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第二十二章 量子力学基础一、选择题1、静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长l与速度v有如下关系： (A) (B) (C) (D) C 2、若a粒子(电荷为2e)在磁感应强度为B均匀磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则a粒子的德布罗意波长是 (A) (B) (C) (D) A 3、电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U的静电场加速后，其德布罗意波长是 0.4 Å，则U约为 (A) 150 V (B) 330 V (C) 630 V (D) 940 V D (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s)4、如图所示，一束动量为p的电子，通过缝宽为a的狭缝在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度d等于 (A) 2a2/R (B) 2ha/p (C) 2ha/(Rp) (D) 2Rh/(ap) D 5、如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 A 6、不确定关系式表示在x方向上 (A) 粒子位置不能准确确定 (B) 粒子动量不能准确确定 (C) 粒子位置和动量都不能准确确定 (D) 粒子位置和动量不能同时准确确定 D 7、已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： , ( - axa )那么粒子在x = 5a/6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a) (B) 1/a (C) (D) A 8、设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ A 9、关于不确定关系 (，有以下几种理解： (1) 粒子的动量不可能确定 (2) 粒子的坐标不可能确定 (3) 粒子的动量和坐标不可能同时准确地确定 (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子 其中正确的是： (A) (1)，(2). (B) (2)，(4). (C) (3)，(4). (D) (4)，(1). C 10、波长l =5000 Å的光沿x轴正向传播，若光的波长的不确定量Dl =10-3 Å，则利用不确定关系式可得光子的x坐标的不确定量至少为 (A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm C 11、将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布概率将 (A) 增大D2倍 (B) 增大2D倍 (C) 增大D倍 . (D) 不变 D 12、直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验 (B) 卢瑟福实验 (C) 戴维孙革末实验 (D) 斯特恩革拉赫实验 D 13、下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？ (A) n = 2，l = 2，ml = 0， (B) n = 3，l = 1，ml =-1， (C) n = 1，l = 2，ml = 1， (D) n = 1，l = 0，ml = 1， B 14、有下列四组量子数： (1) n = 3，l = 2，ml = 0， (2) n = 3，l = 3，ml = 1， (3) n = 3，l = 1，ml = -1， (4) n = 3，l = 0，ml = 0， 其中可以描述原子中电子状态的 (A) 只有(1)和(3) (B) 只有(2)和(4) (C) 只有(1)、(3)和(4) (D) 只有(2)、(3)和(4) C 15、氢原子中处于3d量子态的电子，描述其量子态的四个量子数(n，l，ml，ms)可能取的值为 (A) (3，0，1，) (B) (1，1，1，) (C) (2，1，2，) (D) (3，2，0，) D 16、氢原子中处于2p状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n，l，ml，ms)可能取的值为 (A) (2，2，1，) (B) (2，0，0，) (C) (2，1，-1，) (D) (2，0，1，) C 17、在氢原子的K壳层中，电子可能具有的量子数(n，l，ml，ms)是 (A) (1，0，0，) (B) (1，0，-1，) (C) (1，1，0，) (D) (2，1，0，) A 18、在氢原子的L壳层中，电子可能具有的量子数(n，l，ml，ms)是 (A) (1，0，0，) (B) (2，1，-1，) (C) (2，0，1，) (D) (3，1，-1，) B 19、 在原子的K壳层中，电子可能具有的四个量子数(n，l，ml，ms)是 (1) (1，1，0，) (2) (1，0，0，) (3) (2，1，0，) (4) (1，0，0，) 以上四种取值中，哪些是正确的？ (A) 只有(1)、(3)是正确的 (B) 只有(2)、(4)是正确的 (C) 只有(2)、(3)、(4)是正确的 (D) 全部是正确的 B 20、在原子的L壳层中，电子可能具有的四个量子数(n，l，ml，ms)是 (1) (2，0，1，) (2) (2，1，0，) (3) (2，1，1，) (4) (2，1，-1，) 以上四种取值中，哪些是正确的？ (A) 只有(1)、(2)是正确的 (B) 只有(2)、(3)是正确的 (C) 只有(2)、(3)、(4)是正确的 (D) 全部是正确的 C 二、填空题2、在戴维孙革末电子衍射实验装置中，自热阴极K发射出的电子束经U = 500 V的电势差加速后投射到晶体上 这电子束的德布罗意波长l =_nm。 (电子质量me= 9.11×10-31 kg，基本电荷e =1.60×10-19 C，普朗克常量h =6.63×10-34 J·s )答案：0.0549 4、氢原子的运动速率等于它在300 K时的方均根速率时，它的德布罗意波长是_ Å。 (普朗克常量为h =6.63×10-34 J·s，玻尔兹曼常量k =1.38×10-23 J·K-1，氢原子质量mH =1.67×10-27 kg)答案：1.455、氢原子的运动速率等于它在300 K时的方均根速率时，质量为M =1 g，以速度1 cm·s-1运动的小球的德布罗意波长是_×10-19 Å。 (普朗克常量为h =6.63×10-34 J·s，玻尔兹曼常量k =1.38×10-23 J·K-1，氢原子质量mH =1.67×10-27 kg)答案：6.636、在B =1.25×10-2 T的匀强磁场中沿半径为R =1.66 cm的圆轨道运动的a粒子的德布罗意波长是_ Å。 (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，基本电荷e =1.60×10-19 C)答案：0.17、为使电子的德布罗意波长为1 Å，需要的加速电压为_ (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，基本电荷e =1.60×10-19 C，电子质量me=9.11×10-31 kg)答案：150 V 8、若中子的德布罗意波长为2 Å，则它的动能为_×10-21 J (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，中子质量m =1.67×10-27 kg)答案：3.299、低速运动的质子和a粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比pp：pa =_。答案：11 10、低速运动的质子和a粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动能之比Ep：Ea =_。答案：41 11、设描述微观粒子运动的波函数为，则表示_。答案：粒子在t时刻在(x，y，z)处出现的概率密度12、设描述微观粒子运动的波函数为，则须满足的条件是_。答案：单值、有限和连续 14、如果电子被限制在边界x与x +Dx之间，Dx =0.5 Å，则电子动量x分量的不确定量近似地为_×10-23kg·ms (不确定关系式Dx·Dph，普朗克常量h =6.63×10-34 J·s)答案：1.33 17、根据量子论，氢原子中核外电子的状态可由四个量子数来确定，其中主量子数n可决定_。答案：原子系统的能量18、原子内电子的量子态由n、l、ml及ms四个量子数表征当n、l、ml一定时，不同的量子态数目为_。答案：221、1921年斯特恩和革拉赫在实验中发现：一束处于s态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_来解释答案：电子自旋的角动量的空间取向量子化25、原子中电子的主量子数n =2，它可能具有的状态数最多为_个答案：826、在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子中电子的状态： n =2，l =_，ml= -1， 答案：127、在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子中电子的状态： n =2，l =0，ml =_，。 答案：0 29、主量子数n = 4的量子态中，角量子数l的可能取值为0，1，2和_。答案：3 30、主量子数n = 4的量子态中，磁量子数ml的可能取值为0，±1，±2和±_答案：3 31、多电子原子中，电子的排列遵循_原理和能量最小原理答案：泡利不相容 32、泡利不相容原理的内容是_。答案：一个原子内部不能有两个或两个以上的电子有完全相同的四个量子数(n、l、ml、ms) 33、在主量子数n =2，自旋磁量子数的量子态中，能够填充的最大电子数是_。答案：434、根据泡利不相容原理，在主量子数n = 4的电子壳层上最多可能有的电子数为_个答案：3236、钴(Z = 27 )有两个电子在4s态，没有其它n 4的电子，则在3d态的电子可有_个答案：7三、计算题1、a粒子在磁感应强度为B = 0.025 T的均匀磁场中沿半径为R =0.83 cm的圆形轨道运动 (1) 试计算其德布罗意波长 (2) 若使质量m = 0.1 g的小球以与a粒子相同的速率运动则其波长为多少？ (a粒子的质量ma =6.64×10-27 kg，普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，基本电荷e =1.60×10-19 C)解：(1) 德布罗意公式： 由题可知a 粒子受磁场力作用作圆周运动 ，又 则 故 (2) 由上一问可得 对于质量为m的小球 =6.64×10-34 m 2、当电子的德布罗意波长与可见光波长( l =5500 Å)相同时，求它的动能是多少电子伏特？ (电子质量me=9.11×10-31 kg，普朗克常量h =6.63×10-34 J·s, 1 eV =1.60×10-19 J)解： =5.0×10-6 eV 3、考虑到相对论效应，试求实物粒子的德布罗意波长的表达式，设EK为粒子的动能，m0为粒子的静止质量解：据 得 将m，v代入德布罗意公式得 4、已知第一玻尔轨道半径a，试计算当氢原子中电子沿第n玻尔轨道运动时，其相应的德布罗意波长是多少？解： 因为若电子在第n玻尔轨道运动，其轨道半径和动量矩分别为 故 得 5、质量为me的电子被电势差U12 = 100 kV的电场加速，如果考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长若不用相对论计算，则相对误差是多少？ (电子静止质量me=9.11×10-31 kg，普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，基本电荷e =1.60×10-19 C)解：用相对论计算 由 计算得 若不考虑相对论效应 则 由，式计算得 3.88×10-12 m 相对误差 6、若不考虑相对论效应，则波长为 5500 Å的电子的动能是多少eV？ (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，电子静止质量me=9.11×10-31 kg)解：非相对论动能 而 故有 又根据德布罗意关系有 代入上式 则 4.98×10-6 eV 7、求出实物粒子德布罗意波长与粒子动能EK和静止质量m0的关系，并得出： EK << m0c2时， ； EK >> m0c2时， 解：由 解出： 根据德布罗意波： 把上面m，v代入得： 当 时，上式分母中，可略去 得 当 时，上式分母中，可略去 得 8、假如电子运动速度与光速可以比拟，则当电子的动能等于它静止能量的2倍时，其德布罗意波长为多少？ (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，电子静止质量me=9.11×10-31 kg) 解：若电子的动能是它的静止能量的两倍，则： 故： 由相对论公式 有 解得 9、能量为15 eV的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离发射一个光电子，求此光电子的德布罗意波长 (电子的质量me=9.11×10-31 kg，普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，1 eV =1.60×10-19 J)解：远离核的光电子动能为 eV 则 7.0×105 m/s 光电子的德布罗意波长为 1.04×10-9 m =10.4 Å10、如图所示，一电子以初速度v 0 = 6.0×106 m/s逆着场强方向飞入电场强度为E = 500 V/m的均匀电场中，问该电子在电场中要飞行多长距离d，可使得电子的德布罗意波长达到l = 1 Å(飞行过程中，电子的质量认为不变，即为静止质量me=9.11×10-31 kg；基本电荷e =1.60×10-19 C；普朗克常量h =6.63×10-34 J·s) 解： 由式： 7.28×106 m/s 由式： 8.78×1013 m/s2 由式： = 0.0968 m = 9.68 cm 11、若光子的波长和电子的德布罗意波长l相等，试求光子的质量与电子的质量之比解：光子动量： pr = mr c = h /l 电子动量： pe = me v = h /l 两者波长相等，有 mr c = me v 得到 mr / me v/ c 电子质量 式中m0为电子的静止质量由、两式解出 代入式得 12、已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为 (0 x a)求发现粒子的概率为最大的位置解：先求粒子的位置概率密度 当 时， 有最大值在0xa范围内可得 13、同时测量能量为1 keV作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1 nm (1 nm = 10-9 m)内，则动量的不确定值的百分比Dp / p至少为何值？ (电子质量me=9.11×10-31 kg，1 eV =1.60×10-19 J, 普朗克常量h =6.63×10-34 J·s)解：1 keV的电子，其动量为 1.71×10-23 kg·m·s-1 据不确定关系式： 得 kg·m·s-1 Dp / p =0.0626.2 若不确定关系式写成 则Dp / p =39，或写成 则Dp / p =3.1 ， 均可视为正确 14、光子的波长为l =3000 Å，如果确定此波长的精确度Dl / l =10-6，试求此光子位置的不确定量解：光子动量 按题意，动量的不确定量为 根据测不准关系式得： Dx故 Dx0.048 m48 mm 若用 或，或，计算Dx15、粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： (0 <x <a) 若粒子处于n =1的状态，它在 0a /4区间内的概率是多少？ 提示： 解： 粒子位于0 a/4内的概率为： =0.091 16、一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的关系(不确定关系式).解：由即 据题意 以及德布罗意波公式得 比较、式得 17、试求d分壳层最多能容纳的电子数，并写出这些电子的ml和ms值 解：d分壳层就是角量子数l =2的分壳层 d分壳层最多可容纳的电子数为 个 ml =0，±1，±2