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高等代数专题研究试题模拟试题(05春) 一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.如果函数f(x)满足条件：对任意x1与x2，有 其中( )，则称f(x)是上凸函数(A) (B)且(C) 且 (D) 且2. 下列环中是非交换环的为( ) (A) 整数环Z (B) 剩余类环Z5(C) n阶方阵环 (D) 高斯整数环Zi=a+bi½a,b为整数3. 剩余类环Z8的一个真零因子是( ) (A) (B) (C) (D) 4. 一副扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各13张，共52张从中任取一张，则不同取法有( )种(A) 52 (B)4 (C) 134 (D) 4135. 将r个不可区分的小球投入n个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球(n³r)，若计算有多少种不同投球方式，应该用( ) (A) 允许重复组合数公式 (B) 不重复组合数公式 (C) 允许重复排列数公式 (D) 不重复排列数公式二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 设a1,a2,a5是正实数，可构造两组正实数列 和 用柯西不等式，证明7. 若(a,b)1，那么(a,a+b) 8. 在有无穷多个元素的域上，设多项式f(x)=anxn+an1xn1+a0和g(x)=bnxn+bn1xn1+b0 ，从代数学的观点，如果 ，则称f(x)=g(x)9.p是有理数域上的超越元，是因为p不是多项式的根10. 计算 三、简述题(每小题5分，共10分)11. 试列出三种证明不等式常用的方法12. 找出整数环Z中的可逆元素，并说明为什么是可逆元素四、计算题(每小题10，本题共40分)13. 设集合A=Æ，a，a,b，求P(A)14. 设x，y，z为非负实数，且满足x+2y+5z=6求f(x,y,z)=xyz的极大值15. 求f(x)=的重因式16. 试求多项式(x1+x2+x3+x4+x5)10展开合并同类项后的项数以及的系数四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 设是实数集，是正实数集，任给的元素x,令映射s(x)证明s是到的双射18. 证明恒等式待添加的隐藏文字内容2高等代数专题研究模拟试题（05春）参考答案 一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. B2. C3. D4. A5. B 二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. ，7. 18. ak=bk(k=0,1,2,n) 9.任何有理系数 10. 三、简述题(每小题5分，共10分)11.列出三种或三种以上的方法，可得满分5分 参考方法列举：(1)欲证A>B，可证AB>0；(2) 当A>0,B>0时，欲证A>B，可证；(3) 欲证A>B，可证A>C,C>B；(4) 欲证A>B，可将AB化为(AB)2；等12.在整数环Z中，只有1和1是可逆元素1是恒等元因为1和1都不是零元，但(1)×(1)=1，1×11，根据可逆的定义知道，它们是可逆元素 (5分)四、计算题(每小题10，本题共40分)13.由幂集合的定义，P(A)=Æ,Æ,a,a,b, (2分)Æ,a,Æ,a,Æ,b,a,a,a,b,a,b (6分)Æ,a,a,Æ,a,b,Æ,a,b,a,a,b(9分)Æ,a,a,b(10分)14. 利用均值不等式x+2y+5z³ (3分) (9分)当x=2y=5z时，得x=2,y=1,z=时，xyz的极大值是 (10分)15.只要求出f(x)与f¢(x)的公因式即可(1分) (4分)而，有(f(x),f¢(x)(x1) (8分)所以x1是f(x)的二重因式 (10分)16.所求项数为 (5分) 的系数为 (10分)四、证明题(每小题10分，本题共20分)17.由对数函数的定义域和函数值，知s(x)是到的映射(2分)(1) 任给的两个元素x1,x2且x1¹x2，由对数函数的严格单调性，有这表明s(x)是单射 (6分)(2) 任给的元素y，则存在属于，则有 s(x)=这表明s(x)是满射 (9分)总之，s是到的双射 (10分)18. (4分) (7分) (10分)