数列求和不等式的证明策略.doc
数列求和不等式的证明策略一 直接放缩型例1求证：.证明： (k=2)+,For personal use only in study and research; not for commercial use即例2. 设求证： 解析 又，于是二 可放缩成等差数列型例1求证：(n)证明：，又= 得证。三 可放缩成等比数列型例1数列an满足an+1=an2-nan+1(n，且ann+2求证：证明：an+1=an(an-n)+1an(n+2-n)+1=2an+1an+1+12(an+1) an+12(an-1+1)即(例2已知f(x)=，数列xn满足xn+1=f(xn)(n，且x1=1，设an=|xn-，Sn为an前n项和，证明：Sn<。证明an+1=|xn+1-=|=|=(又xn>0an+1<(<=Sn=a1+a2+an<(+(=<，得证。四 可放缩成裂项差式型例1求证：1+ (n证明：1+.例2求证：1+ (n证明：=1+.五 两项配凑放缩型例1已知.xn=2+，求证：(-1)x1+(-1)2x2+(-1)nxn<1 (n证明：(-1)nxn=(-1)n+,不妨考虑n为奇数时，(-1)nxn+(-1)n+1xn+1=于是n为偶数时，(-1)x1+(-1)2x2+(-1)nxn<<1,n为奇数时，前n-1项为偶数项，于是有(-1)x1+(-1)2x2+(-1)nxn<1+(-1)nxn=1-xn=1-(2+=-1+,得证。例2已知an=2n-2+(-1)n-1 (n，证明：对任意的整数m>4，有证明：由通项公式得a4=2，当n且n为奇数时， =<=,当m>4且m为偶数时，<,当m>4且m为奇数时，,综上对任意整数m>4有。评析：由于通项中涉及有(-1)n这一符号法则，因此结合两项之和将其消去，再行放缩便能易于求和使问题得证。 六利用题设结论例1 已知不等式表示不超过 的最大整数。设正数数列满足：求证简析 当时，即 于是当时有例2 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即 ，即七利用单调性放缩例1. 设数列满足，当时证明对所有 有； 解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 例2已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：（）解：由，解得a11或a12，由假设a1S11，因此a12。又由an+1Sn+1- Sn，得an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n-2。（）由可解得；从而。因此。令,则。因，故.特别的。从而，即。例15 数列由下列条件确定：，（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年北京卷第（19）题） 解析 构造函数易知在是增函数。 当时在递增故 对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。八数学归纳法武汉市教育科学研究院命制的“武汉市2005-2006学年高三年级二月调研测试”第22题：已知函数f(x)是在(0,+)上每一点处可导的函数，若xf/(x)>f(x)在x>0上恒成立，1）略；2）求证：当x1>0,x2>0时有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)；3）已知不等式ln(1+x)<x在x>-1且x0时恒成立，求证：.其中第3问给出的参考答案为：由2)结论推广到一般有f(x1)+f(x2)+f(xn)<f(x1+x2+xn)(n2),设f(x)=xlnx，则在xi>0(i=1,)时，有x1lnx1+x2lnx2+xnlnxn<(x1+x2+xn)ln(x1+x2+xn),令xn=,记sn=x1+x2+xn=sn<,又sn>,(x1+x2+xn)ln(x1+x2+xn)<(x1+x2+xn)ln(1-<-=-原不等式成立。上述证法的技巧性太强，通过结论2）的推广，及sn的缩小与放大的同时运用，才使得放缩的尺度恰如其分，笔者经过进一步研究，得出了以下简洁证法：当k时,=>原不等式成立。评析：要证不等式的结构是数列求和的形式，于是考虑将左边数列的通项放缩成易于求和的形式，通过放缩裂项，使问题自然地获得解决。关于数列求和不等式的证明，历来是各地模拟题和高考题的命题热点，而学生对于此类题的处理方法常用的是数学归纳法和一般的不等式放缩，往往做到中途就不了了之，而若能抓住此不等式的结构特征是以求和的形式出现，因此将数列的通项经过合适的放缩，使得其便于求和了，问题也随之得证。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. , , . 以下无正文
