第二章-数列-专题突破二-数列的单调性和最大(小)项.docx

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列an满足：对一切正整数n，都有an1an(或an1an)，则称数列an为递增数列(或递减数列)(2)判断单调性的方法转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性利用定义判断：作差比较法，即作差比较an1与an的大小；作商比较法,即作商比较an1与an的大小，从而判断出数列an的单调性例1已知函数f(x)(x1)，构造数列anf(n)(nN*)试判断数列的单调性解f(x)2.方法一an2(nN*)，an12，an1an0.an1an.数列an是递减数列方法二设x1x21，则f(x1)f(x2)，x1x21，x110，x210，x2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上为减函数，anf(n)为递减数列反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1<x2，而数列只需研究相邻两项an1，an，证明难度是不一样的另需注意，函数f(x)在1，)上单调，则数列anf(n)一定单调，反之不成立跟踪训练1数列an的通项公式为an3×2n22×3n1，nN*.求证：an为递增数列证明an1an3×2n12×3n(3×2n22×3n1)3(2n22n1)2(3n3n1)3×2n24×3n12n2，n1，nN*，n212，12×n283，12×n230，又2n20，an1an0，即an1an，nN*.an是递增数列二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值(2)利用(n2)求数列中的最大项an；利用(n2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定例2在数列an中，an，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数解an1，设f(x)1，则f(x)在区间(，)与(，)上都是减函数因为44<<45，故数列an在0<n44，nN*时递减，在n45时递减，借助f(x)1的图象知数列an的最大值为a45，最小值为a44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项跟踪训练2已知数列an的通项公式an，则an的最大项是()Aa3 Ba4Ca5 Da6答案C解析f(x)在，上都是增函数且1n5时，an>0，n6时，an<0.an的最大值为a5.例3已知数列an的通项公式为ann25n4，nN*.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值解(1)由n25n40，解得1n4.nN*，n2,3.数列中有两项是负数(2)ann25n42，且nN*，当n2或n3时，an有最小值，其最小值为225×242.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值但应注意函数最值点不是正整数的情形跟踪训练3已知(1)na1对任意nN*恒成立，则实数a的取值范围是 答案解析设f(n)1，n1，则f(n)单调递增当n为奇数时，有a1又f(n)minf(1)1.a即a.当n为偶数时，a1.f(n)minf(2)1.a.综上，a.例4已知数列an的通项公式为annn1，nN*，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由解an1an(n1)·n2nn1n1·，且nN*，当n>3，nN*时，an1an<0；当1n3，nN*时，an1an>0.综上，可知an在n1,2,3时，单调递增；在n4,5,6,7，时，单调递减所以存在最大项又a33×31<a44×41，所以第4项为最大项反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦跟踪训练4已知数列bn的通项公式为bn，nN*，求bn的最大值解bn1bn，且nN*，当n1,2,3,4,5时，bn1bn0，即b1b2b3b4b5.当n6,7,8，时，bn1bn0，即b6b7b8，又b5b6.bn的最大值为b6.三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列an递增an1an恒成立；数列an递减an1an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决例5已知数列an中，ann2n，nN*.(1)若an是递增数列，求的取值范围(2)若an的第7项是最小项，求的取值范围解(1)由an是递增数列an<an1n2n<(n1)2(n1)>(2n1)，nN*>3.的取值范围是(3，)(2)依题意有即解得1513，即的取值范围是15，13反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足不一定a7最小跟踪训练5数列an中，an2n1k·2n1，nN*，若an是递减数列，求实数k的取值范围解an12(n1)1k·2n112n1k·2n，an1an2k·2n1.an是递减数列，对任意nN*，有2k·2n10，即k恒成立，kmax2，k的取值范围为(2，)1设an2n229n3，nN*，则数列an的最大项是()A103 B.C. D108答案D解析an222×3，而nN*，当n7时，an取得最大值，最大值为a72×7229×73108.