方程的根与函数零点.docx

方程的根与函数零点 习题（含答案） 一、单选题1已知函数f(x)=x-1x-2与g(x)=1-sinx，则函数 F(x)=f(x)-g(x)在区间-2,6上所有零点的和为A 4 B 8 C 12 D 162已知函数fx=ex,x>0-x2+2x+1,x0，若函数gx=fx-kx恰好有两个零点，则实数k等于（e为自然对数的底数）（ ）A 1 B 2 C e D 2e3已知定义在1e,1上的函数f(x)=xlnx+1，若g(x)=f(x)-12x-a有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）A 13e,1-1e B 13e,1-32e C 1-e-12,1-1e D 1-e-12,1-32e4已知点P是曲线y=sinx+lnx上任意一点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则（ ）A 至少存在两个点P使得k=-1 B 对于任意点P都有k<0C 对于任意点P都有k<1 D 存在点P使得k15设函数f(x)=|2x+1-1|,x14-x,x>1,若互不相等的实数p,q,r满足f(p)=f(q)=f(r),则2p+2q+2r的取值范围是（ ）A (8,16) B (9,17) C (9,16) D (172,352)6定义函数x=fx,xagx,x>a,fx=-x,gx=-x2+2x+4，若存在实数b使得x-b=0方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ）A -,-14,+ B -1,4 C -,-54,+ D 4,+7已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4-x)，且当x(0,4时，f(x)=ln(2x)x，关于x的不等式f2(x)+af(x)>0在区间-200，200上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（ ）A (-ln2，-13ln6) B (-ln2，-13ln6 C (-13ln6，-3ln24) D (-13ln6，-3ln24)8已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）A B C D 9已知函数f(x)=ex-x2+2x，g(x)=lnx-1x+2，h(x)=1x-x-2，且-1<x<3，若f(a)=g(b)=h(c)=0，则实数a，b，c的大小关系是（ ）A a<b<c B b<a<c C a<c<b D c<b<a二、填空题10已知等边ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足PAPB-2+1=0的点P恰有两个，则实数的取值范围是_11若关于x的方程xx+4=kx2有四个不同的实数解,则实数k的取值范围是_12已知f(x)=ex,x0|lnx|,x>0若f(x)=x+a有两个零点，则实数a的取值范围是_.13已知R，函数f(x)=|x+1|，x<0|lgx|，x>0，g(x)=x2-4x+1+4若关于x的方程fg(x)=有8个解，则的取值范围为_14已知函数f(x)=2x-a,(x0)x2-3ax+a,(x>0),有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_15已知函数f(x)=-x+4,x3log13x,x>3，定义函数g(x)=f(x)-k，若函数g(x)无零点，则实数k的取值范围为_16设函数f(x)=1,x1xlog2(x+1),x<1，若方程f(x)-mx=0恰好有3个零点，则实数m的取值范围为_17已知函数f(x)=4-2x,xax2+2x-3,x<a的图象与x轴恰有2个不同的交点，则实数a的取值范围是 _18已知函数 则函数的零点个数为_三、解答题19已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2+3，当x1,4时，f(x)的最大值为m，最小值为n.（1）若角的终边经过点P(m,n)，求sin+cos的值；（2）设g(x)=mcos(nx+m)-n，h(x)=g(x)-k在0,2上有两个不同的零点x1,x2，求k的取值范围.20已知命题p：x2-4x+a=0在x1,4上有解，命题q：函数f(x)=lg(x2-ax+4)的定义域为R.