和圆有关的证明及计算提优练习题.doc

与圆有关的证明及计算提优练习1. (2016上海)已知：O是ABC的外接圆，点D在边BC上，AEBC，AEBD.(1)求证：ADCE；(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AGAD，求证：四边形AGCE是平行四边形第1题图2. (2016沈阳)如图，在ABC中，以AB为直径的O分别与BC，AC相交于点D，E，BDCD，过点D作O的切线交边AC于点F.(1)求证：DFAC；(2)若O的半径为5，CDF30°，求的长(结果保留)第2题图3. (2016盐城射阳县二模)如图，已知O是ABC的外接圆，ABAC，D是劣弧AC上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线DF平分CDE；(2)若BAC30°，ABC中BC边上的高为2，求O的面积第3题图4. (2016南京一模)如图，AB是O的直径，AC是弦，直线EF和O相切于点C，ADEF，垂足为D.(1)求证：CADBAC；(2)如图，若把直线EF向上移动，使得EF与O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由第4题图5. (2016南通启东市二模)如图，已知扇形AOB中，AOB120°，弦AB2，点M是上任意一点(与端点A、B不重合)，MEAB于点E，以点M为圆心、ME长为半径作M，分别过点A、B作M的切线，两切线相交于点C.(1)求的长；(2)试判断ACB的大小是否随点M的运动而改变？若不变，请求出ACB的大小；若改变，请说明理由第5题图6. (2016曲靖)如图，在RtABC中，BAC90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的O与边BC相切于点E.(1)若AC5，BC13，求O的半径(2)过点E作弦EFAB于M，连接AF，若F2B，求证：四边形ACEF是菱形第6题图7. (2016呼和浩特)如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FBCFCB；(2)已知FA·FD12，若AB是ABC外接圆的直径，FA2，求CD的长第7题图8. (2016昆明)如图，AB是O的直径，BAC90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证：CF是O的切线；(2)若F30°，EB4，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和)第8题图9. (2016徐州模拟)如图，已知ABC中，AB6，AC8，点D是BC边上一动点，以AD为直径的O分别交AB、AC于点E、F.(1)如图，若AEFC，求证：BC与O相切；(2)如图，若BAC90°，BD长为多少时，AEF与ABC相似 第9题图10. (2016包头)如图，在RtABC中，ABC90°，ABCB，以AB为直径的O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合)，DE的延长线交O于点G，DFDG，且交BC于点F.(1)求证：AEBF；(2)连接GB，EF，求证：GBEF；(3)若AE1，EB2，求DG的长第10题图答案1. 证明：(1)在O中，ABAC，BACB，AEBC，EACACB，BEAC，在ABD和CAE中，ABDCAE(SAS)，ADCE； (2)如解图，连接AO并延长，交BC于点H，在BC上找一点G，连接AG，使AGAD，第1题解图，OA为半径，AHBC，BHCH，ADAG，DHHG，BHDHCHGH，即BDCG，BDAE，CGAE，CGAE，四边形AGCE是平行四边形2. (1)证明：如解图，连接OD，第2题解图DF是O的切线，D为切点，ODDF，ODF90°，BDCD，OAOB，OD是ABC的中位线，ODAC，CFDODF90°，DFAC；(2)解：CDF30°，由(1)得ODF90°，ODB180°CDFODF60°.OBOD，OBD是等边三角形，BOD60°，的长.3. (1)证明：A，B，C，D四点共圆，ABCADC180°，又ADCCDF180°，CDFABC，ABAC，ABCACB，ADB ACB，ADBCDF，ADBEDF，EDFCDF，即AD的延长线DF平分CDE；(2)解：如解图，连接AO并延长交BC于点H，交O于点M，连接OC，第3题解图ABAC，AHBC，OACOABBAC×30°15°，COH2OAC30°，设O的半径为r，在RtOCH中，则OHOC·cos30°r，ABC中BC边上的高为2，AHOAOHrr2，解得r2.Sr24.ABC的外接圆的面积为4.4. (1)证明：如解图，连接OC，则OCEF，且OCOA，易得OCAOAC，ADEF，OCEF，OCAD，OCACAD，CADOAC，即CADBAC；第4题解图(2)解：与CAD相等的角是BAG.