理论力学第八章点的合成运动解析课件.ppt
第八章,点的合成运动,8,1,相对运动,牵连运动,绝对运动,8,2,点的速度合成定理,8,3,牵连运动是平动时点的加速度合成定理,8,4,牵连运动是转动时点的加速度合成定理,习题课,8-1,相对运动,牵连运动,绝对运动,运动的相对性:,物体对于不同的参考体具有不同的运动。,将复杂的运动分解成两个简单运动的组合,,称为点的合成运动(复合运动),一、实例,:,M,点运动,y,y,?,地面,:,摆线,,车箱,:,圆。,o,M,x,?,o,?,?,x,二、复合运动的一般模型,定系,(,静,):,一般为地球,亦可为动系。如:地面,点,动,系,:,固连于运动物体。如:车箱,固,体,动,点,:,研究对象。如:轮缘,M,点,牵连点,:,某瞬时,动系上与动点重合的点。如,?,a,.,某瞬时的固定点,牵连点,?,不同瞬时,点不同,?,b,.,1.,参考物与参考系有何区别,?,后者包含整个空间。,2.,某瞬时,动点与牵连点有无相对运动,?,必有。,3.,某瞬时,牵连点与动系有无相对运动,?,无。,三三种运动:,绝对运动,:动点对静系的运动。,点的运动,相对运动,:动点对动系的运动。例如:人,在行驶的汽车里走动。,牵连运动,:动系相对于静系的运动。例如:行驶,的汽车相对于地面的运动。,刚体的运动,四、三种速度和三种加速度。,1,、动点在绝对运动中的速度和加速度称为,-,绝对速度,和,绝对加速度,。,2,、动点在相对运动中的速度和加速度称为,-,相对速度,和,相对加速度,。,3,、动坐标系中与动点相重合的点,(,不是动点,),的速度和加,速度称为,-,牵连速度,和,牵连加速度,绝对,相对,牵连,v,a,v,r,a,a,a,r,v,e,a,e,五动点的选择原则,:,一般选择主动件与从动件的连接点,它是对两个坐标系都,有运动的点。,六动系的选择原则,:,动点对动系有相对运动,且相对运动的轨迹是已知的,或,者能直接看出的。,下面举例说明以上各概念:,动点:,AB,杆上,A,点,动系:,固结于凸轮,上,静系:,固结在地面上,静系,动系,动点,1.,若动点,A,在,AB,杆,上时,2.,若动点,A,在偏心轮上时,动点:,A,(,在,AB,杆上,),A,(在偏心轮上),动系:偏心轮,AB,杆,静系:地面,地面,绝对运动:直线,圆周(红色虚线),相对运动:圆周(曲线),曲线(未知),牵连运动:定轴转动,平动,-,点的速度合成定理,当,t,t,+,t,,,AB,AB,M,M,也可看成,M,M,M,MM,为绝对轨迹,MM,为绝对位移,M,1,M,为相对轨迹,M,1,M,为相对位移,MM,MM,1,M,1,M,将上式两边同除以,?,t,后,,取,?,t,?,0,时的极限,得,lim,M,M,?,?,lim,MM,1,?,lim,M,1,M,?,?,t,?,0,?,t,?,t,?,0,?,t,?,t,?,0,?,t,?,v,a,?,v,e,?,v,r,速度合成定理,-,任一瞬时动点的绝对速度等于其,牵连速度与相对速度的矢量和。,说明:,(1),v,a,动点的绝对速度;,(2),v,r,动点的相对速度;,(3),v,e,动点的牵连速度,是动系上一点,(,牵连点,),的速度,I),动系作平动时,动系上各点速度都相等。,II),动系作转动时,,v,e,是该瞬时动系上与,动点相重合点的速度。,(4),点的速度合成定理是瞬时矢量式,,共包括大小,?,方向,六个元素。,1.,分析如下,4,图动点的速度和加速度。,o,R,v,1,A,v,2,B,A,为动系,,B,为动点,解:,o,v,1,v,e,?,?,OB,R,R,v,1,v,a,=,v,2,B,A,a,n,e,a,B,B,图,1,动系为滑槽,,动点为滑块,A,,,A,三种轨迹,?,解:,v,a,v,r,A,v,e,?,a,a,A,?,?,a,r,a,e,n,a,r,图,2,动系为斜面,,O,动点为轮心,O,。,v,a,解:,v,e,O,图,3,v,a,v,a,a,v,r,a,a,e,O,a,r,a,练习一、二、三,:,A,?,O,C,O,1,动系,:,OA,动点,:,轮心,C,。