（1）若p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若pq是假命题，求实数a的取值范围.21已知函数f(x)=xlnx，g(x)=x+1ax(x>0)都在x=x0处取得最小值.（1）求f(x0)-g(x0)的值；（2）设函数h(x)=f(x)-g(x)，h(x)的极值点之和落在区间(k,k+1)，kN，求k的值.22已知函数fx=2sinx，其中常数>0.（1）若y=fx在-4,23上单调递增，求的取值范围；（2）令=2，将函数y=fx的图象向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=gx的图象，区间a,b（a,bR且a<b），满足：y=gx在a,b上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的a,b中，求b-a的最小值.23已知函数f(x)=-x3+x2,x<0,ex-ax,x0.（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；（2）若方程f(-x)+f(x)=ex-3在区间(0,+¥)上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数m,n0,2，且|m-n|1，使得f(m)=f(n)，求证：1ae-1e24若存在不为零的常数，使得函数对定义域内的任一均有，则称函数为周期函数，其中常数就是函数的一个周期. （1）证明：若存在不为零的常数使得函数 对定义域内的任一均有，则此函数是周期函数. （2）若定义在上的奇函数满足，试探究此函数在区间内零点的最少个数.25已知函数f(x)=x2+ax-b(a,bR).(1)若b=-1,且函数f(x)有零点,求实数a的取值范围；(2)当b=1-a时,解关于x的不等式f(x)0；(3)若正数a,b满足a+4b3,且对于任意的x1,+),f(x)0恒成立, 求实数a,b的值.26已知函数（1）当时，求证： 函数是偶函数；（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围；（3）若函数有且仅有个零点，求实数的取值范围27“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年(1)当0<x20时，求函数v关于x的函数表达式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值参考答案1D【解析】【分析】F(x)=f(x)-g(x)在区间-2,6上所有零点的和，等价于函数g(x)，f(x)的图象交点横坐标的和，画出函数g(x)，f(x)的图象，根据函数g(x)，f(x)的图象关于(2,1)点对称可得结果.【详解】F(x)=f(x)-g(x)在区间-2,6上所有零点的和，等价于函数g(x)，f(x)的图象交点横坐标的和，画出函数g(x)，f(x)的图象，函数g(x)，f(x)的图象关于(2,1)点对称，则F(x)=0共有8个零点，其和为16. 故选D.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)-g(x)的零点函数y=f(x)-g(x)在x轴的交点方程f(x)-g(x)=0的根函数y=f(x)与y=g(x)的交点.2C【解析】试题分析：根据分段函数的解析式画出函数图像，得到函数的单调性，由图像知道函数y=kx和函数第一段相切即可，进而转化为方程的解得问题, 根据导数的几何意义得到ex0=kex0=kx0,解出方程即可.详解：根据分段函数的表达式画出函数图像得到函数是单调递增的，由图像知道函数y=kx和函数第一段相切即可，设切点为（x,y）则根据导数的几何意义得到ex0=kex0=kx0解得x0=1，k=e.故答案为：C.点睛:这个题目考查了导数的几何意义，本题中还涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.3D【解析】分析：由g(x)=f(x)-12x-a=xlnx+1-12x-a有两个零点，即方程xlnx+1-12x-a=0在1e,1上有两个不同的实数解，即函数hx=xlnx+1-12x和y=a的图象在1e,1上有两个不同的交点，利用导数求得hx单调性与最值，即可求解实数a的取值范围详解：由题意定义在1e,1上的函数f(x)=xlnx+1，又由g(x)=f(x)-12x-a=xlnx+1-12x-a有两个零点，即方程xlnx+1-12x-a=0在1e,1上有两个不同的实数解，即函数hx=xlnx+1-12x和y=a的图象在1e,1上有两个不同的交点，又由h'x=lnx+12，所以当x(1e,e-12)时，h'x<0，所以hx单调递减，当x(e-12,1)时，h'x>0，所以hx单调递增，所以hx的最小值为h(e-12)=e-12lne-12+1-12×e-12=1-e-12，又由h(1e)=1eln1e+1-12×1e=1-32e>h(1)=12 ，所以实数a的取值范围是1-e-12,1-32e，故选D点睛：利用导数研究函数的零点问题和方程的有解问题，通常转化为图象的交点，利用构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题4C【解析】【分析】利用排除法，对给出的四个选项分别进行分析可得出正确的结论【详解】设点P的坐标为(x,y)(x>0)，则k=yx对于D，当x>0时，一方面y=sinx+lnxlnx+1，另一方面容易证lnx+1x成立，所以y=sinx+lnxx，因为y=sinx+lnxlnx+1与lnx+1x中两个等号成立条件不一样，所以y=sinx+lnx<x恒成立，所以k<1，因此D不成立对于B，当2x<时，y=sinx+lnx>0，所以k>0，所以B不成立对于A，至少存在两个点P使得k=-1，也就是sinx+lnxx=-1至少存在两解，即sinx+lnx+x=0至少存在两解，sinx+lnx+x'=cosx+1x+1>0恒成立，所以sinx+lnx+x=0至多存在一解，所以A不成立综合以上分析可得选项C正确故选C【点睛】本题难度较大，考查内容较多，解题时要抓住k=yx的几何特征，通过对曲线上点的坐标的分析，得到x,y的大小关系，进而得到k的取值范围同时在解题中还应注意不等式放缩、导数与单调性的运用，逐步达到解题的目的5B【解析】【分析】设p<q<r，画出函数的图像，由图像可得r3,4且2p+1-1=2q+1-1，故2p+2q=1，所以2p+2q+2r=1+2r9,17.【详解】不妨设p<q<r，fx的图像如图所示，令fp=fq=fr=m，则2p+1-1=2q+1-1=4-r=m，故2p+1-1=2q+1-1或2p+1-1=-2q+1+1且0<m<1，所以p=q（舎）或2p+1+2q+1=2即2p+2q=1且3<r<4，故2p+2q+2r=1+2r9,17，故选B.【点睛】本题考察方程的解（fx=m有三个不同的解）.这类问题可以根据函数fx的图像与动直线y=m的关系得到不同交点的横坐标的关系式或范围，进而简化目标代数式并求其范围.6C【解析】分析：存在实数b使得x-b=0方程无实数根，等价于x值域不为R，结合分段函数的解析式，利用排除法可得结果.详解：存在实数b使得x-b=0方程无实数根，等价于x值域不为R，当a=0时，x0时，fx0， x>0时，gx5，x值域为R，不合题意，排除B；当a=-5时，x-5时，fx5，x>-5时，gx5，x值域为R，不合题意，排除A；当a=-6时，x-6时，fx6，x>-6时，gx5，x值域不为R，合题意，排除D，故选C.点睛：本题考查分段函数的解析式和性质，以及排除法的应用，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.7D【解析】分析：根据fx的周期和对称性得出不等式在0,4上有正整数解的个数为3，利用导数研究函数的单调性，计算fkk=1,2,3,4的值，结合函数图象列不等式，即可得出a的范围.详解：偶函数fx满足f4+x=f4-x，fx+4=f4-x=fx-4，fx的周期为8，且fx的图象关于直线x=4对称，由于-200,200上含有50个周期，且fx在每个周期内都是对称轴图形，关于x的不等式f2x+afx>0在0,4上有3个正整数解，当x0,4时，f'x=1-ln2xx2，fx中0,e2上单调递增，在e2,4上单调递减，f1=ln2,f2>f3>f4=ln84=34ln2>0，当x=kk=1,2,3,4时，fx>0，当a0时， f2x+afx>0在0,4上有4个正整数，不符合题意， a<0，由f2x+afx>0可得fx<0或fx>-a，显然fx<0在0,4上无正整数解，故而fx>-a在0,4上有3个正整数，分别为1,2,3，-af4=34ln2,-a<f3=ln63,-a<f1=ln2，-ln63<a-34ln2，故选D.