将，代入，得 解得 此一次函数为方法2 拉格朗日插值法解 0 1 1 先构造过，的一次插值基函数= =此一次函数为=例2 若二次函数关系式满足,求此二次函数关系式.方法1 常规解法解 令此二次函数关系式为，将,代入，得 解得此二次函数为方法2 牛顿插值法解 -1 2 3 3 5 7= =此二次函数为=例3 求一个二次函数，它在=的值与函数的值相同.解 =0，=1，=-1，=1，=-1 方法1 常规解法令此二次函数关系式为，将，=1，=-1代入此方程得 解此方程组得此二次函数为方法2 拉格朗日插值法 0 0 1 -1=此二次函数为= =上面的几个例题的常规方法都是用以前学过的待定系数法求得的，但是这种方法只是适用于未知数较少的，对于未知数较多的，用此方法太过于麻烦，在这种情况下，就应该用插值法比较简单.例4 已知函数，满足，求的取值范围.方法1 常规解法解 ，因此，可变为 又也可变为 即方法2 拉格朗日插值法 解 令为偶函数，因此 所以 -2 2 4 =+又= 若为奇函数，则方法如上.通过以上两种方法，可明显看出用拉格朗日插值法比常规法得到的取值范围更精确一些.因此，在有些问题上，用插值法更简洁，更精确.3.2.2 插值法在高中数学问题中的应用例1 求出三次函数表达式，使， 方法1 常规解法解 令此三次函数关系式为，则将，代入上面的两个方程得 解方程组得此三次方程为方法2 三次样条插值法解 0 113 -3 8此三次函数表达式为 =例2 分解因式方法1 常规解法解 原式 = 方法2 拉格朗日插值法解 由插值公式将乘等式两边得 又有且令原式例3 对于一元二次函数，已知，求的零点。方法1 常规解法解 令此二次函数为，将，代入得 解此方程组得此二次函数关系式为令，得的零点为2方法2 拉格朗日插值法解 可将题中的与的值对调，因此此题相当于求，对调数据后得到的数据如下： 25 4 1 -3 0 3其中= =-+= +=,因此此二次函数的零点为很容易看出，用拉格朗日插值法求出的零点的误差较大，这是因为所取的点较少，从而导致误差较大，所以此方法适用于所取的点数较多，若较少时，仍然用待定系数法求的更精确.例4 求证方法1 常规解法解 将左边通分，拆开，再合并同类项，即得左边=方法2 拉格朗日插值法解 设 则 左端令，由插值公式有 3.3插值法在实际问题中的应用3.3.1 热工计算上的实际应用牛顿插值与拉格朗日插值在硅酸盐热工计算上有许多实际用途.诸如热熔、重度、导热系数、干燥参数、流体力学局部阻力系数等有关表格中未列出的独立变量所对应的函数值都可以用此二公式计算出，也可以用这两个公式对表格进行加密，以缩小独立变数之间的间距.例1 已知二氧化碳在0、100、200、300时的热容值如下表表示，试用牛顿插值或拉格朗日插值公式把热容表加密成温度变量间距为50的表格：温度热容千卡/标米度温度热容千卡/标米度00.38052000.42901000.40923000.4469解 牛顿插值公式： 计算50时二氧化碳的热容千卡/标米度，列出计算表：温度热容千卡/标米度 将数值代入公式计算得 = =0.3948千卡/标米度.按照此方法可算出150、250时的热容. 加密后的热容值如下表所示： 温度 热容千卡/标米度00.3805500.39481000.40921500.41912000.4290 2500.43393000.4469 用此公式可以继续缩短温度变量间距对图表加密，弥补由于实验数据不足而使表格变量间距过大.例2 根据上面的表格，利用牛顿插值公式和拉格朗日插值公式，计算120时二氧化碳的热容数值。解 温度 热容千卡/标米度 牛顿插值解 =0.4132千卡/标米度 拉格朗日插值解 =+ =0.4124千卡/标米度比较用这两个公式计算出来的误差，相对误差<0.2，从这一实例可以看出，除非对精确度有特殊需要，一般若变量间距较小，则尽量使用牛顿插值公式进行计算，这样可以缩短运算时间，提高运算速度，且又不致引起太大的计算误差.3.3.2 温度预测上的实际应用某班级组织一次实践活动，为了是同学了解温度的变化，在12h内，每隔1h测量一次温度，温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24.（单位：），试分别用分段线性插值、三次样条插值方法估计在3.2h,6.5h,7.1h,11.7h的温度值，每隔h估计一次温度值并画出其图形.用分段线性插值、三次样条插值方法估计在3.2h,6.5h,7.1h,11.7h的温度值编程如下：hours=1:12;temps=5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24;t=interp1(hours,temps,3.2,6.5,7.1,11.7) %线性插值T=interp1(hours,temps,3.2,6.5,7.1,11.7,'spline') %三次样条插值结果为t=10.2000 30.0000 30.9000 24.9000T=9.6734 30.0427 31.1755 25.3820每隔h估计一次温度值并画出其图形编程如下：hours=1:12;temps=5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:')xlabel('时间'),ylabel('温度')图形如下：由上可以很明显的看出，由于计算机的加入，使其非常复杂的运算变得非常简单，因而计算机对计算机对插值法的作用真的很大.4 结 论插值的方法有很多种，其中包括牛顿插值、拉格朗日插值、分段线性插值等，至于用哪一种方法是根据实际情况决定用哪一种比较适合，但无论用哪一种，目地只有一个，就是根据已知数据得出与它们比较符合的函数.由于所给数据有的时候会很多，因此线性插值从一元推广到二元甚至n元以及分段等，都是为了更好的处理数据，从而找到更加符合的函数.由于在处理很多数据时特别麻烦，因此计算机的加入使其运算特别简单.本文主要研究插值方法的初探与应用，第一部分介绍了插值法的概念及几种常见的插值法，目的是先对插值法的基础知识有一定了解，从而对后面的应用储备知识；第二部分介绍了插值法在初高中问题中的实际应用，目的是首先说明插值法的应用广泛，再进一步说明我们对插值法并不陌生，也没有那么难以理解，主要是帮助读者理解；第三部分介绍了插值法在实际生活中的应用，目的是说明在生活中很多地方都会用到插值法，本论文只是举了两个比较简单的例子.通过此论文让读者了解插值法的同时，能够掌握插值解法，并且了解插值法的应用.而且插值法在日常生活生产中的应用无处不在，因此对于探讨插值法的初探与应用是很有必要的.参考文献1 华中理工大学数学系编.计算方法 (第一版) M. 高等教育出版社, 施普林格出版社，1990：58-84页2 现代应用数学手册-计算与数值分析卷（第一版）M.清华大学出版社,2005：100-130页3 徐萃薇编.计算方法引论（第二版）M.高等教育出版社,1985:13-147页4 张韵华、奚梅成编.数值计算方法与算法（第二版）M.科学出版社,2006:10-40页5 孙玉香编.计算方法-学考摘要（第一版）M.西北工业大学出版社,2006:8-19页 6 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