高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分.ppt

第十一章 广义积分与含参变量的积分,定积分条件,积分区间有限,被积函数有界,推广定积分,积分区间无限,被积函数无界,1 广义积分,1.无穷积分(1)定义a：设函数f(x)在a,+)上有定义，且对任意Aa,f(x)在a,A上可积。若 存在，则称无穷积分 收敛，并定义否则称无穷积分发散。,例1.,解:,=1,例2.,解:考虑,例3.使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b所需能量由,给出,其中q1,q2是电荷的数量,k为常数.若q1,q2的单位为库仑(C),a,b是米(m),E的单位为焦耳(J).k=9109.,一个氢原子由一个质子和一个电子组成,它们带有数值为1.61019 C的相反电荷.求使氢原子激发(即使电子从其轨道移动到离质子无穷远处)的能量.假设电子和质子之间的初始距离为玻尔半径RB=5.31011m.,解:因为由初始距离RB移动到最终距离的能量由广义积分表示为,代入使用的单位(E的单位为J),有,这是移动一个微尘粒离开地面0.00000001cm所需能量的量值,(换句话说不很大!)比较一下,移动彼此相距无穷远的两个相同符号的1C的电荷到相距1m以内所需要的能量大约等于使100万头大象离开地面15cm所需要的能量.,广义积分被用作分离氢原子所需能量的模型是因为通过无穷大的距离与通过很大的有限距离分离电子和质子所需能量之间的差是可以忽略不计的.而广义积分可以在不知道最终距离的情况下计算出来.,1 广义积分,1.无穷积分(1)定义b:设函数f(x)在(-,b上有定义，且对任意Ab,f(x)在A,b上可积。若 存在，则称无穷积分 收敛，并定义否则称无穷积分发散。,1 广义积分,1.无穷积分(1)定义c:设函数f(x)在(-,+)上有定义，且在任意区间a,b上可积。若 与 同时存在，则称无穷积分 收敛，并定义否则称无穷积分发散。,例4.确定指数 p 的值,使积分,收敛或发散.,解：对 p 1,若p+11则积分收敛,若p1则积分发散.,若p=1时又怎么样呢？在这种情况下我们有,发散,我们得出结论:当p 1时,发散,当p1时积分有值,1.无穷积分,(2)无穷积分的性质若两个无穷积分 与 都收敛，则无穷积分 也收敛，且其中k1,k2为常数。,1.无穷积分,(3)无穷积分收敛的充要条件柯西收敛原理:无穷积分 收敛的充要条件是:任给0,存在正数A0a,只要AA0,AA0,便有,例.判断,解:由于,1.无穷积分,(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义若 收敛，则称 绝对收敛；若 收敛，但 发散，则称 条件收敛。命题:若 收敛,则 也收敛。,若积分,则称f(x)在 a,+)上的积分,绝对收敛；若积分,则称f(x)在a,+)上的积分条件收敛.,1.无穷积分,(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义命题:若 收敛,则 也收敛。,(5)无穷积分收敛的判别法,无穷积分收敛的充要条件引理：若f(x)是a,+)上的非负可积函数，则 收敛的充要条件是：对一切Aa，积分 有界。,(5)无穷积分收敛的判别法,定理1（比较判别法）:设f(x)与g(x)在a,+)上有定义，且当xXa时有0f(x)g(x).又设f(x)与g(x)在任一区间a,b上可积，则(1)由 收敛可推出 也收敛；(2)由 发散可推出 也发散。,例5.判断,解：由于,而由例4知,收敛,故由定理1知原积分收敛.,有时运用下面比较判别法的极限形式更为方便.,例.,因为,(5)无穷积分收敛的判别法,推论（比较判别法的极限形式）:设当 xa 时，f(x)0，g(x)0，它们在任意区间a,b上都可积，且则有以下结论：(1)当0k+时,若 收敛则 收敛；(2)当0k+时,若 发散则 发散。当0k+时,两无穷级数同时收敛或同时发散。,例6.判断,解:由于,故由定理2知原积分收敛.,例7.