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，本题中，先将-200，200上有且只有300个整数解，转化为关于x的不等式f2x+afx>0在0,4上有3个正整数解，再转化为利用函数研究函数的单调性，从而得到结论.8D【解析】试题分析：函数恰有4个零点，即方程，即有4个不同的实数根，即直线与函数的图像有四个不同的交点又做出该函数的图像如图所示，由图得，当时，直线与函数的图像有4个不同的交点，故函数恰有4个零点时，b的取值范围是故选D考点：1、分段函数；2、函数的零点【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误9C【解析】【分析】a是y=ex,y=x2-2x图象交点横坐标；b是y=lnx,y=1x-2图象交点横坐标；c是y=1x-2,y=x图象交点横坐标，作出图象，利用数形结合可得结果.【详解】同一坐标系内，分别作出函数y=ex,y=x2-2x,y=lnx, y=1x-2,y=x的图象，如图， 可得a是y=ex,y=x2-2x图象交点横坐标；b是y=lnx,y=1x-2图象交点横坐标；c是y=1x-2,y=x图象交点横坐标；即a,b,c分别是图中点A,C,B的横坐标，由图象可得，a<c<b，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)-g(x)有零点函数y=f(x)-g(x)在x轴有交点方程f(x)-g(x)=0有根函数y=f(x)与y=g(x)有交点.1038<12.【解析】分析：设PA=x(0x2)，根据PAPB-2+1=0得到关于x的函数，由题意可得该函数在区间0,2上有两个不同的零点，然后根据二次函数的相关知识可得实数的取值范围详解：如图，设PA=x(0x2)，则PC=2-x，则PB=PA+AB=-x2AC+AB，又ACAB=2×2×cos60°=2，PAPB=-x2AC-x2AC+AB=x24AC2-x2ACAB=x2-x满足PAPB-2+1=0的点P恰有两个，关于x的方程x2-x-2+1=0在区间0,2上有两个不同的实数根设fx=x2-x-2+1，则函数fx在区间0,2上有两个不同的零点，=1-4-2+1>0f0=-2+10f2=3-200<12<2，解得38<12实数的取值范围是(38,12点睛：（1）用定义进行向量的数量积运算时，有时要注意选择合适的基底，将所有向量用同一基底表示，然后再根据数量积的运算律求解（2）对于一元二次方程根的分布问题，可根据“三个二次”间的关系，结合二次函数的图象转化为不等式（组），通过解不等式（组）可得所求1114,+.【解析】试题分析：易知方程|x|x+4=kx2有一根为0，当x0时，原方程化为1x+4=k|x|，则该方程有3个不同实数解.作出函数y=1x+4的图像，因为方程1x+4=k|x|有3个不同实数解，易知k0.由图可知k<0时，方程1x+4=k|x|只有1个实数解.所以k>0.由图易知当x>0时，方程1x+4=k|x|总有一个根；当x<0时，由1x+4=k|x|得1x+4=-kxkx2+4kx+1=0，令=16k2-4k=0k=14,(k0).所以k=14时，在x<0的范围内，方程1x+4=k|x|有两个相等的实数根.由图可知，若要方程1x+4=k|x|有3个不同实数解，则k>14.即实数k的取值范围是（14，+）.考点：方程的根与函数的零点、函数的图像121,+)【解析】分析：问题等价于y=f（x）的图象与y=x+a的图象有两个交点，作图可得详解：作出两个函数的图像如图所示，当直线y=x+a经过点（0，1）时，此时a=1,直线和函数y=f(x)的图像显然有两个交点.当a1时，直线和函数y=f(x)的图像显然有两个交点.当直线y=x+a经过点（0，-1）时，此时a=-1,设g(x)=lnx,(x>1),f'(x)=1x,k=f'(1)=1,所以在（1，0）处的切线方程为y-0=1(x-1)=x-1，刚好是直线y=x+a,所以此时直线和函数的图像只有一个交点，当a-1时，观察图像得直线和函数的图像只有一个交点，故a1时，f(x)=ex,x0|lnx|,x>0若f(x)=x+a有两个零点.故答案为：1,+).点睛：（1）本题主要考查零点问题，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)本题的关键是证明a1时，直线和函数的图像没有两个零点，证明的关键是证明a=-1时，直线和函数的图像只有一个零点.13(0，25).