,?,v,a,A,A,B,?,o,?,动系,:,OA,杆;,B,动系,:,套筒,B,动点,:,铰,A,。,图,4,动点,:,滑块,B,练习一,解,:,A,动系,:,OA,?,O,C,O,1,动点,:,轮心,C,。,?,A,A,v,a,v,e,O,?,?,O,a,v,r,C,O,1,n,a,a,e,C,O,1,?,?,?,练习二,解,:,v,a,A,B,动系,:,套筒,B,动点,:,铰,A,。,v,r,A,B,v,e,v,a,v,a,a,a,A,B,a,r,a,n,e,v,a,a,e,?,练习三,解,:,A,?,o,A,动系,:,OA,杆;,?,B,动点,:,滑块,B,A,?,o,v,e,?,OB,?,?,?,o,?,v,a,B,?,n,e,a,n,r,a,r,B,?,v,r,a,?,OB,?,?,?,a,e,?,OB,?,?,2,a,a,例,8-1,桥式吊车。,已知:小,车水平运行,速度为,v,平,,,物块,A,相对小车垂直上升,的速度为,v,?,。求物块,A,的运,行速度。,解,:选取,动点,:,物块,A,动系,:,小车,静系,:,地面,相对运动,:,直线,;,相对速度,v,r,=,v,?,方向,?,牵连运动,:,平动,;,牵连速度,v,e,=,v,平,方向,?,绝对运动,:,曲线,;,绝对速度,v,a,的大小,方向待求,v,a,?,v,e,?,v,r,由速度合成定理:,作出速度平四边形,如图示,则物块的速度大小和方向为,v,A,?,v,a,?,v,e,?,v,r,?,v,平,?,v,?,2,2,2,2,?,?,tg,?,1,v,?,v,平,例,8-2,曲柄摆杆机构,已知,:,OA=r,?,OO,1,=l,图示瞬时,OA,?,O,求,:摆杆,O,1,B,角速度,?,1,解,:,取套筒,A,点为动点,摆杆,O,1,B,为动系,.,基座为静系。,绝对速度,v,a,=,r,?,方向,?,OA,相对速度,v,r,=?,方向,/,O,1,B,牵连速度,v,e,=?,方向,?,O,1,B,v,a,?,v,r,?,v,由速度合成定理,e,作出,速度平行四边形,如图示。,v,e,?,v,a,sin,?,?,r,?,?,又,?,v,e,?,O,1,A,?,?,1,r,r,?,l,2,2,2,2,v,e,1,r,?,r,?,?,?,1,?,?,?,?,O,1,A,r,2,?,l,2,r,2,?,l,2,r,2,?,l,2,(,),例,8-3,圆盘凸轮机构,已知:,OC,e,R,?,3,e,?,(匀角速度),图示瞬时,OC,?,CA,且,O,A,B,三点共线。,求:,从动杆,AB,的速度。,解,:,动点,取直杆上,A,点,,动系,固结于圆盘,,静系,固结于基座。,绝对速度,v,a,=?,待求,,方向,/,AB,相对速度,v,r,=?,未知,,方向,?,CA,牵连速度,v,e,=,OA,?,=,2e,?,方向,?,OA,由速度合成定理,v,a,?,v,r,?,v,e,作出速度平行四边形,如图示。,2,3,v,a,?,v,e,?,tg,30,?,e,?,3,0,?,v,A,B,2,3,?,e,?,(,?,),3,由上述例题可看出,求解合成运动的速度问题的,一般步骤,为:,(1),选取动点,动系和静系。,(2),三种运动的分析。,(3),三种速度的分析。,(4),根据速度合成定理,v,a,?,v,r,?,v,e,作出速度平行四边形。,(5),根据速度平行四边形,求出未知量。,恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。,动点、动系和静系的选择原则,(1),动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体,,否则,绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动,不能成为合成运,动,(2),动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断,(已知绝对,运动和牵连运动求解相对运动的问题除外)。