微积分在物理-中的简单应用.doc

0求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数恰好满足，为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度而滑动，如图一，求：物体在轨道上任意一点的速度V与的关系，设为速度与水平线的夹角。解：物体在某一位置所受的力有：重力，弹力以及摩擦力。摩擦力总是与运动速度V的方向相反，其数值重力在斜面上的分力为，如图二，将分解为两个分力：是沿轨迹切线方向的分力， ；是沿轨迹法向的分力，如图三。根据牛顿运动定律，得运动方程为 （1） （2）由（1），而得到 （3）式中是t的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在与t中消去一个变量，才能积分，注意到 （4）而表示曲线在该点的曲率半径，根据（2）式， （5）由式（3）（4）（5），可得到，积分，得到，运用积分法求解链条的速度及其时间一条匀质的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为，另一边长度为而且，如图一。试求：链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。解：设金属链条的线密度为当一边长度为，另一边长度为时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程则因为，所以令可以求得链条滑离钉子时的速度大小 全转化成与x有关的式子，因为x有对应的式子。再由得到积分，得到令x=,可以求得链条滑离钉子所需的时间为求解棒下落过程中的最大速度在密度为的液体上方有一悬挂的长为L,密度为的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若，求：棒下落过程中的最大速度。解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力和浮力的作用，如图一所示。根据牛顿运动定律，有 （1）随着棒往下沉，浮力逐渐增大。当直棒所受合力为零，即时，棒的加速度为零，速度最大。设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为，设棒的截面积为S，则有解得， （2）取x坐标如图所示，则（1）式可以写为做变量代换，令代入上式，得到两边积分，得到得到，将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为运用微分法求解阻尼平抛质量为m的物体，以初速为，方向与地面成角抛出。如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即，k为大于零的常数。求：物体的运动轨道。解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程其分量式， （1） （2）将代入式（1），得改写成两边积分，得到可见由于空气阻力的存在，x方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。由于再积分，并以t=0时x=0,代入得到 （3）同理，由于式（2）转化为 错了 不带负号积分，并以t=0时，代入，得到可见，y方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，得到 在那修正 （4）由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨道向左下方偏离，如图一。例如：以初速620m/s,仰角发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km.求解飞机的滑行距离飞机以的水平速度触地滑行着陆。滑行期间受到空气的阻力为，升力为，其中V是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为，试求：飞机从触地到停止所滑行的距离。解：取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x轴。飞机在水平方向上受力为：摩擦力，空气阻力为；在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力如图一所示，应用牛顿第二定律，得到由上两式消去N，得到利用得到分离变量，积分，得到在飞机触地的瞬间，支持力N=0,由运动方程，得到于是这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。社（升阻比），。代入数值计算后，得到x=221m.求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题两小球的质量均为m，小球1从离地面高度为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速同时竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k(常量)。