河南省中考数学专题复习专题四与圆有关的计算训练.docx

专题四与圆有关的计算类型一 与切线有关的简单证明与计算(2018·昆明)如图，AB是O的直径，ED切O于点C，AD交O于点F，AC平分BAD，连接BF.(1)求证：ADED；(2)若CD4，AF2，求O的半径【分析】 (1)连接OC，先证明OCAD，然后利用切线的性质得OCDE，从而得到ADED；(2)OC交BF于H，如解图，利用圆周角定理得到AFB90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FHCD，CHF90°，利用垂径定理得到BHFH，在RtABF中，利用勾股定理计算出AB，从而得到O的半径【自主解答】 (1)证明：连接OC，如解图，AC平分BAD，12，OAOC，13，23，OCAD，ED切O于点C，OCDE，ADED；例1题解图(2)解：OC交BF于点H，如解图，AB为直径，AFB90°，易得四边形CDFH为矩形，FHCD4，CHF90°，OHBF，BHFH4，BF8，在RtABF中，AB2，O的半径为.1(2018·河南说明与检测)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点(1)若BAC30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P.求证：PBCAOC；(2)若AB6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D，当以点A、O、C、D为顶点的四边形为菱形时，求的长2(2018·河南说明与检测)如图，在O中，AOB120°，点C为的中点，延长OC到点D，使CDOC，AB交OC于点E.(1)求证：DA是O的切线；(2)若OA6，求弦AB的长3(2018·河南说明与检测)如图，ABC中，ACB90°，D为AB上一点，以CD为直径的O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交O于点F，CAEADF.(1)判断AB与O的位置关系，并说明理由；(2)若PFPC12，AF5，求CP的长4(2018·金华)如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD.已知CADB.(1)求证：AD是O的切线；(2)若BC8，tan B，求O的半径5(2018·玉林)如图，在ABC中，以AB为直径作O交BC于点D，DACB.(1)求证：AC是O的切线；(2)点E是AB上一点，若BCEB，tanB，O的半径是4，求EC的长6(2018·天津)已知AB是O的直径，弦CD与AB相交，BAC38°.()如图，若D为的中点，求ABC和ABD的大小；()如图，过点D作O的切线，与AB的延长线交于点P，若DPAC，求OCD的大小图图7(2018·信阳一模)如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于点F，且CECB.(1)求证：BC是O的切线；(2)连接AF，BF，求ABF的度数8(2018·河南说明与检测)如图，AB是O的直径，C是的中点，O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交O于点H，连接BH.(1)求证：ACCD；(2)若OB2，求BH的长类型二 与四边形判定结合的证明与计算(2018·河南)如图，AB是O的直径，DOAB于点O，连接DA交O于点C，过点C作O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F.(1)求证：CEEF；(2)连接AF并延长，交O于点G.填空：当D的度数为_时，四边形ECFG为菱形；当D的度数为_时，四边形ECOG为正方形例2题图【分析】 (1)连接OC，如解图，利用切线的性质得1490°，再利用等腰三角形的性质和互余证明12，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；(2)要证明四边形ECFG为菱形，可知CEF为等边三角形，ACB90°，CFE60°，D可求；四边形ECOG为正方形，COG90°，COF45°，则COA45°，根据ACO是等腰三角形，在RtAOD中，已知DAO，则D可求【自主解答】 (1)证明：连接OC，如解图，CE为切线，OCCE，OCE90°，即1490°，DOAB，3B90°，23，2B90°，又OBOC，4B，12，CEFE；(2)解：当D30°时，四边形ECFG为菱形，【解法提示】四边形ECFG为菱形，CECFFGEG，由(1)知CEEF，ECF是等边三角形，CFD60°，ACB90°，DCF90°，D90°60°30°.