,例,8-4,已知,:,凸轮半径,r,图示时,v,?,?,30,?,;,杆,OA,靠在凸轮上。,求:杆,OA,的角速度。,解,:,取凸轮上,C,点为,动点,动系,固结于,OA,杆上,静系,固结于基座。,绝对运动,:,直线运动,?,绝对速度,:,v,a,?,v,方向,相对运动,:,直线运动,相对速度,:,v,r,未知,方向,?,OA,牵连运动,:,定轴转动,牵连速度,:,v,e,?,OC,?,?,未知,?,待求,方向,?,OC,根据速度合成定理,v,a,?,v,e,?,v,r,做出速度平行四边形,如图示。,3,v,e,?,v,a,?,tg,?,?,v,3,r,又,v,e,?,OC,?,?,?,?,?,?,2,r,?,sin,?,(,),v,e,1,3,3,v,?,?,?,?,?,v,?,2,r,2,r,3,6,r,8-3,牵连运动是平动时点的加速度合成定理,设有一动点,M,按一定规律沿着固连于动系,Oxyz,的曲线,AB,运,动,而曲线,AB,同时又随同动系,Oxyz,相对静系,Oxyz,平动。,由于,牵连运动为平动,,故,v,e,?,v,O,a,e,?,a,O,由速度合成定理,v,a,?,v,e,?,v,r,dy,dx,而,v,r,?,i,?,j,?,dz,k,dt,dt,dt,dx,?,dy,?,dz,?,?,v,a,?,v,O,?,?,i,?,j,?,k,dt,dt,dt,d,v,a,d,v,O,?,d,2,x,d,2,y,d,2,z,对,t,求导:,a,a,?,dt,?,dt,?,dt,2,i,?,dt,2,j,?,dt,2,k,(,其中,i,j,k,为动系坐标的单位矢量,因为动系为平动,故它,d,y,d,i,z,?,0,),们的方向不变,是常矢量,所以,?,0,?,0,d,dt,dt,dt,2,2,2,d,v,O,d,y,d,x,d,z,又,?,?,a,O,?,a,e,a,r,?,2,i,?,2,j,?,2,k,dt,dt,dt,dt,?,a,a,?,a,e,?,a,r,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,即当牵连运动为平动时,动点的绝对加速度等于牵连加速度,与相对加速度的矢量和。,?,a,?,a,?,?,a,n,一般式可写为:,a,?,n,?,a,a,a,?,a,?,?,n,e,?,a,e,?,a,r,?,a,r,n,例,8-5,v,o,a,o,已知:凸轮半径,R,求:,?,=60,o,时,顶杆,AB,的加速度。,解,:取杆上的,A,点为,动点,,,动系,与凸轮固连。,绝对速度,v,a,=?,方向,?,AB,;绝对加速度,a,a,=?,方向,?,AB,,待求。,相对速度,v,r,=?,方向,?,CA,;,相对加速度,a,r,?,=?,方向,?,CA,2,方向沿,CA,指向,C,a,n,?,v,r,r,/,R,牵连速度,v,e,=v,0,方向,;,牵连加速度,a,e,=a,0,方向,由速度合成定理,v,a,?,v,e,?,v,r,做出,速度平行四边形,如图示。,v,e,v,0,2,v,r,?,?,?,v,0,o,sin,?,sin,60,3,?,?,因,牵连运动为平动,,故有,a,a,?,a,e,?,a,r,?,a,r,?,n,2,n,2,n,4,v,0,2,2,其中,a,r,?,v,r,/,R,?,(,v,0,),/,R,?,3,R,3,?,作,加速度矢量图,如图示,,将上式投影到法线,n,上,得,注,加速度矢量方程的投影,是等式两端的投影,与,静平衡方程的投影关系,不同,a,a,sin,?,?,a,e,cos,?,?,a,n,n,r,?,a,a,?,(,a,e,cos,?,?,a,r,),/,sin,?,4,v,0,?,?,(,a,0,cos,60,?,),/,sin,60,3,R,?,2,3,8,v,0,整理得,a,AB,?,a,a,?,3,(,a,0,?,3,R,),2,例,8-6,曲柄滑杆机构,?,已知,:,OA,l,=45,时,,、,o,求,:小车的速度与加速度,解,:,动点:,OA,杆上,A,点,;,动系:固结在滑杆上,;,静系:固结在机架上。