【解析】令g（x）=t，则方程f（t）=的解有4个，根据图象可知，01且4个解分别为t1=1，t2=1+，t3=10，t4=(110) 则x24x+1+4=1，x24x+1+4=1+，x24x+1+4=10，x24x+1+4=(110)均有两个不相等的实根，则10，且20，且30，4>0 即164（2+5）0且164（2+3）0，解得025，当025时，3=164（1+410）0即34+100恒成立，同理4>0也恒成立；故的取值范围为（0，25）故答案为：（0，25）。点睛：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的思想方法，方程解的问题转化为函数图象的交点问题，由二次方程的判别式得到解决，本题有一定的难度通常方程解的问题有三类解决方法，其一直接研究函数和x轴的交点个数问题；其二可以变量分离，转化为常函数和函数的交点个数问题；其三转化为两个初等函数的交点问题.1449<a1【解析】【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案【详解】由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=3a2，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0a1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点4×1×a-(-3a)24×10，解得a0或a49，综合可得49a1，故答案为：49a1【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解15-1,1)【解析】【分析】由分段函数的解析式得函数在3，+)上f(x)=log13x递减，可得f(x)<-1；在(-,3)上f(x)=-x+4递减，可得f(x)1，即f(x)的值域为(-,-1)1，+)，由y=f(x)的图象与y=k无交点，即可得结果.【详解】函数f(x)=-x+4,x3log13x,x>3，可得x>3时，f(x)=log13x递减，可得f(x)<-1；当x3时，f(x)=-x+4递减，可得f(x)1，即有f(x)的值域为(-,-1)1，+)，由函数g(x)=f(x)-k，若函数g(x)无零点，y=f(x)的图象与y=k无交点，则f(x)-k=0无解，即f(x)=k无解，所以k的范围是-1,1)故答案为-1,1)【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)-g(x)的零点函数y=f(x)-g(x)在x轴的交点方程f(x)-g(x)=0的根函数y=f(x)与y=g(x)的交点.160<m<1【解析】分析：根据分段函数表达式，分段分离参数m；根据函数图像判断m的取值范围。关键注意x=0也是函数的一个零点。详解：当x=0 时，xlog2(x+1)=mx=0 ，所以x=0是方程的一个零点；当x1时，1=mx ，所以m=1x 当-1<x<1 时， xlog2(x+1)=mx，则m=log2(x+1) 画出关于m的函数图像，如下图所以满足有两个交点的m取值范围为0<m<1 ，因为x=0也是一个零点所以有3个零点的m取值范围为0<m<1点睛：本题考查了分离参数法在解决零点个数问题中的应用，特别注意x=0的特殊情况，否则得不到3个解，要结合图像综合分析，属于难题。17-3<a1或a>2【解析】【分析】结合函数图像讨论在不同情况下的取值范围【详解】如图：函数和x轴有3个不同的交点，为满足题意与x轴恰有2个不同的交点，(1)当抛物线与直线各有一个交点时a的取值范围是-3<a1，(2)当抛物线有两个交点而直线没有交点时a的取值范围是a>2，故综上实数a的取值范围是-3<a1或a>2【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，结合函数图像分别求出满足题意的参量取值范围，考查了数形结合的思想。18【解析】的零点即为的解当时，令，解得，符合；当，令，解得，符合，故的零点个数为219（1）sin+cos=51313;（2）k(-5,-72.【解析】试题分析：（1）先根据二次函数最值求法，求出m=3，n=2，再根据三角函数定义得sin=213，cos=313，从而可得sin+cos的值；（2）先化简函数h(x)=g(x)-k=3cos(2x+3)-2-k，再利用变量分离得3cos(2x+3)=2+k，结合余弦函数在定义区间上的图象，确定参数的取值范围：k+2(-3,-32，求得k的取值范围.试题解析：（1）f(x)=(log2x)2-log2x2+3，令log2x=t，g(t)=t2-2t+3，t0,2.