判别,解:由于,又,而,收敛,因此原积分绝对收敛.,例.判断,解:由于,例.判断,解:由于,例.判断,解:,(5)无穷积分收敛的判别法,定理2(狄利克莱判别法):设f(x)与g(x)在a,+)上有定义，并考虑无穷积分设对一切Aa，积分 有界，即存在常数M0使又设函数g(x)在a,+)上单调且趋于零(当x+时)，则上述无穷积分收敛。,(5)无穷积分收敛的判别法,定理3(阿贝尔判别法):设f(x)与g(x)在a,+)上有定义，并考虑无穷积分若无穷积分 收敛，且函数g(x)在 a,+)上单调有界，则无穷积分 收敛。,证明:由于,又,由狄利克莱判别法可知,证明:,例.判断,解:由于,有另一种形式的广义积分,积分区间可能是有限的但函数可能在区间的某些点无界.比如,考察,在x=0有一垂直的渐近线,在曲线、x轴和直线x=0与 x=1之间的区域是无界的.,与前面的广义积分在水平方向趋于无穷大不同,这一区域在垂直方向趋向于无穷大.,2.瑕积分,我们可以像前面一样以相同的方式讨论这个广义积分:对比0稍大的a值计算,并看一看a从,正的方向趋于0(记为a0+)时出现什么情况.,首先我们计算积分,现在求极限:,由于极限是有限的,我们说广义积分收敛,并且,从几何意义上来说,我们已经计算出x=a和x=1之间的有限面积并得到a从右边趋于0时的极限.因为极限存在,我们说积分收敛于2,如果积分不存在,我们就说广义积分发散.,若 0,函数f(x)在(x0,)内无界,则称点x0为f(x)的一个瑕点.,例如:x=a是,2.瑕积分,(1)定义a：设函数f(x)在(a,b上有定义，且f(x)在任意区间a+,b上可积,但xa+0时f(x)无界，我们称a为瑕点。若极限 存在，则称瑕积分收敛，并定义否则称瑕积分发散。,2.瑕积分,(1)定义b：设函数f(x)在a,b)上有定义，且f(x)在任意区间a,b-上可积,但xb-0时f(x)无界，我们称b为瑕点。若极限 存在，则称瑕积分 收敛，并定义否则称瑕积分发散。,解：当 p0 时,所求积分为通常的定积分,且易求得积分值为,a为其积分的瑕点,且,例1.,当p=1时,a为瑕点,且,当p 1时,2.瑕积分,(1)定义c：设函数f(x)在(a,b)上有定义，且f(x)在任意区间a+,b-上可积,a与b均为f(x)的瑕点。若极限 与 都存在，则称瑕积分 收敛，并定义若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称瑕积分 发散。,例2.,解:有麻烦的点是x=0,而不是x=1或x=2.为处理这一情况,我们将给定广义积分分为两个新的以x=0为其一个端点的广义积分:,假如积分收敛,我们现在能够运用前述的技巧来计算新的积分.在这个例子中,两个积分都发散,因为,因此,原积分发散.,很容易忽略因为被积函数在区间内部趋于无穷大而使积分为广义积分的情况.比如,说,就是一个严重的错误.,2.瑕积分,(2)瑕积分收敛的充要条件柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分 收敛的充要条件是:任给0,存在0,只要0 1,0 2,便有,2.瑕积分,(3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛若瑕积分 收敛，则称瑕积分 绝对收敛；若瑕积分 收敛，但瑕积分 发散，则称瑕积分 条件收敛。命题:若瑕积分 收敛,则 也收敛。,2.瑕积分收敛的判别法,定理4（比较判别法）:设f(x)与g(x)在(a,b上有定义，且a是它们的瑕点。设当x(a,c)属于(a,b)时有0f(x)g(x)，则(1)由 收敛可推出 也收敛；(2)由 发散可推出 也发散。,2.瑕积分收敛的判别法,推论（比较判别法的极限形式）:若f(x)与g(x)在(a,b有定义，且f(x)0，g(x)0，并有则(1)当0k+时,若瑕积分 收敛则 收敛；(2)当0k+时,若瑕积分 发散则 发散。当0k+时,两瑕积分同时收敛或同时发散。,例3.