,绝对运动:圆周运动,,v,a,?,l,?,(,方向,?,OA,),a,a,?,l,?,(,方向,?,OA,),a,a,?,l,?,(,沿,AO,指向,O,),相对运动:直线运动,,?,n,2,v,r,?,?,a,r,?,?,铅直方向,牵连运动:平动;,v,e,?,?,a,e,?,?,水平方向,待求量,.,根据分析作速度图和加速度图,v,a,?,v,e,?,v,r,v,e,?,v,a,cos,?,?,l,?,cos,45,?,?,小车的速度,:,v,?,n,2,l,?,(,?,),2,?,v,e,根据牵连平动的加速度合成定理,a,a,?,a,a,?,a,e,?,a,r,在,x,轴上投影:,a,a,cos,?,?,a,a,sin,?,?,a,e,?,a,e,?,l,?,cos,45,?,l,?,sin,45,2,2,?,(,?,?,?,),l,,方向如图示,2,小车的加速度,:,a,?,a,e,?,2,?,?,n,例,8-7,曲柄,OA,=,r,,以匀角速度,o,转动,,BC=DE,,,BD=CE=l,。,求图示位置时,杆,BD,的角速度和角加速度,。,D,60,v,r,v,B,v,a,v,e,A,O,C,E,v,r,v,a,v,e,B,O,30,解,:,角速度,DBCE,为平行四边形,所以,BC,杆作平动。,动系固结在,BC,杆上,套筒,A,为动点。,绝对速度,:,v,a,=r,O,v,e,=v,r,=v,a,=r,O,v,B,r,?,o,?,?,?,?,v,B,=,v,e,=,r,O,l,l,B,?,D,60,E,O,C,A,a,A,r,60,a,n,e,a,B,a,a,O,30,y,a,r,30,30,?,a,e,a,a,角加速度:,A,点绝对运动作匀速圆周运动;相对运动为直线运动;,B,点作,圆周运动。其加速度方向如图;,a,a,?,a,e,?,a,r,?,a,e,?,a,e,?,a,r,?,?,n,?,a,a,?,?,r,a,?,?,l,?,n,e,2,2,o,?,r,l,2,2,o,将,a,a,?,a,e,?,a,?,a,r,在,y,轴上投影:,?,n,e,a,a,sin,30,?,?,a,e,cos,30,?,?,a,sin,30,?,(,a,a,?,a,),sin,30,?,?,a,e,?,cos,30,?,?,n,e,?,n,e,60,A,a,n,e,30,a,r,30,30,?,y,a,e,a,a,3,?,r,(,l,?,r,),a,e,?,3,l,?,2,o,(,隐含正号,方向假设正确),BD,杆的角加速度,:,a,e,3,?,r,(,l,?,r,),?,?,?,2,l,3,l,?,2,o,例,8-8,曲柄,OA=R,=10cm,,以匀角速度,=4 rad/s,转动,,求,=30,时,BC,的速度和加速度。,A,O,点,-,滑块,A,解,:,动,动系,-,固结于,BC,绝对运动:,相对运动:,牵连运动:,速度分析图:,v,a,v,e,B,O,1,C,R,?,v,a,?,v,r,?,v,e,?,OA,?,?,?,10,?,4,?,?,1.256m/s,60,60,60,30,30,v,r,加速度分析图:,a,30,r,A,O,B,O,1,C,a,e,30,30,n,a,a,60,30,n,a,r,n,a,a,n,a,r,R,a,a,?,a,r,?,a,e,a,?,a,?,a,r,?,a,e,?,?,将上式在,轴上投影:,n,a,n,r,?,OA,?,?,?,15,.,77,m/s,?,2,v,r,2,2,?,R,?,15,.,77,m/s,2,2,?,a,cos,60,?,?,a,?,a,e,cos30,?,n,a,n,r,?,a,e,?,27,.,3,m/s,8-4,牵连运动是转动时点的加速度合成定理,设一圆盘,-,以匀角速度,?,绕定轴,顺时针转动,,盘上圆槽内有一点,M-,以大小不变的速度,v,r,沿槽作圆周运动,,那么,M,点相对于