证明如下：如解图，连接BG.四边形ACGB是O的内接四边形，ABGACG180°，D，C，G三点共线，ACDACG180°，ACDABG，AB是O的直径，AGB90°，BAGABG90°，ADEF，CADACD90°，CADBAG.5. 解：(1)过点O作OHAB于点H，如解图，则AHAB，AOB120°，OAH30°，AO2，l；第5题解图(2)如解图，连接AM、BM，MEAB，AB是M的切线，AC、BC是M的切线，M是ABC的内切圆，AM、BM是CAB、ABC的平分线，AMB180°(MABMBA)180°(CABABC)180°(180°ACB)，AMB90°ACB，AOB120°，AMB120°，ACB60°，即ACB的大小不变，为60°.6. (1)解：如解图，连接OE，设O的半径为r，则OAOEr.在RtABC中，由勾股定理得AB12，第6题解图O与BC边相切于点E，OEBC，OEBCAB90°，又BB，BOEBCA，即，解得r.所以O的半径为.(2)证明：分别连接OE、OF，如解图，BCOE，BBEFOEFBEF，BOEF，OEOF，OFEOEFB，F2B，OFAAFEOFE2BBB，又OAOF，OAFOFAB，AFCB，CAAB，EFAB，CAEF，四边形AFEC是平行四边形连接OC，如解图，AOEO，CAOCEO90°，COCO，RtAOCRtEOC.CACE，平行四边形AFEC是菱形7. (1)证明：四边形AFBC是圆的内接四边形，FBCFAC180°，又CADFAC180°，FBCCAD，AD是ABC的外角EAC的平分线，EADCADFBC，又EADFAB，FABCADFBC，又FABFCB，FBCFCB.(2)解：由(1)知FBCFCB，又FCBFAB，FABFBC，又BFABFD，AFBBFD，即BF2FA·FD12，解得：BF2，FA2，FD6，AD4，AB为圆的直径，BFABCA90°，tanFBA，FBA30°，由AFBBFD得，FBAFDB，FDB30°，CDAD·cos30°2.8. (1)证明：如解图，连接OD，第8题解图四边形OBEC是平行四边形，OCBE，AOCOBE，CODODB，OBOD，OBDODB，DOCAOC，在COD和COA中，CODCOA(SAS)，CAOCDO90°，CFOD，OD是O的半径，CF是O的切线；(2)解：F30°，ODF90°，DOFAOCCOD60°，ODOB，OBD是等边三角形，DBO60°，DBOFFDB，FDBEDC30°，ECOB，E180°OBD120°，ECD180°EEDC30°，ECEDBODB，EB4，OBODOA2，在RtAOC中，OAC90°，OA2，AOC60°，ACOA·tan60°2，S阴2SOACS扇形OAD2××2×24.9. (1)证明：如解图，连接DF，在O中AEFADF，第9题解图又AEFC，ADFC，AD为O的直径，AFD90°，CFD90°，CCDF90°，ADFCDF90°，ADC90°，又AD为O的直径，BC与O相切；(2)解：分两种情况：若AEFACB，则AEFC，由(1)知BC与O相切，设BDx，BAC90°，AB6，AC8，由勾股定理得BC10，DC10x，根据勾股定理得，解得x3.6，BD3.6；若AEFABC，AEFB，EFBC，EAF为直角，EF为直径，AEOABD，BD2EOEF，AEFABC，即BD2EOEFBC5.10. (1)证明：如解图，连接BD，第10题解图在RtABC中，ABC90°，ABBC，AC45°，AB为O的直径，ADB90°，即BDAC，ADDCBDAC，CBDC45°，AFBD，DFDG，FDG90°，FDBBDG90°，EDABDG90°，EDAFDB，在AED和BFD中，AEDBFD(ASA)，AEBF；(2)证明：如解图，连接EF，BG，AEDBFD，DFDE，EDF90°，EDF是等腰直角三角形，DEF45°，GA45°，GDEF，GBEF；(3)解：AEBF，AE1，BF1，在RtEBF中，EBF90°，根据勾股定理得：EF2EB2BF2，EB2，BF1，EF，DEF为等腰直角三角形，EDF90°，cosDEF，EF，DE×，GA，GEBAED，GEBAED，即GE·EDAE·EB，·GE2，即GE，则GDGEED.