判别积分,的敛散性,若其收敛并求其值.,解:易知x=0为函数ln sinx在0,/2上的唯一瑕点,故积分a)及b)均收敛.,又因为,另外,作代换,从而,做变换 t=2x,2.瑕积分收敛的判别法,定理(狄利克莱判别法):设积分有唯一的瑕点a,是的有界函数，g(x)单调且当xa时趋于零，则积分收敛。,2.瑕积分收敛的判别法,定理(阿贝尔判别法):设积分 有唯一的瑕点a,收敛，g(x)单调有界，则积分收敛。,解:,例.,解:,例.,解:,例.,发散,解:,例.,的敛散性.,解:考虑到,例4.,且当 s 10时,x=0为其瑕点,故该积分为混合型广义积分,进一步有,2)当0 s 1时,由于,3)当s 0时,有,2 含参变量的正常积分,含参变量的积分设u=f(x,y)是a,b c,d上的一个连续函数，对任意的y c,d,y到积分值的对应形成了c,d上的一个函数。,2 含参变量的正常积分,1.连续性定理1：设二元函数f(x,y)在闭矩形域a,b c,d上连续，则参变量积分 在区间c,d上连续。即对任意的y0c,d,有,解:,例.,解:,例.,下面的例子说明，被积函数的二元连续性是积分运算和极限运算可交换的充分条件。,原因在于,2 含参变量的正常积分,2.可积性定理2：设二元函数f(x,y)在闭矩形域a,b c,d上连续，则函数 在区间c,d上可积。且即,解:,例.,2 含参变量的正常积分,3.可微性定理3：设二元函数 f(x,y)与 fy(x,y)都在闭矩形域a,b c,d上连续，则函数 在区间c,d上可微。且即,解:,例.,解:,例.,解:,例.,2 含参变量的正常积分,4.积分上下限是参变量的函数的情况考虑参变量积分若f(x,y)在 a,b c,d上连续,u(y),v(y)在c,d上连续,且值域包含于a,b之内,则g(y)在c,d上连续并可积。若f(x,y)及fy(x,y)在 a,b c,d上均连续,u(y),v(y)在c,d上可导，且值域包含于a,b之内,则g(y)在c,d上可导,并有,解:,例4.,3 含参变量的广义积分,1.含参变量的无穷积分(1)无穷积分点点收敛设二元函数f(x,y)在ax+,cy d上有定义。若对任意取定的一个y,无穷积分都收敛，则称无穷积分在c,d上点点收敛。,(2)含参变量的无穷积分:,3 含参变量的广义积分,(2)含参变量的无穷积分在y=y0收敛，即指 存在，记为-N语言：对任意0,存在N(依赖和 y0),当AN时，,3 含参变量的广义积分,(3)含参变量无穷积分一致收敛定义：设无穷积分 对于区间Y中的一切y都收敛(Y 可以是开区间，闭区间，半开半闭区间或无穷区间)。若对任给0，存在一个与y无关的实数Na，使当AN时，对一切yY，都有则称含参变量的无穷积分 在Y上一致收敛。,3 含参变量的广义积分,(4)无穷积分一致收敛的几何意义(5)无穷积分不一致收敛的充分条件命题：设含参变量的无穷积分 在Y上点点收敛。若存在常数l0,不论N多么大,总存在AN及yAY，使则无穷积分在Y上不一致收敛。,解:,例.,解:,例.,解:,例.,3 含参变量的广义积分,(5)无穷积分一致收敛的充要条件柯西收敛准则:无穷积分 在区间Y上一致收敛的充要条件是:对任给0,存在与y无关的实数N，使当AN,AN时，对一切yY,都有,(6)无穷积分一致收敛的M判别法,定理1（比较判别法）:设当 yY时，对任意Aa,函数f(x,y)关于x在区间a,A上可积。又当xa时，对一切yY，有且无穷积分 收敛，则含参变量积分在Y上一致收敛。,证明:,例.,(7)无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法,定理2(狄利克莱判别法)若函数f(x,y)与g(x,y)满足：(1)当x充分大后g(x,y)是x的单调函数(yY),且当x+时，对 yY，g(x,y)一致趋于0;(2)对任意Aa，积分 存在且对yY 一致有界，即存在常数M，使对任意Aa及一切 yY，都有则含参变量无穷积分 在Y上一致收敛。,(8)无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法,定理3(阿贝尔判别法):若函数f(x,y)与g(x,y)满足：(1)当x充分大后g(x,y)是x的单调函数(yY),且对yY 一致有界，即存在常数M，使当x a,+)，yY时，有(2)在Y上一致收敛。