北师大版初中数学《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》学案.doc

【基础知识精讲】1.基本概念(1)顶点在圆心的角叫圆心角.(2)从圆心到弦的距离叫弦心距.(3)1°的圆心角所对的弧叫1°的弧.2.定理(1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等.(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.3.应注意的问题(1)解题时作圆心的弦心距是常用辅助线.(2)等弧的度数一定相等，相等度数的弧不一定是等弧.【重点难点解析】本节的重点是掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算题，难点在于选择适当的辅助线，运用这几个量的相等关系解题.例1 如图7-20，O是RtABC三条角平分线的交点，C=90°，O经过C点分别交AC、BC于D、E，交AB于F、G，求证=证明：作弦CD、CE、FG的弦心距OM、ON、OP， O是ABC的三条角平分线的交点， OM=ON=OP， 则：=说明：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦的弦心距相等，从而知道这三条弧相等. 图7-20 图7-21例2 如图7-21，OA、OB是O的两条互相垂直的半径，M是弦AB的中点，过M作MCOA，交于C，求证=.证明：过M、C作MEAO于E，CFAO于F，连OC M为AB的中点，ME=OB,易证MEFC为矩形 CF=OB=OC，COF=30°，则=说明：若=，则COF=BOA，由题目条件知，须证明COF=30°即可.例3 已知AB、CD是O的两条直径，AP是O的弦，且APCD，求证BD=DP证明：如图7-22，APCD，=，AB、CD是两直径，COA=BOD，=，则=故BD=DP说明：此题用到“夹在两平行弦之间的弧相等”，“圆心角相等弧相等”，“弧相等弧所对的弦相等”等结论.例4 如图7-23，MBA与MDC是O的二割线，已知弦AB=CD，求BM=DM.证明：作OEAB于E，OFCD于F，AB=CD，OE=OF，则RtMEORtMFO，ME=MF，又AE=AB=CD=FCMB=MC说明：本题通过作弦心距将问题转化为证ME=MF，再通过三角形全等达到目的，在全等的证明过程中用到“弦相等弦心距相等”这一结论.【难题巧解点拨】例1 如图7-24，O中弦AB=CD，与的中点分别是M和N，MN与AB、CD分别交于E和F，求证：ME=NF.证明：连结AM、BM、CN、DNAB=CD，=M、N的分别为、的中点=AM=BM=CN=DN，=FND=EMB，MBE=NDF，MEBNFD，ME=FN说明：此题通过弧、弦相等关系的互换证得MB=DN，从而得MEBFND，得出结论.例2 如图7-25，已知O的两弦AB和CD相交于P，且BPO=DPO，求证：=.证明：作OECD于E，OFAB于F，BPO=DPO，OE=OF，CD=AB，=，=说明：本题通过角平分线定理得弦心距相等，从而弦相等，进而弧相等，再去掉公共部分得命题成立.【课本难题解答】1.如图7-26，在O中，弦AB=CD，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，求证：EF的垂直平分线经过点O.分析：由角平分线定理的逆定理知，只须证明OE=OF，又由条件弦相等得弦心距OM=ON，从而得FOMEON，证出OF=OE，命题成立.2.如图7-27，在ABC中，ACB=90°，B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，求的度数.分析：要求弧AD的度数就是求DCA的度数，由条件易求出A=65°，再考虑CDA，易求得DCA=50°，=50°【典型热点考题】例1 如图7-28，已知O中=2，求证明：AB2CD.证明：取的中心M，连结BM、AM=2=从而有AM=BM=CD在AMB中，ABBM+AM=2AM=2CD故AB2CD说明：本题主要考察弦、弧之间的关系，定理告诉我们等弧对等弦，此题告诉我们长不相等的弧的比值与其所对的弦的比值不等.例2 如图7-29，AB为O的直径，半径OCAB，过OC的中点D作弦EFAB，求证ABE=15°.证明：作EHAB于H，则EHOD为矩形EH=OD，又D为CO的中点，EH=OD=CO考虑EHO知：EOH=30°再考虑EOB知：EBO=EOH=15°例3 在RtABC中，C=90°，B=20°，以C为圆心CA为半径的圆交BA于D，交BC于E，求的度数(图7-30).解：连连DC，考虑ABC，C=90°，B=20°A=70°考虑CDA，CD=CA，A=70°DCA=40°，则DCE=50°，=50°说明：本题主要考察弧的度数的概念.本周训练【同步达纲练习】一、填空题(8分×5=40分)(1)梯形ABCD内接于O，且ADBC，则AB= .(2)AB、CD是O的两弦，E、F分别是AB、CD的中点，若AB=CD，作OE= ，AOB= ，= .(3)圆内最大的弦是12，则这个圆的半径是 .待添加的隐藏文字内容2(4)一条弦把圆分成2:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是 .(5)等边ABC内接于O，则与相等的弧有 ，AOB= .二、选择题(8分×5=40分)(1)AB、CD分别是两个不等圆的弦，若AB=CD，则( )A.= B. C. D. (2)在O中，=2，那么( )A.AB=2DC B.AB=DC C.AB2DC D.AB2DC(3)在ABC中，A=70°，O截ABC的三边，所截得的弦都相等则BOC等于( )A.11° B.125° C.130° D.不能确定(4)在半径不相等的O1和O2中，与所对的圆心角都是60°，则下列说法正确的是( )A.与的弧长相等 B. 和的度数相等C.与的弧长和度数都相等D.与的弧长和度数不相等(5)下面说法正确的是( )A.弦相等，则弦心距相等 B.弧长相等的弧所对的弦相等C.垂直于弦的直线必平分弦 D.圆的两条平行弦所夹的弧长相等三、解答题(10分×2=20分)(1)从O外一点P向O引两条割线PAB、PCD交O于A、B、C、D，且=，求证：圆心O必在BPD的平分线上，(2)如图7-31，已知O的半径OA、OB互相垂直，弦AD的延长线交OB的延长线于C，若ACD=32°，求的度数.【素质优化训练】1.如图7-32，在O中，弦AB=CD，E、F分别在AB、CD的延长线上，BE=DF，OGEF，垂足为G，求证：G为EF的中点.2.求证：求O内一点A的所有弦中，垂直于OA的弦最短.