静系的绝对加速度,应是多少呢?,选点,M,为动点,动系固结与圆盘上,,,则,M,点的,牵连运动,为匀速转动,v,e,?,?,R,a,e,?,?,2,R,v,r,有,v,r,?,常数,a,r,?,R,2,(方向如图),相对运动,为匀速圆周运动,,(方向如图),由速度合成定理可得出,v,a,?,v,e,?,v,r,?,?,R,?,v,r,?,常数,即,绝对运动,也为匀速圆周运动,所以,v,a,(,R,?,?,v,r,),v,r,2,a,a,?,?,?,R,?,?,?,2,?,v,r,R,R,R,方向指向圆心,点,2,2,2,v,a,(,R,?,?,v,r,),v,r,2,a,a,?,?,?,R,?,?,?,2,?,v,r,R,R,R,分析上式:,a,r,?,v,r,/,R,a,e,?,R,?,2,还多出一项,2,?,v,r,。,可见,,当牵连运动为转动时,动点的绝对加速度,a,a,并不,等于,牵连加,速度,a,e,和相对加速度,a,r,的矢量和。,那么他们之间的关系是什么呢?,2,?,v,r,又是怎样出现的,呢?它是什么呢?下面我们就来讨论这些问题,推证牵连运,动为转动时点的加速度合成定理。,2,2,2,2,设有已知杆,OA,在图示平面内,以匀,?,绕轴,O,转动,套筒,M,(可,视为点,M,)沿直杆作变速运动。,取套筒,M,为动点,动系固结于杆,OA,上,静系固结于机架。,三种速度分析,牵连速度,v,e,v,e,相对速度,v,r,v,r,绝对速度,v,a,?,v,e,?,v,r,v,a,?,v,e,?,v,r,可以看出,经过,?,t,时间间隔,牵连速度和相对速度的大,小和方向都变化了。,t,瞬时在位置,t,+,?,t,瞬时在位置,II,?,t,时间间隔内的速度变化分析,(1),相对速度,:由,v,r,v,r,?,v,r,作速度矢量三角形,,v,r,长度后,,?,v,r,和,?,v,r,在,v,r,矢量上截取,?,v,r,分解为,即,?,v,r,?,?,v,r,?,?,v,r,其中,-,在,?,t,内相对速度大小的改变量,它与牵连转动无关。,?,v,r,-,在,?,t,内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变,?,v,r,量,与牵连转动的,?,的大小有关,。,(2),牵连速度,:,由,v,e,v,e,?,v,e,作速度矢量三角形,,在,长后,,v,e,矢量上截取等于,v,e,将,?,v,v,,,?,v,e,e,分解为,?,e,和,即,?,v,e,?,?,v,e,?,?,v,e,其中,:,?,v,e,表示,?,t,内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改,变量,与相对运动无关。,?,v,e,表示,?,t,内动点的牵连速度,由于相对运动而引起的,v,r,有关。,大小改变量,与相对速度,加速度分析,(,v,e,?,v,r,),?,(,v,e,?,v,r,),v,a,?,v,a,?,lim,根据加速度定义,a,a,?,lim,?,t,?,0,?,t,?,0,?,t,?,t,(,v,e,?,v,e,),?,(,v,r,?,v,r,),?,v,?,v,e,r,?,lim,?,lim,?,lim,?,t,?,0,?,t,?,0,?,t,?,t,?,0,?,t,?,t,?,v,?,v,?,v,?,v,e,e,r,r,?,lim,?,lim,?,lim,?,lim,?,t,?,0,?,t,?,t,?,0,?,t,?,t,?,0,?,t,?,t,?,0,?,t,上式中,各项的物理意义,如下:,?,?,?,v,e,lim,?,lim,v,e,?,?,OM,?,?,2,?,a,e,第一项大小:,?,t,?,0,?,t,?,t,?,0,?,t,方向:,?,t,?,0,时,,?,?,0,其方向沿着直杆指向,A,点。,因此,,第一项正是,t,瞬时动点的牵连加速度,a,e,。,?,v,d,v,r,r,lim,?,?,a,r,为对应于,v,第三项大小:,r,大小改变,?,t,?,0,?,t,dt,方向:总是沿直杆。