最大值m=3，最小值n=2，P(3,2)，sin=213，cos=313.sin+cos=51313.（2）g(x)=3cos(2x+3)-2，h(x)=g(x)-k=3cos(2x+3)-2-k，令h(x)=0，则3cos(2x+3)=2+k，k+2(-3,-32，k(-5,-72.20(1) 0,4.(2) (-,-4(4,+).【解析】分析：（1）分两类讨论，存在一个x1,4满足条件和若存在两个x1,4满足条件，即可求出p是真命题求实数a的取值范围；（2）pq是假命题，可得p，q均为假命题，分别求出p，q为假命题时a的取值范围，然后求交集即可.详解：（1）设g(x)=x2-4x+a，对称轴为x=2， 若存在一个x1,4满足条件，则g(1)<0，g(4)0，解得0a<3，若存在两个x1,4满足条件，则g(1)0，g(2)0，解得3a4，若p是真命题，则实数a的取值范围为0,4.（2）若p为假命题，则由（1）可得a<0或a>4，若q为假命题，则由=a2-160得a-4或a4，若pq是假命题，则p，q均为假命题，故满足条件的实数a的取值范围为(-,-4(4,+).点睛：本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为R求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，fx=ax2+bx+c ，只需a>00 ；（2）对数型，fx=logmax2+bx+c，只需a>0<0，（3）分式型，fx=1ax2+bx+c，只需a0<0.21(1)f(x0)-g(x0)=-3e.(2)k=1.【解析】分析：(1)先求f'(x) ，再求f'(x)=0 ，列式可得导函数变化规律，确定单调性，得到最小值取法，即得x0=1e ，再根据g(x)=x+1ax(x>0)在x=1e 处取得最小值得a，最后求f(x0)-g(x0)的值；(2)求h(x)导数，再求导函数的导数，根据导函数单调性以及零点存在定理得确定零点个数及其范围，最后确定极值点之和范围，进而得到k的值.详解：（1）f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1e，则f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x(0,1e)1e(1e,+)f'(x)-0+f(x)极小值-1e当x=1e时，函数f(x)=xlnx取得最小值-1e，x0=1e，f(x0)=-1e；当a<0时，函数g(x)是增函数，在(0,+)没有最小值，当a>0时，g(x)=x+1ax21a，当且仅当x0=1a=1e，即a=e2，g(x)有最小值g(x0)=2e，f(x0)-g(x0)=-1e-2e=-3e.（2）h(x)=xlnx-x-1e2x，h'(x)=-lnx+1e2x2，设(x)=lnx+1e2x2，'(x)=e2x2-2e2x3，当x(0,2e)时'(x)<0，(x)即h'(x)单调递减，当x(2e,+)时'(x)>0，(x)即h'(x)单调递增，由（1）得h'(1e)=0，x(0,1e)时，h'(x)>0，h(x)单调递增.x(1e,+)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，h(x)在(0,2e)有唯一极大值点1e；h'(2e)=ln2e+12=12(ln2-1)<0，h'(1)=1e2>0，h'(x)在(2e,+)单调递增，在(2e,1)存在唯一实数x1，使得h'(x1)=0，x(2e,x1)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，x(x1,+)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，函数h(x)在(2e,+)有唯一极小值点x1；h'(2e)=ln2-34=ln416e3<0，x1(2e,1)，1e+x1(3e,e+1e)，1<3e<2，1<e+1e<2，存在自然数k=1，使得函数h(x)的所有极值点之和1e+x1(1,2). 点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求f'(x)求方程f'(x)=0的根列表检验f'(x)在f'(x)=0的根的附近两侧的符号下结论.