正弦定理和余弦定理讲义打印版.doc
正弦定理和余弦定理讲义解三角形的大前提背景：内角和定理：在中，；sinAsin(BC)，cosAcos(BC)， tanAtan(BC)sincos，cossin. 考点一：1.正弦定理： ，其中R是 . 2.变形为： (1)abc ；（边化角）a_，b_，c_； （角化边）sin A_， sin B_， sin C_注：正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.（情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.大边对大角） 3.解三角形时，三角形解的个数的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin A<a<baba>b解个数例1.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答。 （1） （2） （3） （4）2. 在ABC中，a8，B60°，C75°，求边b和c.考点二：余弦定理 a2_，b2_，c2_.余弦定理可以变形为：cos A_，cos B_，cos C_.或者 注：1.已知两边b，c与其夹角A，由a2b2c22bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C. 2.已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.例.在ABC中，a1，b，B60°，求c.考点三：判断三角形的形状解题思路：一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 （思考：如何判断锐、直、钝三角形；结合三角变换判断等腰，等边等）例1.在ABC中，bcosAcosB，试判断三角形的形状. 2.在ABC中，若，则ABC的形状是.( ) 3.ABC中，若lgalgclgsinBlg且B，则ABC的形状是()4.已知在ABC中，则ABC的形状是 : =(R为外接圆半径)(abc)·r(r内切圆半径)考点四：三角形的面积问题例1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ，3. (1)求ABC的面积； (2)若bc6，求a的值.2.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；若b，ac4，求ABC的面积. 考点五：三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.三角变换公式：1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式： 3.辅助角公式：例1.在中，已知内角，边设内角，周长为（1） 求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值2.设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围在ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，8，BAC，a4.(1)求b·c的最大值及的取值范围；(2)求函数f()2sin2()2cos2的值考点六：综合问题例.(2005年全国高考卷三试题)ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列， （）求cotA+cotC的值； （）设，求ac的值.考点七：实际应用（一.）测量问题图1ABCD例1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30°，CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。（二.）遇险问题西北南东ABC30°15°图2例2.某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？北乙甲3.（2007山东高考）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？跟踪训练一、选择题1在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinB·sinC，则A的取值范围是( )A(0， B，) C(0， D，)2.如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为( )A. B. C. D.3.在ABC中，若A60°，b1，SABC，则的值为()A. B. C. D.4.在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C120°，ca，则()A.a>bB.a<bC.abD.a与b的大小关系不能确定5.若ABC的内角A、B、C满足6sinA4sinB3sinC，则cosB( )A. B. C. D.二、填空题6.在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，则A_，ABC的形状为_.7.在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C，则的值是_.8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S(b2c2a2)，则A_9.在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于_，AC的取值范围为 .10已知ABC的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 . 三、解答题11已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且b2a·sin B.(1)求A； (2)若a7，ABC的面积为10，求b2c2的值.12 在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2c22b，且sin B4cos Asin C，求b.13.在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos 2A. (1)求A的度数；(2)若a，bc3，求b、c的值.14在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中b，tanAtanCtantanA·tanC·tan.(1)求角B的大小；(2)求ac的取值范围15.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量p(c2a，b)，q(cosB，cosC)，pq.(1)求角B的大小；(2)若b2，求ABC面积的最大值