,因此,,该项恰是,瞬时动点的相对加速度,a,r,。,?,v,v,OM,?,?,?,OM,?,?,e,e,?,v,e,lim,?,lim,?,lim,第二项大小:,?,t,?,0,?,t,?,0,?,t,?,0,?,t,?,t,?,t,M,1,M,?,?,?,lim,?,?,v,r,方向,?,v,r,?,t,?,0,?,t,该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。,?,v,r,?,?,?,lim,v,r,?,?,?,v,r,方向,?,v,r,。,第四项大小:,lim,?,t,?,0,?,t,?,t,?,0,?,t,这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。,由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小,方向都,k,表示,称为科里奥利加速度,简,相同,可以合并为一项,用,a,称科氏加速度。,a,k,?,2,?,v,r,方向,?,v,r,指向顺,?,转动的一边,所以,当牵连运动为转动时,加速度合成定理为,a,a,?,a,e,?,a,r,?,a,k,当牵连运动为转动时,动点的绝对加速度等于它的牵连加速,度,相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。,一般式,a,a,?,?,a,a,n,?,a,e,?,?,a,e,n,?,a,r,?,?,a,r,n,?,a,k,一般情况下,(,?,与,v,r,不垂直时,),科氏加速度,a,k,的计算可以用矢积表示,a,k,?,2,?,?,v,r,大小,:,a,k,?,2,?,v,r,sin(,?,v,r,),方向:按右手法则确定。,当,?,?,90,?,时,(,?,?,v,r,),a,k,?,2,?,v,r,当,?,?,0,?,或,180,?,时,(,?,/,v,r,),a,k,?,0,例,8-9,已知:凸轮机构以匀,?,绕,O,轴转动,,图示瞬时,OA,=,r,,,A,点曲率半径,?,?,已知。,求:该瞬时顶杆,AB,的速度和加速度。,解,:,动点,:,顶杆上,A,点;,动系,:,凸轮,;,静系,:,地面。,绝对运动,:,直线,;,绝对速度,:,v,a,=?,待求,方向,/,AB,;,相对运动,:,曲线,;,相对速度,:,v,r,=?,方向,?,n,;,牵连运动,:,定轴转动,;,牵连速度,:,v,e,=,?,r,,,方向,?,OA,,,?,。,根据速度合成定理,v,a,做出速度平行四边形,?,v,e,?,v,r,v,AB,?,v,a,?,v,e,?,tg,?,?,?,r,?,tg,?,(,?,),v,r,?,v,e,/,cos,?,?,?,r,/,cos,?,绝对加速度,:,a,a,?,?,方向,/,AB,相对加速度,:,a,r,?,v,r,/,?,?,?,2,r,2,/,?,cos,2,方向同,n,n,2,a,r,?,?,方向,?,n,牵连加速度,:,a,e,?,0,a,e,?,a,e,?,?,2,r,方向指向轴心,O,;,n,?,科氏加速度,:,a,k,?,2,?,v,r,?,2,?,2,r,/,cos,?,方向,/,n,指向与,n,相反。,由,牵连运动为转动时的加速度合成定,理,a,a,?,a,e,?,a,r,?,?,a,r,n,?,a,k,作出,加速度矢量图,如图示,?,向,n,轴投影:,a,a,cos,?,?,a,e,cos,?,?,a,r,?,a,k,n,?,a,AB,?,a,a,?,?,(,?,r,cos,?,?,?,r,sec,?,/,?,?,2,?,r,sec,?,),/,cos,?,?,?,?,r,(,1,?,r,sec,?,/,?,?,2,sec,?,),2,3,2,2,2,2,2,2,例,8-10,矩形板,ABCD,以匀角速度,?,绕固定,A,轴,z,转动,点,M,1,和点,M,2,分别沿板的对角,线,BD,和边线,CD,运动,在图示位置时相,对于板的速度分别为,v,1,和,,计算点,v,2,M,1,、,M,2,的科氏加速度大小,并图示方向。