指数函数题型汇总.doc

指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨1比较大小例1已知函数满足，且，则与的大小关系是_分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内解：，函数的对称轴是故，又，函数在上递减，在上递增若，则，；若，则，综上可得，即评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例2已知，则x的取值范围是_分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：，函数在上是增函数，解得x的取值范围是评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例3求函数的定义域和值域解：由题意可得，即，故 函数的定义域是令，则，又， ，即，即函数的值域是评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题例4函数在区间上有最大值14，则a的值是_分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围解：令，则，函数可化为，其对称轴为当时，即当时，解得或（舍去）；当时，即， 时，解得或（舍去），a的值是3或评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5解指数方程例5解方程解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），经检验原方程的解是评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例6为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）A向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断解：，把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等习题1、比较下列各组数的大小：（1）若 ，比较 与 ；（2）若 ，比较 与 ；（3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较a与b；（5）若 ，且 ，比较a与b解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数由 ，故 （2）由 ，故 又 ，故 从而 （3）由 ，因 ，故 又 ，故 从而 （4）应有 因若 ，则 又 ，故 ，这样 又因 ，故 从而 ，这与已知 矛盾（5）应有 因若 ，则 又 ，故 ，这样有 又因 ，且 ，故 从而 ，这与已知 矛盾小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解2曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 (  ).   ( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3 求下列函数的定义域与值域.(1)y2; (2)y4x+2x+1+1.解：(1)x-30，y2的定义域为xxR且x3.又0，21，y2的值域为yy>0且y1.(2)y4x+2x+1+1的定义域为R.2x>0,y4x+2x+1+1(2x)2+2·2x+1(2x+1)2>1.y4x+2x+1+1的值域为yy>1.4 已知-1x2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1x2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。5、设 ，求函数 的最大值和最小值分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为 6（9分）已知函数在区间1,1上的最大值是14，求a的值.解： ， 换元为，对称轴为.当，即x=1时取最大值，略解得 a=3 (a= 5舍去)7已知函数 （ 且 ）（1）求 的最小值；  （2）若 ，求 的取值范围解：（1） ， 当 即 时， 有最小值为 （2） ，解得 当 时， ；当 时， 8（10分）（1）已知是奇函数，求常数m的值； （2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3k无解？有一解？有两解？解： （1）常数m=1（2）当k<0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;当k=0或k1时, 直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当0<k<1时, 直线y=k与函数的图象有两个不同交点，所以方程有两解。9若函数 是奇函数，求 的值解： 为奇函数， ，即 ，则 ， 10. 已知9x-10.3x+90，求函数y=（）x-1-4·（）x+2的最大值和最小值解：由已知得（3x）2-10·3x+90 得（3x-9）（3x-1）013x9 故0x2 而y=()x-1-4·()x+2= 4·（）2x-4·（）x+2 令t=（）x（）则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1 当t=即x=1时，ymin=1 当t=1即x=0时，ymax=2 11已知 ，求函数 的值域解：由 得 ，即 ，解之得 ，于是 ，即 ，故所求函数的值域为 12. (9分)求函数的定义域，值域和单调区间定义域为R 值域（0，8。（3）在（-， 1上是增函数在1，+）上是减函数。13 求函数y的单调区间.分析 这是复合函数求单调区间的问题可设y,ux2-3x+2，其中y为减函数ux2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减增)ux2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增减)解：设y,ux2-3x+2,y关于u递减，当x(-，)时，u为减函数，y关于x为增函数；当x，+)时，u为增函数，y关于x为减函数.14 已知函数f(x) (a>0且a1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.解：(1)易得f(x)的定义域为xxR.设y,解得ax-ax>0当且仅当->0时，方程有解.解->0得-1<y<1.f(x)的值域为y-1y1.(2)f(-x)-f(x)且定义域为R，f(x)是奇函数.(3)f(x)1-.1°当a>1时，ax+1为增函数，且ax+1>0.为减函数，从而f(x)1-为增函数.2°当0<a<1时，类似地可得f(x)为减函数.15、已知函数f（x）=a（aR），（1） 求证：对任何aR，f（x）为增函数（2） 若f（x）为奇函数时，求a的值。（1）证明：设x1x2f（x2）f（x1）=0故对任何aR，f（x）为增函数（2），又f（x）为奇函数 得到。即16、定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时，（1）求在1，1上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性；（3）当为何值时，方程=在上有实数解.解（1）xR上的奇函数 又2为最小正周期 设x（1，0），则x（0，1），（2）设0<x1<x2<1 = 在（0，1）上为减函数。（3）在（0，1）上为减函数。 即 同理在（1，0）时，又当或时在1，1内有实数解。 函数yax(a>1)的图像是( )分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.解法1：(分类讨论)：去绝对值，可得y又a>1，由指数函数图像易知，应选B.解法2：因为yax是偶函数，又a>1，所以当x0时，yax是增函数；x0时，ya-x是减函数.应选B.