试求：两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为 为什么可以把两个小球的运动合并？ 这里的V是指矢量，这个式子不矛盾，且可以把1,2 两个小球用一个式子统一起来！它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故分离变量对于小球1，初始条件为时，故 (1) 对于小球2，初始条件是t=0时，故得到 （2）由（1）式，得到积分，得到由式（2）得到积分，得到两小球相遇时，相遇时间为，由（3（4）两式，得到，故把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点代入（1）（2），得到两小球相遇时的速度讨论：（1）当阻力很小时，即当时，利用展开式上述结果简化为这正是不考虑空气阻力时的结果。（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下或者两小球才有可能相遇。在非惯性系中求解球环系统的运动情况一轻绳的两端分别连接小球A和小环B，球与环的质量相等，小环B可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面内摆动。求：小球摆离铅垂线的最大角度时小环和小球的加速度。解：当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。以小环B为参考系，则小球受重力和绳子拉力外，还受惯性力的作用，如图二。其加速度沿圆弧的切线方向。在最大摆角为时的运动方程为小环B在水平方向的运动方程为.解方程，得到。小球A相对地的加速度，取如图二所示的坐标系，则有旋转液体的液面以等角速度旋转的液体，液面的形状如何求得？解答： 假设它的剖面是一条曲线，Y 轴是转轴，旋转面以 Y 轴为对称轴，此时在液面会得到一正压力 R，R可以同时提供向心力 ，和重力 因此 其中 、 都是常数，因此该剖面的曲线是拋物线，液面形状是该拋物线绕 Y轴的旋转面。直接求sin(x)的导函数从几何上如何找到sin(x)的微分呢？解答：直接求 把变动，sin从 变到 ，我们要了解 与之比，是一小段弦长，是斜线区域这个近似直角三角形的斜边，此 与之比之比可以想成是 cos四只苍蝇飞行问题有四只苍蝇A,B,C,D分别位于平面上的1,1，-1,1，-1,-1，1, -1，之后它们一起以每秒1单位的速度行动，行动的方式为：A苍蝇一直向着B苍蝇靠近， B苍蝇一直向着C苍蝇靠近， C苍蝇一直向着D苍蝇靠近， D苍蝇一直向着A苍蝇靠近，试问：1四只苍蝇会在何处相遇？2它们多久会相遇？3找出A苍蝇的行动轨迹，并大致画出。4计算A苍蝇从开始到相遇的路径长。5苍蝇A会有什么样的生理反应？解答：1、2：从物理相对运动的点来看A的行进方向始终和B的行进方向保持垂直，你可以想象苍蝇移动了瞬间之后，方向就立即修正参照图一、二、三，由于四只苍蝇是做等速运动，所以每一时刻以四只苍蝇围出来的四边形会是正方形，行进方向垂直加上等速于是当时间愈久的时候，苍蝇愈来愈靠近，正方形愈来愈小，最后会内缩成一点，这一点会是原点，这就是他们相遇的地方。此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以从B苍蝇看来，A还是以 1 单位 / 秒 的等速向B靠近，原来A、B的距离是 2 单位，因此需要 秒的时间四只苍蝇会相遇，的推论都一样，四只会一起相遇图一 图二图三3：我们将苍蝇A的坐标位置用极坐标的方式表达，而B的位置就是 要注意的是： 和 都是 的函数 而A的速度是此向量要与 平行，于是如果，初始值 ，。 ( ) 其轨迹如下图所示 事实上我们必须注意到，在 的情形下会有 的推论，我们不妨用积分式算出 时刻走了多少路： 等式右边是速度乘上时间，在 的时候，" "。所以其实苍蝇A的轨迹应为上述讨论要表达的是说，加上 这一点是需要的，并且加上那一点后，轨迹还是连续的可以想一下如何定义在端点的连续性4：由35：由3得知在 到 2 的时候，换言之，在之前已转了无限多圈，于是苍蝇会“头昏”。雪球融化假设雪球融化的速率与表面积成正比，若有一个半径为10公分的雪球，在气温气压皆固定的情况之下，在5分钟后融化为一个半径5公分的雪球，请问雪球完全融化需要多少时间？解答：假设此雪球在时间分钟时的半径为公分，由题意可知 ， ，又雪球融化的速率与表面积成正比，雪球融化的速率即雪球体积的变化率，雪球的体积为 ， 表面积为，所以有为一比例常数，由于体积随时间经过而减少，可知为常数，由，可解出，由此可看出雪球的半径随时间经过等速率减少，雪球完全融化时，所以雪球在10分钟后完全融化。雨中行车若你驾驶一辆风玻璃与地面垂直的吉普车欲从甲地到乙地，此时天正下着雨，假设所有雨滴皆以速度 u 垂直落下，且均匀的分布在空气中，请问你是该开的快一点或是慢一点，才能使落在挡风玻璃的雨水总量最少？