,D,解,:点,M,1,的科氏加速度,垂直板面向里,?,。,a,?,2,?,v,sin,?,k,1,1,B,C,点,M,2,的科氏加速度,a,k,2,?,0,(,?,/,v,2,),例,8-11,曲柄摆杆机构,已知:,O,1,A,r,?,?,?,1,;,取,O,1,A,杆上,A,点为动点,动系固结,O,2,B,上,试计算动点,A,的科氏加速度。,解,:,a,k,?,2,?,2,?,v,r,?,?,2,?,v,r,?,a,k,?,2,?,2,v,r,根据,v,a,?,v,e,?,v,r,做出速度平行四边形,?,v,e,?,v,a,cos,?,?,r,?,1,sin(,?,?,?,),v,r,?,v,a,sin,?,?,r,?,1,cos(,?,?,?,),v,e,sin,?,sin(,?,?,?,),sin,?,?,2,?,?,r,?,1,sin(,?,?,?,),?,?,?,1,O,2,A,r,cos,?,cos,?,sin(,2,?,?,2,?,),2,a,k,?,2,?,2,v,r,?,?,?,1,r,cos,?,方向:与,v,e,相同。,第八章,点的合成运动习题课,一概念及公式,1.,一点、二系、三运动,点的绝对运动为点的相对运动与牵连,运动的合成,2.,速度合成定理,v,a,?,v,e,?,v,r,3.,加速度合成定理,牵连运动为平动时,a,a,?,a,e,?,a,r,牵连运动为转动时,a,a,?,a,e,?,a,r,?,a,k,(,a,k,?,2,?,?,v,r,),二解题步骤,1.,选择动点、动系、静系。,2.,分析三种运动:绝对运动、相对运动和牵连运动。,3.,作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量,(,速度,角速度)。,4.,作加速度分析,画出加速度矢量图,求出有关的加速度、,角加速度未知量。,例,8-12,摇杆滑道机构,已知:,?,v,a,求,:,OA,杆的,、,。,:,h,解,:,动点,:,销子,D,(,BC,上,);,动系,:,固结于,OA,;静系,:,固结于机架。,v,a,?,v,a,a,?,a,绝对运动:直线运动,,v,r,?,?,?,,沿,OA,线,相对运动:直线运动,,?,a,r,牵连运动:定轴转动,,v,e,?,OD,?,?,?,?,?,OA,?,n,a,e,?,OD,?,?,?,?,?,OA,;,a,e,?,OD,?,?,2,?,?,指向,O,根据,速度合成定理,v,a,?,v,e,?,v,r,做出速度平行四边形,如图示。,v,e,?,v,a,cos,?,?,v,cos,?,v,r,?,v,a,sin,?,?,v,sin,?,h,cos,2,?,(,),?,?,v,e,/,OD,?,v,cos,?,/(,),?,v,cos,?,h,根据,牵连转动的加速度合成定理,a,a,?,a,e,?,a,e,?,a,r,?,a,k,2,?,2,cos,3,?,h,v,cos,v,2,a,e,?,?,(,),?,cos,?,h,h,2,?,v,cos,a,k,?,2,?,v,r,?,2,?,v,sin,?,h,n,?,n,投至,?,轴:,a,a,cos,?,?,a,e,?,a,k,a,e,?,?,2,v,cos,?,sin,?,?,a,k,?,a,a,cos,?,?,?,a,cos,?,h,?,2,2,2,a,e,v,a,2,2,?,?,?,2,cos,?,sin,2,?,?,cos,?,OD,h,h,(,),例,8-13,曲柄滑块机构,已知:,h,;,O,1,A,?,r,?,1,?,图示瞬时,;,O,1,A,/,O,2,E,2,E,杆的,?,2,。,求,:,该瞬时,O,解,:,动点,:,O,1,A,上,A,点,;,动系,:,固结于,BCD,上,静系固结于机架上。