则含参变量无穷积分 在Y上一致收敛。,证明:,例.,(9)含参变量无穷积分的连续性和可积性,定理4：设函数f(x,y)在区域a,+)c,d上连续，且积分 在c,d上一致收敛，则(1)g(y)在c,d上连续；(2)g(y)在c,d上可积，且,例.,例.,(10)含参变量无穷积分的可微性,定理5：设函数f(x,y)及 在区域a,+)c,d上连续，且积分 在c,d上点点收敛。又设积分 在c,d上一致收敛，则含参变量积分g(y)在c,d上可导，且,例.,(11)两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件,定理6：设函数f(x,y)在区域a,+)c,+)上连续。又设两个参变量积分 分别关于y及x在任意有穷区间c,d及a,b上一致收敛，并且两积分 中至少有一个存在，则两积分 都存在且相等，即 亦即可交换积分次序。,定理6：设函数f(x,y)在区域a,+)c,+)上二元连续。又 分别关于y及x在任意有穷区间c+,d及a+,b上一致收敛，且中至少有一个存在，则,(11)两个累次无穷瑕积分可交换积分次序的充分条件,例.,例.,2.含参变量的瑕积分,(1)定义：设函数f(x,y)在(a,b Y(区间)上有定义，且在a+,b Y上连续,这里是任意充分小的数。此外对任意固定的yY，f(x,y)作为x的函数在x=a点附近无界，即a为瑕点。则称 是一个以a为瑕点的含参变量的瑕积分。,2.含参变量的瑕积分,(2)一致收敛的定义定义：设含参变量的瑕积分在Y上点点收敛。若对任给0，存在与y无关的正数0，使得当00时，对一切yY，都有 则称该含参变量的瑕积分在Y上一致收敛。,2.含参变量的瑕积分,(3)一致收敛的充要条件柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分 一致收敛的充要条件是:任给0,存在与y无关的0,只要0 1,0 2,对一切yY，都有,(4)含参变量的瑕积分一致收敛的M判别法,定理7:设函数f(x,y)在(a,b Y(区间)上连续，且对于任意的yY，f(x,y)以a为瑕点。又设f(x,y)在(a,b Y上满足下列条件：其中g(x)是定义在(a,b上的连续函数,且使得瑕积分收敛，则瑕积分 在Y上一致收敛。,2.含参变量的瑕积分,(5)含参变量的瑕积分收敛的狄利克莱判别法(6)含参变量的瑕积分收敛的阿贝尔判别法(7)含参变量的瑕积分的连续性和可积性定理8:设函数f(x,y)在(a,b c,d连续，且含参变量的瑕积分 在 c,d上一致连续，则(1)g(y)在区间c,d上连续；(2)g(y)在c,d上可积，且,2.含参变量的瑕积分,(8)含参变量的瑕积分的可导性定理9：设函数 f(x,y)与 fy(x,y)都在区域(a,b c,d上连续，瑕积分 在区间c,d上点点收敛，而瑕积分 在c,d上一致收敛，则含参变量的瑕积分g(y)在c,d上可导，且,3.函数与函数,(1)函数是一个无穷瑕积分(当0时，积分收敛。,3.函数与函数,(2)函数的性质,3.函数与函数,(3)()在(0,+)连续；,3.函数与函数,(4)函数当p1,q1是正常积分；当p0且q0时，积分收敛。,当p0且q0时，积分收敛。,当p1,q1是正常积分；当0p1,x=0是瑕点；当0q1,x=1是瑕点.,当0p1时,当p0且q0时，积分收敛。,当p1,q1是正常积分；当0p1,x=0是瑕点；当0q1,x=1是瑕点.,当0q1时,3.函数与函数,(5)函数的性质,3.函数与函数,(5)函数的性质,(5)函数的性质,3.函数与函数,(5)函数的性质,3.函数与函数,(5)函数的性质,3.函数与函数,(5)函数的性质,3.函数与函数,(5)函数的性质,3.函数与函数,(5)函数的性质,3.函数与函数,3.函数与函数,(5)函数的性质,3.函数与函数,(5)函数的性质,3.函数与函数,(6)函数在(0,+)(0,+)上连续。,例.,例.,例.,