当D22.5°时，四边形ECOG为正方形【解法提示】例2题解图四边形ECOG为正方形，COCE，OCE90°，COE是等腰直角三角形，COE45°，DOAB，DOA90°，COADOACOE45°，OAOC，CAB67.5°，D90°62.5°22.5°.1(2016·河南)如图，在RtABC中，ABC90°，点M是AC的中点，以AB为直径作O分别交AC，BM于点D，E.(1)求证：MDME；(2)填空：若AB6，当AD2DM时，DE_；连接OD，OE，当A的度数为_时，四边形ODME是菱形2(2015·河南)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PCPB，D是AC的中点，连接PD、PO.(1)求证：CDPPOB；(2)填空：若AB4，则四边形AOPD的最大面积为_；连接OD，当PBA的度数为_时，四边形BPDO是菱形3(2014·河南)如图，CD是O的直径，且CD2 cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.(1)连接AC，若APO30°，试证明ACP是等腰三角形；(2)填空：当DP_ cm时，四边形AOBD是菱形；当DP_ cm时，四边形AOBP是正方形4(2018·驻马店一模)如图，AC是O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PCCO，点B在O上，且CAB30°.(1)求证：PB是O的切线；(2)若D为圆O上任一动点，O的半径为5 cm时，当弧CD长为_时，四边形ADPB为菱形；当弧CD长为_时，四边形ADCB为矩形5(2018·濮阳一模)如图，已知ABC内接于O，AB是直径，ODAC，ADOC.(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；(2)探究：当B_°时，四边形OCAD是菱形；当B满足什么条件时，AD与O相切？请说明理由6(2017·河南模拟)已知：如图，在平行四边形ABCD中，O是经过A、B、C三点的圆，CD与O相切于点C，点P是上的一个动点(点P不与B、C点重合)，连接PA、PB、PC.(1)求证：CACB；(2)当点P满足_时，CPAABC，请说明理由；当ABC的度数为_时，四边形ABCD是菱形7(2018·河南说明与检测)如图，ABC内接于圆O，且ABAC.延长BC到点D，使CDCA，连接AD交圆O于点E.(1)求证：ABECDE.(2)填空：当ABC的度数为_时，四边形AOCE是菱形；若AE，AB2，则DE的长为_8(2018·河南说明与检测)如图，半圆O的直径为AB，点M为半圆上一动点(不与点A，B重合)，点N为的中点，NDAB于点D，过点M的切线交DN的延长线于点C.(1)若MCAB，求证：ADCN；填空：四边形OMCD是何种特殊的四边形？_(2)填空：当ANM_时，四边形ANMO为菱形9(2018·河南说明与检测)如图，在RtABC中，ABC90°，以AB为直径的O与AC边交于点D，过点D作O的切线交BC于点E，连接OE.(1)求证：OEAD；(2)填空：BAC_°时，四边形ODEB是正方形；当BAC_°时，AD3DE.10(2017·濮阳一模)如图，AB是O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交O于点D，连接AD，过点D作O的切线交PB的延长线于点E，连CE交AB于点F，连接DF.(1)求证：DACECP；(2)填空：四边形ACED是何种特殊的四边形？在点P运动过程中，线段DF、AP的数量关系是_11如图，已知A的半径为4，EC是A的直径，点B是A的切线CB上的一个动点，连接AB交A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF.(1)试判断直线BF与A的位置关系，并说明理由；(2)填空：当CAB_时，四边形ADFE为菱形；当EF_时，四边形ACBF为正方形12(2018·河南说明与检测)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DFAC于点F.(1)求证：DF为O的切线；(2)若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G，连接CG.设O的半径为5.