(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值，则f'(x0)=0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.22（1）0<34（2）433【解析】分析：（1）已知函数y=fx在-4,23上单调递增，且>0，利用正弦函数的单调性可得-4-2232，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到gx=2sin2x+3+1，令gx=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离若b-a最小，则a,b都是零点，此时在区间a，m+a（mN*） 恰有2m+1 个零点，所以在区间a，14+a 是恰有29个零点，从而在区间（14+a，b 至少有一个零点，即可得到a，b 满足的条件进一步即可得出b-a的最小值详解：（1）因为>0，根据题意有-4-2232 0<34（2）fx=2sin2x，gx=2sin2x+6+1=2sin2x+3+1gx=0sin2x+3=-12 x=k-4或x=k-712,kZ即gx的零点相离间隔依次为3和23，若b-a最小，则a,b都是零点，此时在区间a，+a，a，2+a，a，m+a（mN*） 分别恰有3，5，2m+1 个零点，所以在区间a，14+a 是恰有29个零点，从而在区间（14+a，b 至少有一个零点，b-a-143 另一方面，在区间512，14+3+512 恰有30个零点，因此b-a的最小值为14+3433.点睛：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力23（1）函数f(x)的单调减区间为(-,0)和(0,ln2)，单调增区间为(ln2,+)（2）5,+)（3）见解析【解析】试题分析：（1）a=-2时，f(x)=-x3+x2,x<0,ex+2x,x0,分段求出导函数，分别令f'x>0求得x的范围，可得函数fx增区间，f'x<0求得x的范围，可得函数fx的减区间；（2）设x>0，则-x<0，所以f(-x)+f(x)=x3+x2+ex-ax=ex-3在区间(0,+)上有解，等价于a=x2+x+3x在区间(0,+)上有解，设g(x)=x2+x+3x(x>0)，对利用导数研究函数g(x)的单调性，结合函数图象及零点存在定理，即可得到符合题意的a的取值范围即可；（3）先排除a0的情况，到a>0，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，问题转化为e-a1,e-ae2-2a,解得e-1ae2-e，所以1ae-1e.试题解析：（1）当a=-2时，f(x)=-x3+x2,x<0,ex+2x,x0,当x<0时，f(x)=-x3+x2，则f'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2)，令f'(x)=0，解得x=0或x=23（舍），所以x<0时，f'(x)<0， 所以函数f(x)在区间(-,0)上为减函数. 当x0时，f(x)=ex-2x，f'(x)=ex-2，令f'(x)=0，解得x=ln2，当0<x<ln2时，f'(x)<0，当x>ln2时，f'(x)>0，所以函数f(x)在区间(0,ln2)上为减函数，在区间(ln2,+)上为增函数，且f(0)=1>0. 综上，函数f(x)的单调减区间为(-,0)和(0,ln2)，单调增区间为(ln2,+)（2）设x>0，则-x<0，所以f(-x)+f(x)=x3+x2+ex-ax，由题意，x3+x2+ex-ax=ex-3在区间(0,+)上有解，等价于a=x2+x+3x在区间(0,+)上有解. 记g(x)=x2+x+3x(x>0)，则g'(x)=2x+1-3x2=2x3+x2-3x2=(x-1)(2x2+3x+3)x2， 令g'(x)=0，因为x>0，所以2x2+3x+3>0，故解得x=1，当x(0,1)时，g'(x)<0，当x(1,+)时，g'(x)>0，所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+)上单调递增，故函数g(x)在x=1处取得最小值g(1)=5. 要使方程a=g(x)在区间(0,+)上有解，当且仅当ag(x)min=g(1)=5，综上，满足题意的实数a的取值范围为5,+). （3）由题意，f'(x)=ex-a，当a0时，f'(x)>0，此时函数f(x)在0,+)上单调递增，由f(m)=f(n)，可得m=n，与条件|m-n|1矛盾，所以a>0. 令f'(x)=0，解得x=lna，当x(0,lna)时，f'(x)<0，当x(lna,+)时，f'(x)>0，