故选D.2已知数列an的通项公式为ann1n1，则数列an()A有最大项，没有最小项B有最小项，没有最大项C既有最大项又有最小项D既没有最大项也没有最小项答案C解析ann1n12n1，令n1t，则t是区间(0,1内的值，而ant2t2，所以当n1，即t1时，an取最大值使n1最接近的n的值为数列an中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项3设ann210n11，则数列an从首项到第几项的和最大()A10 B11 C10或11 D12答案C解析ann210n11是关于n的二次函数，数列an是抛物线f(x)x210x11上的一些离散的点，an前10项都是正数，第11项是0，数列an前10项或前11项的和最大故选C.4数列an中，a12，an2an1(nN*,2n10)，则数列an的最大项的值为 答案1 024解析a12，an2an1，an>0，21，anan1，即an单调递增，an的最大项为a102a922a829·a129·22101 024.5已知数列an中，an1.若a6为最大项，则实数m的取值范围是 答案(11，9)解析根据题意知，y1的图象如下：由a6为最大项，知56.11m9.一、选择题1已知数列an满足a1>0,2an1an，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D以上都不对答案B解析a1>0，an1an，an>0，<1，an1<an，数列an是递减数列2在数列an中，ann，则an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D以上都不是答案A解析an1an(n1)n1>0，数列an是递增数列3已知数列an的通项公式为ann29n100，则其最小项是()A第4项 B第5项C第6项 D第4项或第5项答案D解析f(x)x29x100的对称轴为x，且开口向上ann29n100的最小项是第4项或第5项4在递减数列an中，ankn(k为常数)，则实数k的取值范围是()AR B(0，)C(，0) D(，0答案C解析an是递减数列，an1ank(n1)knk<0.5函数f(x)满足f(n1)f(n)3(nN*)，anf(n)，则an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D不能确定答案A解析an1anf(n1)f(n)3>0.6已知p>0，nN*，则数列log0.5pn是()A递增数列 B递减数列C增减性与p的取值有关 D常数列答案C解析令anlog0.5pn.当p>1时，pn1>pn，log0.5pn1<log0.5pn，即an1<an；当0<p1时，pn1pn，log0.5pn1log0.5pn，即an1an.故选C.7已知数列an的通项公式为an(nN*)，则该数列的最大项为()A第2项 B第3项C第2项或第3项 D不存在答案C解析易知，an.函数yx(x>0)在区间(0，)上单调递减，在区间(，)上单调递增，故数列an(nN*)在区间(0，)上递增，在区间(，)上递减又2<<3，且a2a3，所以最大项为第2项或第3项8已知数列an的通项公式ann，若对任意的nN*，都有ana3，则实数k的取值范围为()A6,12 B(6,12) C5,12 D(5,12)答案A解析n3对任意的nN*恒成立，则k3n，3n，当n4时，k3n，所以k12，当n1时，k3，当n2时，k6，以上三个要都成立，故取交集得6k12.二、填空题9已知数列an的通项公式为an3n228n，则数列an的各项中的最小项是第 项答案5解析易知，an3n228n32，故当n取附近的正整数时，an最小又4<<5，且a464，a565，故数列an的各项中的最小项是第5项10若数列an为递减数列，则an的通项公式可能为 (填序号)an2n1；ann23n1；an；an(1)n.答案解析可以通过画函数的图象一一判断，有增有减，是摆动数列11设函数f(x)数列an满足anf(n)，nN*，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是 答案(2,3)解析由题意，得点(n，an)分布在分段函数f(x)的图象上因此当3a>0时，a1<a2<a3<<a7；当a>1时，a8<a9<a10<；为使数列an递增还需a7<a8.故实数a满足条件解得2<a<3，故实数a的取值范围是(2,3)三、解答题12已知数列an中，ann2kn(nN*)，且an递增，求实数k的取值范围解因为an1(n1)2k(n1)，ann2kn，所以an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k.由于数列an递增，故应有an1an>0，即2n1k>0，nN*恒成立，分离变量得k<2n1，故需k<3即可，所以k的取值范围为(，3)13已知数列an的通项公式为an.(1)判断an的单调性；(2)求an的最小项解(1)an1an(n1)1，且nN*，当1n2时，an1an0，当n3时，an1an0，即n1，n2时，an递减，n3时，an递增(2)由(1)知an的最小项从a2，a3中产生由a2a3，an的最小项为a3.14已知数列an，则数列an中的最小项是第 项答案5解析an，令3n16<0，得n<.又f(n)an在上单调递减，且nN*，所以当n5时，an取最小值15作出数列an：ann210n11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值解列表n1234567891011an202732353635322720110图象如图所示由数列的图象知，当1n5时数列递增；当n>5时数列递减，最大值为a536，无最小值