正弦定理和余弦定理讲义打印版.doc
正弦定理和余弦定理讲义解三角形的大前提背景:内角和定理:在中,;sinAsin(BC),cosAcos(BC), tanAtan(BC)sincos,cossin. 考点一:1.正弦定理: ,其中R是 . 2.变形为: (1)abc ;(边化角)a_,b_,c_; (角化边)sin A_, sin B_, sin C_注:正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.(情况(2)中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分.大边对大角) 3.解三角形时,三角形解的个数的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin A<a<baba>b解个数例1.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答。 (1) (2) (3) (4)2. 在ABC中,a8,B60°,C75°,求边b和c.考点二:余弦定理 a2_,b2_,c2_.余弦定理可以变形为:cos A_,cos B_,cos C_.或者 注:1.已知两边b,c与其夹角A,由a2b2c22bccosA, 求出a,再由正弦定理,求出角B,C. 2.已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.例.在ABC中,a1,b,B60°,求c.考点三:判断三角形的形状解题思路:一般考虑两个方向进行变形:(1)一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;(2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理 (思考:如何判断锐、直、钝三角形;结合三角变换判断等腰,等边等)例1.在ABC中,bcosAcosB,试判断三角形的形状. 2.在ABC中,若,则ABC的形状是.( ) 3.ABC中,若lgalgclgsinBlg且B,则ABC的形状是()4.已知在ABC中,则ABC的形状是 : =(R为外接圆半径)(abc)·r(r内切圆半径)考点四:三角形的面积问题例1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos ,3. (1)求ABC的面积; (2)若bc6,求a的值.2.在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且.(1)求角B的大小;若b,ac4,求ABC的面积. 考点五:三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.三角变换公式:1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式: 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式: 3.辅助角公式:例1.在中,已知内角,边设内角,周长为(1) 求函数的解析式和定义域;(2)求的最大值2.设锐角三角形的内角的对边分别为,()求的大小;()求的取值范围在ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,8,BAC,a4.(1)求b·c的最大值及的取值范围;(2)求函数f()2sin2()2cos2的值考点六:综合问题例.(2005年全国高考卷三试题)ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列, ()求cotA+cotC的值; ()设,求ac的值.考点七:实际应用(一.)测量问题图1ABCD例1. 如图1所示,为了测河的宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸标记物C,测得CAB=30°,CBA=75°,AB=120cm,求河的宽度。(二.)遇险问题西北南东ABC30°15°图2例2.某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向,此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?北乙甲3.(2007山东高考)如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?跟踪训练一、选择题1在ABC中,sin2Asin2Bsin2CsinB·sinC,则A的取值范围是( )A(0, B,) C(0, D,)2.如图,在ABC中,D是边AC上的点,且ABAD,2ABBD,BC2BD,则sin C的值为( )A. B. C. D.3.在ABC中,若A60°,b1,SABC,则的值为()A. B. C. D.4.在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C120°,ca,则()A.a>bB.a<bC.abD.a与b的大小关系不能确定5.若ABC的内角A、B、C满足6sinA4sinB3sinC,则cosB( )A. B. C. D.二、填空题6.在ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边长,已知a,b,c成等比数列,且a2c2acbc,则A_,ABC的形状为_.7.在锐角ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C,则的值是_.8在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若其面积S(b2c2a2),则A_9.在锐角ABC中,BC1,B2A,则的值等于_,AC的取值范围为 .10已知ABC的一个内角为120°,且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为 . 三、解答题11已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A是锐角,且b2a·sin B.(1)求A; (2)若a7,ABC的面积为10,求b2c2的值.12 在ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2c22b,且sin B4cos Asin C,求b.13.在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,4sin2cos 2A. (1)求A的度数;(2)若a,bc3,求b、c的值.14在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,其中b,tanAtanCtantanA·tanC·tan.(1)求角B的大小;(2)求ac的取值范围15.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量p(c2a,b),q(cosB,cosC),pq.(1)求角B的大小;(2)若b2,求ABC面积的最大值