初中数学北大师版八级下册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组教案（可编辑） .doc

初中数学北大师版八年级下册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组教案 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 §1.1 不等关系 知识与技能目标: 1.理解不等式的意义. 2.能根据条件列出不等式. 过程与方法目标: 通过列不等式,训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力. 情感态度与价值观目标: 通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣. 教学重点 用不等关系解决实际问题. 教学难点 正确理解题意列出不等式. 教学方法 讨论探索法. 教具准备 投影片两张 第一张(记作§1.1 A) 第二张(记作§1.1 B) 教学过程 .创设问题情境,引入新课 师我们学过等式,知道利用等式可以解决许多问题.同时,我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系,利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系,以及不等关系的应用. .新课讲授 师既然不等关系在现实生活中并不少见,大家肯定接触过不少,能举出例子吗? 生可以.比如我的身高比她的身高高5公分. 用天平称重量时,两个托盘不平衡等. 师很好.那么,如何用式子表示不等关系呢?请看例题. 投影片(§1.1 A) 如图1-1,用两根长度均为l cm的绳子,分别围成一个正方形和圆. 图1-1 (1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2, 那么绳长l应满足怎样的关系式? (2)如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式? (3)当l8时,正方形和圆的面积哪个大?l12呢? (4)你能得到什么猜想?改变l的取值,再试一试. 师本题中大家首先要弄明白两个问题,一个是正方形和圆的面积计算公式,另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意. 生正方形的面积等于边长的平方. 圆的面积是R2,其中R是圆的半径. 两数比较有大于、等于、小于三种情况,“不大于”就是等于或小于. 师下面请大家互相讨论,按照题中的要求进行解答. 生(1)因为绳长l为正方形的周长,所以正方形的边长为,得面积为()2,要使正方形的面积不大于25 cm2,就是 ()225. 即25. (2)因为圆的周长为l,所以圆的半径为 R. 要使圆的面积不小于100 cm2,就是 ?()2100 即100 (3)当l8时,正方形的面积为4(cm2). 圆的面积为5.1(cm2). 4<5.1 此时圆的面积大. 当l12时,正方形的面积为9(cm2). 圆的面积为11.5(cm2) 此时还是圆的面积大. (4)我们可以猜想,用长度均为l cm的两根绳子分别围成一个正方形和圆,无论l取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即 >. 因为分子都是l 2相等、分母4<16,根据分数的大小比较,分子相同的分数,分母大的反而小,因此不论l取何值,都有>. 做一做 投影片(§1.1 B) 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄.通常规定以树干 离地面1.5 m的地方作为测量部位,某树栽种时的树围为5 cm,以后树围每年增加约为 3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m?(只列关系式). 师请大家互相讨论后列出关系式. 生设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4 m,得 3x+5>240 议一议 观察由上述问题得到的关系式,它们有什么共同特点? 生由25 100 > 3x+5>240 得,这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知: 一般地,用符号“<”(或“”),“>”(或“”)连接的式子叫做不等式(inequality). 例题. 用不等式表示 (1)a是正数; (2)a是负数; (3)a与6的和小于5; (4)x与2的差小于-1; (5)x的4倍大于7; (6)y的一半小于3. 生解:(1)a>0;(2)a<0; (3)a+6<5;(4)x-2<-1; (5)4x>7;(6)y<3. .随堂练习 2.