解答：图一假设每立方公尺中有克的雨水，若车子以速度 v 前进，以车子为标准坐标来看，则雨水以水平速度 v，垂直速度 u 朝车子而来,假设速度与水平夹角，则对单位面积的挡风玻璃来说，在 到 间，落在其上的雨水正好是 时，单位面积上高为 ，倾斜角度的圆柱内的水如图二图二总共有克，所以单位时间内单位面积所接收的雨水为 ，若甲到乙地距离 ，挡风玻璃总面积 ，则从甲以等速 v 开车到乙挡风玻璃所接收的雨水共有为一常数，与 无关。 若并非以等速行车，结果又会是如何呢？假设 v 为 t 的函数，写成 ，单位时间内单位面积接收的雨水为 ，假设在 时间后从甲到达乙，则 。则从甲到乙所接收的总雨量为 依然是一个常数，与 v 无关，也就是说不管怎么开，落在挡风玻璃上总雨量都是固定的。 工人拉船码头上，有一个圆筒状铁柱，从船上抛出一根绳子，一端固定在船尾，另一端绕铁柱三圈后由一工人拉着，假设工人施力10公斤，绳子与铁柱的磨擦系数是1/3，请问船尾受力多大？解答：在绳子与铁柱有 的接触时，增加的拉力 会提供 接近 的正压力给铁柱，所以有 ，积分得 ，其中 就是10公斤，而 ，所以 。录音带如果你曾注意过收音机带动录音带的情形，相信你会发现在收听或者快转的时候，在左方的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而原本在右方的磁带地方就会被一直带动，最后会绕到左方的轮子上。现在我们考虑二个问题：两个轮子磁带半径的变化率之比为多少？ 如果我知道录音带从一开始左方的轮子没有磁带，所有磁带都在右方的轮子上转到一半 (左方的磁带量右方的磁带量时，需要一分钟，并且轮 1 的转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟呢？解答： 如果你曾注意过收音机带动录音带的情形时，就会发现到，在收听或者快转的时候，在 1 处的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而磁带原本在 2 的地方就会被一直带动，最后会绕到轮子 1 上。现在我们想要考虑两个问题：1. 记为1号轮子在 时刻所绕出的磁带的半径，为2号轮子在 时刻磁带形成圆形的半径，它们会随 而变化，那么两半径的变化率之比即 为何？ 2. 如果我知道录音带从一开始轮 1 没有磁带，所有磁带都在轮 2上转到一半轮 1的磁带量轮2的磁带量时，需要一分钟，并且轮 1 的转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟？ 第一个问题其实并不难，如果注意到磁带的总量始终保持一定，另一个角度想就是两磁带所绕出的两个圆形面积总和是固定的，于是会有 常数，对 微分后得到 第二个问题我们可以试着用积分的方法解决，首先注意到由于转速是一定记为，所以半径 是和 成正比，于是不妨令 比方说轮子每秒转10圈，那么一秒后半径就多了10个磁带的厚度，两秒后半径就多了20个磁带的厚度另外，我们同样是以圆面积代表磁带量，所以 一分钟时转了总长的一半，是一比例常数欲解 时的值。 所以带子全部转完需要分钟。 撞球问题你知道撞球的时候球杆应该打在哪里最好吗？解答：观察1：如果球杆打在撞球的中央如图A处则球有速度，但是无旋转的角速度，如此一来球和布会有摩擦， 布会坏掉，可见这不是最佳的点。球杆应打在让球产生全滚动而不滑动，这是最佳的点。观察2：若球一开始有滑动，不久球会开始滚动，滚速会增加，移动速度会减少，而质心速度会增加，到最后会有 ，即滚动而不滑动，而摩擦力会消失。一些记号： ：球的质心速度：球转动的角速度：球的半径：球的转动惯量：球的质量由物理学的角度来看，一刚性物体的角动量变化率等于力矩之和，写成数学式即为 ，另外，角动量等于物体的转动惯量乘上角速度，也就是说 ，于是，用到撞球的例子上即为：注：1.因为撞球的滚动是以贯穿球心的轴而转动，所以其转动惯量为(质心) 2.力矩 ，其中 是转动轴到施力点的方向向量，如果只关心力矩的大小，则 3.要达到全滚动而不滑动，则 ，动量的变化率最后必须全部转变为，瞬间达成。所以 最后，计算出的值：1.先计算空心球壳的转动惯量： (球壳上的点到轴的距离) (均匀球壳, 质量与面积成正比)，。2.计算实心球壳的转动惯量：对球壳 r ，从O到R积分：，而所以 结论：球杆应打在距球心高 处为最佳。 补充：为何滚动而不滑动的时候会有 ？ 滚动而不滑动 质心的位移等于弧长 ，牛吃草问题有一头牛，被栓在一个半径为 r 的木桩上如下图所示绳子的一端被固定在A点，而牛能够走到木桩的对面B。木桩的外部都是草地，请问牛有办法吃到多少草呢？解答：图一经由观察我们发现牛能吃到草的范围如右图的斜线部份见图二。由题意知绳长为，而在点左边的区域会是一个半圆。至于剩下的区域怎么求得呢？当绳子被木桩" 拌住 "的时候见图三。牛所达到的最远处为，其中弧长加直线长为绳子的长度，而曲线即所有这种点所形成的轨迹。 图二 图三我们可以利用解析几何将轨迹描述出来：取木桩的中心为原点，令与的夹角为如图四，于是点坐标为，而？是圆在点上的切线段，所以，待定，而 长度要等于弧长 ，于是 ，解得 ，所以点坐标即确定： 图四 图五我们可先计算图五的斜线面积，它会是以下所表示的积分值：其中为周期函数，故 Area至此可得吃草的范围上下两块Area加上左半圆扣掉木桩面积 平方单位 补充：图五中弧称为圆的渐伸线involutes