比例线段知识点与练习题.doc
第十八章 相似形比例线段及相似知识点讲解【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成 ,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 3.比例的项：已知四条线段，如果 ，那么，叫做组成比例的项，线段，d叫做比例外项，线段，叫做比例内项，线段还叫做，的第四比例项 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或 ，那么线段叫做线段和的比例中项 二、 比例的性质： (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 比例线段练习、判断下列四条线段是否成比例. a=2，b=,c=，d=2； a=，b=3, c=2，d=； a=4，b=6, c=5，d=10； a=12，b=8, c=15，d=10. 2、已知：ad=bc. （1） 将其改写成比例式； （2） 写出所有以a，d为内项的比例式； （3） 写出使b作为第四项比例项的比例式； （4）若；写出以c作第四比例项的比例式； 3 、计算. (1) 已知：xy=54，yz=37.求xyz. (2)已知：a，b，c为三角形三边长，(a-c) (c+b) (c-b)=27(-1)，周长为24.求三边长. 4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m，同时，高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么，古塔的高是多么米? 5、，AB=10cm，AD=2cm，BC=7.2cm，E为BC中点.求EF，BF的长. 6.(1)已知：x：(x+1)=(1x)：3，求x。 (2)若，求 (3) 若，求 ， (4)若x2-3xy+2y2=0,求7将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立。 （1）a:b=:c （2） :a=b:c （3） a:=b:c 8：若，求-+- 练习：已知:, 求的值9： 若ABC三边a:b:c=6:4:3,三边上的高分别为h1、h2、h3，求h1:h2:h3的值。 10：已知两地的实际距离是250米，画在地图上的距离（图距）是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A,B的实际距离是多少呢?比例尺是多少？ 12：操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参加进来，此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生？ 比例线段拓展 1、比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项。 2、 黄金分割 如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，叫作黄金分割数（简称黄金数或黄金比） 注意：（1）； （2）一条线段有两个黄金分割点。 3、平行线分三角形两边成比例 （1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 如图，则有 【思考】画图说明平行于三角形一边的其他情况。 （2）三角形的重心 定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点 与重心有关的比例线段：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。 （3）三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（三角形一边平行线的判定定理） （4）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）： 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 在梯形ACFD中，AD/CF，AB=BC，那么DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 在ACF中，CFBE/，AB=BC ，那么AE=EF （5）三角形和梯形的中位线定理 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 如图，D、E分别为AB、AC的中点，那么BC/DE，DE=BC= 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。 梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是AB、CD的中点，那么EF/AD/BC，EF=(AD+BC)+= 练习 1、 如图，已知ABC中，DEBC，则下列等式中不成立的是（ ）（A） AD：ABAE：AC （B）AD：DBAE：EC （C）AD：DBDE：BC （D）AD：ABDE：BC 2、 如图，DFAC,DEBC,下列各式中正确的是（ ） (A) (B) (C) (D) 3、如图，已知ABC中，DEBC,AD2=ABAF，求证1=2 4、已知ABC中,AD为BAC的外角EAC的平分线，D为平分线与BC延长线交点，求证: 5、设点F在平行四边形ABCD的边CB的延长线上，DF交AB于点E，求证 AE:AD=AB:CF 【课后练习】 1、 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。 2、 若 , 求 的值。 3、 已 知 ,求的值。 4、 已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值。 5、 已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm，求 MN的长 6. ,求k的值