解:(1)a0; (2)c>a且c>b; (3)x+17<5x. 补充练习 当x2时,不等式x+3>4成立吗? 当x1.5时,成立吗? 当x-1呢? 解:当x2时,x+32+35>4成立, 当x1.5时,x+31.5+34.5>4成立; 当x-1时,x+3-1+32>4,不成立. .课时小结 能根据题意列出不等式,特别要注意“不大于”,“不小于”等词语的理解. 通过不等关系的式子归纳出不等式的概念. .课后作业 习题1.1 1.解:(1)3x+8>5x; (2)x20; (3)设海洋面积为S海洋,陆地面积为S陆地,则有S海洋>S陆地. (4)设老师的年龄为x,你的年龄为y,则有x>2y. (5)m铅球>m篮球. 2.解:满足条件的数组有: 1,3;1,5;1,7;3,5. 3.解:所需甲种原料的质量为x千克,则所需乙种原料的质量为(10-x)千克,得 600x+100(10-x)4200. 4.解:8x+4(10-x)72. .活动与探究 a,b两个实数在数轴上的对应点如图1-2所示: 图1-2 用“<”或“>”号填空: (1)a_b;(2)|a|_|b|; (3)a+b_0;(4)a-b_0; (5)a+b_a-b;(6)ab_a. 解:由图可知:a>0,b<0,|a|<|b|. (1)a>b;(2)|a|<|b|; (3)a+b<0;(4)a-b>0; (5)a+b<a-b;(6)ab<a. VI板书设计 §1.1 不等关系 一、1.投影片§1.1 A(讨论长度均为l cm的绳子,分别围成一个正方形和圆,比较它们的面积的大小). 2.做一做(投影片§1.1 B) 根据已知条件列不等式 3.归纳不等式的定义 4.例题 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 不等式的基本性质教案教学目的掌握不等式的基本性质,会用不等式的基本性质进行不等式的变形。教学过程师:我们已学过等式,不等式,现在我们来看两组式子(教师出示小黑板中的两组式子),请同学们观察,哪些是等式?哪些是不等式?第一组:1+23; a+bb+a; S ab; 4+x 7. 第二组:-7 -5; 3+4 1+4; 2x 6, a+2 0; 34.生:第一组都是等式,第二组都是不等式。师:那么,什么叫做等式?什么叫做不等式?生:表示相等关系的式子叫做等式;表示不等式的式子叫做不等式。师:在数学炽,我们用等号“”来表示相等关系,用不等式号“”、“”或“”表示不等关系,其中“>”和“<”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。前面我们学过了等式,同学们还记得等式的性质吗?生:等式有这样的性质:等式两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除以(除数不为零)同一个数,所得到的仍是等式。师:很好!当我们开始研究不等式的时候,自然会联想到,是否有与等式相类似的性质,也就是说,如果在不等式的两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除经(除数不为零)同一个数,结果将会如何呢?让我们先做一些试验练习。练习1 回答用小于号“”或大于号“”填空。(1)7 _ 4; (2)- 2_6; (3)- 3_ -2; (4)- 4_-6练习2(口答)分别从练习1中四个不等式出发,进行下面的运算。(1)两边都加上(或都减去)5,结果怎样?不等号的方向改变了吗?(2)两边都乘以(或都除以)5,结果怎样?不等号的方向改变了吗?(3)两边都乘以(或都除以)(-5),结果怎样?不等号的方向改变了吗?生:我们发现:在练习2中,第(1)、(2)题的结果是不等号的方向不变;在第(3)题中,结果是不等号的方向改变了!师:同学们观察得很认真,大家再进一步探讨一下,在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢?生甲:在原不等式的两边都乘以(或除以)一个负数的情况下,不等号的方向要改变。师:有没有不同的意见?大家都同意他的看法吗?可能还有同学不放心,让我们再做一些试验。练习3(口答)分别在下面四个不等式的两边都以乘以(可除以)-2,看看不等号的方向是否改变: 7>4;-2<6;-3<-2;-4>-6。师:现在我们可以归纳出不等式的基本性质,一般地说,不等式的基本性质有三条:性质1:不等式的两边都加上(或都减去)同一个数,不等号的方向 。(让同学回答。)性质2:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向 。(让同学回答。)性质3:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等号的方向 。(让同学回答。)现在请大家翻开课本,一起朗读用黑体字写的三条基本性质。不等式的这三条基本性质,都可以用数学语言表达出来,先请一位同学说一说第一条基本性质。生:如果a<b。