当CF_时，四边形ABCG为菱形；当BC4时，四边形ABCG的面积是_参考答案类型一针对训练1(1)证明：AB是O的直径，ACB90°.BAC30°，ABC60°.OBOC，OBC是等边三角形OCBC，OBCBOC60°.AOCPBC120°.CP是O的切线，OCCP.OCP90°.ACOPCB.在AOC和PBC中，PBCAOC.(2)解：如解图，四边形AOCD为菱形，OAADCDOC.连接OD，则OAODOC，AOD和COD都是等边三角形AODCOD60°.BOC60°.的长为.如解图，同理，BOC120°，的长为2.综上可知，的长为或2.图图第1题解图2(1)证明：如解图，连接AC.C是的中点，.第2题解图AOB120°，AOCBOC60°.OAOC，AOC是等边三角形OACOCA60°，ACOC.CDOC，CDAC.DACDOCA30°.DAOOACDAC90°.OA是O的半径，DA是O的切线(2)解：OAOC，AOCBOC60°，AEBE，OEAB.在RtAOE中，AEOA·sin 60°6×3.AB2AE6.3(1)证明：AB与O相切，理由如下：ACB90°，CAEAEC90°，CAEADF，AECFDC，ADFFDC90°，即ADC90°.CDAB.又CD为O的直径，AB与O相切第3题解图(2)解：连接FC，DE，如解图，CD为O的直径，DEC90°，ACB90°，DEAC，CAEDEA，DEADCF，CAEDCF，即CAPFCP，CPAFPC，CAPFCP，PA2PC4PF，PFAF，CP2PF.4(1)证明：连接OD，OBOD，3B，B1，13，在RtACD中，1290°，4180°(23)90°，第4题解图ODAD，OD为O的半径，AD为O的切线；(2)解：设O的半径为r，在RtABC中，ACBC·tan B4，根据勾股定理得：AB4，OA4r，在RtACD中，tan1tan B，CDAC·tan12，根据勾股定理得：AD2AC2CD216420，在RtADO中，OA2OD2AD2，即(4r)2r220，解得：r.5(1)证明：AB是直径，ADB90°，BBAD90°，DACB，DACBAD90°，BAC90°，BAAC，AC是O的切线(2)解：BCEB，ECEB，设ECEBx，在RtABC中，tanB，AB8，AC4，在RtAEC中，EC2AE2AC2，x2(8x)242，解得x5，CE5.6解：()AB是O的直径，弦CD与AB相交，BAC38°，ACB90°，ABC52°，D为的中点，AOB180°，AOD90°，ABD45°.()连接OD，如解图，DP切O于点D，ODDP，即ODP90°，由DPAC，又BAC38°，PBAC38°，AOD是ODP的一个外角，AODPODP128°，ACD64°，OCOA，BAC38°，OCABAC38°，OCDACDOCA64°38°26°.第6题解图7(1)证明：连接OB，如解图，CECB，CBECEB，CDOA，DAEAED90°，又CEBAED，DAECBE90°，OAOB，OABOBA，OBACBE90°，即OBC90°，OBBC，OB是O的半径，BC是O的切线；(2)解：连接OF，交AB于点H，如解图，DFOA，ADOD，FAFO，又OFOA，OAF为等边三角形，AOF60°，ABFAOF30°.第7题解图8(1)证明：连接OC，如解图，第8题解图C是的中点，AB是O的直径，COAB.BD是O的切线，BDAB.OCBD，OAOB，ACCD.(2)解：E是OB的中点，OEBE.在COE和FBE中，CEOFEB，OEBE，COEFBE，COEFBE，COBF，OB2，BF2，AF2，AB是直径，BHAF，ABFBHF，即AB·BFAF·BH，BH.类型二针对训练1(1)证明：ABC90°，AMMC，BMAMMC，AABM，四边形ABED是圆内接四边形，ADEABE180°，又ADEMDE180°，MDEMBA，同理证明：MEDA，MDEMED，MDME.(2)解：由(1)可知，AMDE，DEAB，AD2DM，DMMA13，DEAB×62.故答案为2.第1题解图当A60°时，四边形ODME是菱形理由如下：如解图，四边形ODME是菱形，ODOEDMMG，DMME，DME是等边三角形，EDM60°，DEAB，AMDE60°.2(1)证明：PCPB，D是AC的中点，DPAB，DPAB，CPDPBO，BOAB，DPBO，在CDP与POB中，CDPPOB(SAS)；(2)4【解法提示】当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，AB4，OA2，最大面积为2×24；第2题解图60°【解法提示】连接OD，如解图，DPAB，DPBO，四边形BPDO是平行四边形，四边形BPDO是菱形，PBBO，POBO，PBBOPO，PBO是等边三角形，PBA的度数为60°.