二阶常系数非齐次线性微分方程课件.pptx

对应齐次方程,通解结构,常见类型有,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,二阶常系数非齐次线性方程,和,定理3,设非齐方程特解为,代入原方程,一、型,代入原方程(2)整理得：,猜想,特解,特解,综上讨论,解：所对应的齐次方程为,其特征方程为,特征根为,设特解为,代入方程得,比较系数得,原方程特解为,一次多项式,二次多项式,对应齐次方程的通解为,=0 是特征方程的单根，,非齐次方程的特解为,方程的通解为：,代入方程得,方程的特解为：,解：特征方程,对应齐次方程通解,特征根,例3,代入方程,得,原方程通解为,原方程的特解为,方程（2）的特解为：,（证略）,二、型,例4.求方程 y+y=xcos2x 的通解.,解:特征方程为,r2+1=0,其根为r1,2=i,对应齐次线性方程的通解为,y=C1cosx+C2sinx.,因 i=2i 不是特征方程的根,k=0，=0;,y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x,y*=(4ax+4c4b)cos2x+(4cx4a4d)sin2x,m=max0,1=1,故方程的特解设为：,代入原方程，整理得,比较两端同类项的系数，得,解之得：,求得一个特解为,方程的通解为,例5.设连续函数 f(x)满足方程,上式整理得：,解：将方程写为,两边对 x 求导得：,再求导得：,设 y=f(x),问题可转化为求解初值问题：,特征方程 r2+1=0 的根为 r1,2=i，,对应齐次线性方程通解为,而 i=i 是特征方程的根，,代入原方程后解得：,y*=x(acosx+bsinx).,设非齐次方程特解为,于是,故原方程的通解为,将初始条件代入上式，得,从而,即，所求函数为：,(待定系数法),三、小 结,P348 习题 7-8:6,P347 习题 7-8,1.(8)；2.(3).,布 置 作 业,P304-习题7-2,7.小船从河边0出发驶向对岸.,解：设小船的航行路线C：,水流,P315-习题7-4,1.求下列微分方程的通解：,P311公式（5）,2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：,