那么a+c<b+c(或a-c<b-c;如果a>b,那么a+c>b+c(或a-c>b-c)。师:对a和b有什么要求吗?对c有什么要求?生:没有什么要求。师:哪位同学来回答第二、三条性质?生甲:如果ab,且c0, 那么acbc或 ;如果ab,且c0,那么acbc或生乙:如果ab,且c0, 那么acbc或 ;如果ab,且c0,那么acbc或师:这两条性质中,对a、b、c有什么要求?生:对a、b没什么要求,特别要注意c是正数还是负数。师:很好,c可以为零吗?生:c不能为零。因为c为零时,任何不等式两边都乘以零就变成等式了。师:好!应用刚才学到的基本性质,我们来看下面的例题。例1按照下列条件,写出仍能成立的不等式:(1)5<9,两边都加上-3;(2)9>4,两边都减去10;(3)-5<3,两边都乘以4;(4)14>-8,两边都除以-2。解(1)根据不等式基本性质1,在不等式59的两边都加上-3,不等号的方向不变,所以 5+(-3)<9+(-3), 2<6(2)根据不等式基本性质1,得9-10>4-10 -1>-6(3)根据不等式基本性质2,得 -5×4<3×4 -20<12(4)根据不等式基本性质3,得 14÷(-2)<(-8)÷(-2) -7<4 例2设a>b,用不等号连结下列各题中的两式:(1)a-3与b-3;(2)2a与2b;(3)-a与-b.师:哪一位同学来做这题?解题时,要讲清一步的理由。生甲:因为a>b,两边都减去3,由不等式的基本性质1,得a-3>b-3.师:很好,大家都是这样做的吗?生乙:我是这样做的,因为a>b,两边都加上(-3),由基本性质1,得a-3>b-3.师:好!这两位同学从不同的角度来分析题目,都得到了正确的结论。生丙:因为a>b,2>0,由基本性质2,得2a>2b。生丁:因为a>b,-1>0,由基本性质3,得-a>-b。师:下面我们来看一组较复杂的问题,请大家都来开动脑筋,认真审题,仔细分析。例3判断以下各题的结论是否正确,并说明都理由:1如果ab,且c0,那么acbd;2如果ab,那么ac2bc2;3如果ac2bc2,那么ab;4如果ab,那么a-b0;5如果axb,且a0,那么x ;6如果a+ba;生甲:(1)不对,当cd0时,ac>bd不成立。生乙:(2)也不对,因为c2是一个非负数,当c0时,ac2>bc2不成立。生丙:(3)对,因为ac2>bc2成立,则c2一定大于零,根据不等式基本性质2,得a>b出。(4)对,根据不等式基本性质,由a>b,两边减去b得a-b>0。(5)不对,当a<0时,根据不等式基本性质3,得。(6)不对,因为当b<0时,根据不等式基本性质1,得a+b<a;而当b0时,则有a+ba。师:同学们回答得很好。今天我们学习了不等式的基本性质,我们不仅要理解这三条性质,还要能灵活运用。 课外做以下作业:略。教案说明(1) 不等式的基本性质的教学,是分成两个阶段进行的。在初中阶段,对不等式的基本性质,并不作证明,只引导学生用试验的方法,归纳出三条基本性质。通过试验,由特殊到一般,由具体到抽象,这是一种认识事物规律的重要方法。科学上的许多发现,大多离不开试验和观察。大数学家欧拉说过:“数学这门科学,需要观察,也需要试验。”通过教学培养学生掌握由试验发现规律的方法,具有重要的意义。当然通过几个特殊的试验,就得出一般的结论,是不严密的。但对初中学生来说,初次接触不等式,是不能要求那么严密的。(2) 不等式的基本性质的教学,还应采用对比的方法。学生已学过等式和等式的性质,为了便于和加深对不等式基本性质的理解,在教学过程中,应将不等式的性质与等式的性质加以比较:强调等式的两边都加上或减去,都乘以或除以(除数不能为零)同一个数,所得到的仍是等式,这个数可以是正数、负数或零;而在不等式的两边都加上或减去,都乘以或除以(除数不能为零)同一个数,当这个数是正数、负数或零时,对不等式的方向,有什么不同的影响。通过这样的对比,不但可以复习已学过的等式有关知识,便于引入新课,而且也有利于掌握不等式的基本性质。对比的方法,也是学习数学的一种重要方法。(3) 在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时,学生对不等式两边是具体数,判定大小关系比较容易。因为这实际上是有理数大小的比较。对于不等式两边是含字母的代数式时,根据题给的条件,运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向,就比较困难。因为它比较抽象,特别是在运用不等式的基本性质2和性质3时,学生必须考虑不等式两边同乘(或同除)的这个用字母表示的数的符号是什么,或者还要对这个用字母表示的数,按正数、负数或零三种情况加以讨论。在教学过程中,对于这类题目,采用讨论法是比较好的。因为在讨论时,学生可以充分发表各种见解。对于正确的见解,教师可以让学生说出解题的依据;对于错误的见解,教师可以进行启发引导,发动学生自己找出错误的原因,自己修正见解。这样,有利于发现问题,有的放矢地解决问题,有利于深化对不等式基本性质的认识。