第3题解图3(1)证明：连接OA，如解图，PA是O的切线，OAPA，在RtAOP中，AOP90°APO90°30°60°，ACP30°，APO30°，ACPAPO，ACAP，ACP是等腰三角形(2)解：DP1，理由如下：四边形AOBD是菱形，OAADOD，AOP60°，OP2OA，DPOD.DP1，DP1，理由如下：四边形AOBP是正方形，AOP45°，OAPA1，OP，DPOP1，DP1.4(1)证明：如解图，连接OB、BC.OAOB，OABOBA30°，COBOABOBA60°，OBOC，OBC是等边三角形，BCOC，PCOC，BCCOCP，PBO90°，OBPB，OB是O的半径，PB是O的切线图图图第4题解图(2)解：的长为 cm时，四边形ADPB是菱形理由如下：如解图，四边形ADPB是菱形，CAB30°，DAC30°，COD2CAD60°，的长为 cm.当弧CD的长为 cm时，四边形ADCB为矩形，理由如下：如解图，当四边形ADCB是矩形时，易知COD120°，的长为 cm.5(1)证明：OAOC，ADOC，OAAD，AODADO，ODAC，OACAOD，OACOCAAODADO，AOCOAD，OCAD，四边形OCAD是平行四边形；(2)解：30【解法提示】四边形OCAD是菱形，OCAC，又OCOA，OCOAAC，AOC60°，BAOC30°；当B45°时，AD与O相切，理由如下：AD与O相切，OAD90°，ADOC，AOC90°，BAOC45°.6(1)证明：连接CO并延长交AB于点E，如解图，CD与O相切于点C，CECD，四边形ABCD为平行四边形，ABCD，CEAB，AEBE，BCAC；(2)解：当ACAP时，CPAABC.理由如下：ACBC，ACAP，ABCBAC，APCACP，ABCAPC，BACACP，在CPA与ABC中，CPAABC；图图第6题解图当ABC的度数为60°时，四边形ABCD是菱形理由如下：如解图，连接OC，OB，ABC60°，BCD120°，CD与O相切于点C，OCD90°，BCO30°，OBOC，OBC30°，ABO30°，BO垂直平分AC，ABBC，四边形ABCD是菱形7(1)证明：ABAC, CDCA，ABCACB，ABCD.四边形ABCE是圆内接四边形，ABCAEC180°，BAEBCE180°.CEDAEC180°，ECDBCE180°，CEDABC，ECDBAE.CEDACB.ACBAEB，CEDAEB.在ABE和CDE中，ABECDE.(2)解：60；.8解：(1) 连接ON，如解图点N为的中点，ANMN，OAOM，ONON，AONMON.OANOMN，CM为O的切线，CMOM.第8题解图CMNOMN90°，NDAB，NADAND90°，ANDCMN，MCAB，CDAB，MCND，即NCM90°.又ANNM，ADN90°，ANDNMC，ADCN.矩形(2)120.9(1)证明：连接OD，DE是O的切线，ODDE，第9题解图在RtODE和RtOBE中，RtODERtOBE.DOEBOEDOB，OAOD，AADODOB，BOEA，OEAD.(2)解：45°30°10(1)证明：DE为O的切线，ODDE，CDE90°，点C为AP的中点，DCAP，DCADCP90°，AB是O直径，APB90°，四边形DEPC为矩形，DCEP，在DAC和ECP中，DACECP；(2)解：DACECP，ADCE，DACECP，ADCE，四边形ACED是平行四边形；DFAP.理由如下：OAOD，DAOADO，ADCE，ADODCF，DAODCF，A，C，F，D四点共圆，ACDF，ACAP，DFAP.11(1)证明：BF与A相切，理由如下：BC是A的切线，ACB90°，EFAB，AEFCAB，AFEFAB，又AEAF，AEFAFE，FABCAB，在ABC和ABF中，ABCABF(SAS)；AFBACB90°，AF是A的半径，BF与O相切(2)解：60°理由如下：连接CF，如解图所示，第11题解图若四边形ADFE为菱形，则AEEFFDDA，又CE2AE，CE是圆A的直径，CE2EF，CFE90°，ECF30°，CEF60°，EFAB，AEFCAB，CAB60°；4.理由如下：若四边形ACBF为正方形，则ACCBBFFA4，且AFAE，EF4.第12题解图12(1)证明：连接OD，ABAC，OBOD，ABCACB，OBDODB，ACBODB，ODAC.DFAC，DFOD，DF为O的切线(2)解：2.5.100.