,绝对运动:圆周运动,;,v,a,?,r,?,1,?,O,1,A,相对运动:直线运动,;,v,r,?,?,/,BC,牵连运动:平动,;,v,,水平方向,?,e,?,根据,v,a,?,v,e,?,v,r,v,e,?,v,a,sin,?,?,r,?,1,sin,?,再选动点:,BCD,上,F,点,动系:固结于,O,2,E,上,,静系固结于机架上,绝对运动:直线运动,,相对运动:直线运动,,牵连运动:定轴转动,,,v,a,F,?,r,?,1,sin,?,(,?,),v,r,F,?,?,(/,O,2,E,),v,e,F,?,?,(,?,O,2,E,),根据,v,a,F,?,v,e,F,?,v,r,F,做出速度平行四边形,v,e,F,?,v,a,F,sin,?,?,r,?,1,sin,?,?,sin,?,?,r,?,1,sin,2,?,又,?,v,eF,?,O,2,F,?,?,2,O,2,F,?,h,/,sin,?,v,eF,sin,?,r,?,1,2,3,(,?,?,2,?,?,r,?,1,sin,?,?,?,sin,?,),O,2,F,h,h,例,8-14,凸轮机构,已知,:凸轮半径为,R,,图示瞬时,O,、,C,?,、,v,、,a,已知,;,在一条铅直线上,;,求,:,该瞬时,OA,杆的角速度和角加速度。,分析,:,由于接触点在两个物体上的位置均是变化的,因此不,宜选接触点为动点。,解,:,取凸轮上,C,点为动点,,动系固结于,OA,杆上,,静系固结于地面上,绝对运动,:,直线运动,,v,a,?,v,a,a,?,a,相对运动,:,直线运动,,v,r,?,?,a,r,?,?,方向,/,OA,牵连运动,:,定轴转动,,v,e,?,?,方向,?,OC,a,e,?,OC,?,?,2,?,?,指向,O,;,n,a,e,?,OC,?,?,?,?,?,方向,?,OC,根据,v,a,?,v,e,?,v,r,),v,r,?,0,v,e,?,v,a,?,v,;,v,e,v,v,?,?,?,?,sin,?,(,OC,R,/,sin,?,R,根据,a,a,?,a,e,?,a,e,?,a,r,?,a,k,做出加速度矢量图,a,e,n,?,n,a,a,cos,?,?,a,e,sin,?,?,a,e,cos,?,投至,?,轴:,a,e,?,a,a,?,a,e,tg,?,a,e,a,?,v,2,sin,?,/,R,a,sin,?,v,2,sin,2,?,?,?,?,?,?,OC,R,/,sin,?,R,R,2,?,R,v,v,2,?,?,(,sin,?,),?,sin,?,a,k,?,2,?,v,r,?,0,sin,?,R,R,n,2,?,?,n,转向由上式符号决定,,0,则,,,0,则,例,8-15,刨床机构,已知,:,主动轮,O,转速,n,=30 r/min,OA,=150mm,图示瞬时,OA,?,OO,1,求,:,O,1,D,杆的,1,、,1,和滑块,B,的,v,B,a,B,。,解,:,动点:轮,O,上,A,点,动系:,O,1,D,静系:机架,根据,v,a,?,v,e,?,v,r,做出速度平行四边形,。,其中,v,a,?,OA,?,?,?,0,.,15,?,n,?,?,0,.,15,?,m/s,30,?,v,e,?,v,a,sin,?,?,0,.,03,5,?,m/s,v,e,0,.,03,5,?,?,?,1,?,?,?,rad/s,O,1,A,0,.,15,5,5,(,),2,5,5,(cos,?,?,sin,?,?,),5,5,v,r,?,v,a,cos,?,?,0,.,06,5,?,m/s,根据,a,a,?,a,e,?,a,e,?,a,r,?,a,k,做出加速度矢量图,2,a,a,?,0,.,15,?,a,k,?,n,?,2,?,1,v,r,?,投至,方向,:,a,k,a,a,cos,?,?,a,k,?,a,e,?,2,?,2,a,e,?,0,.,15,?,?,5,5,?,0,.,18,5,2,?,2,?,?,0,.,06,5,?,?,?,m/s,2,5,5,2,0,.,18,5,?,1,6,2,2,?,1,?,a,e,/,O,1,A,?,?,?,?,rad/s,5,0,.,15,5,25,(,),再选动点,:,滑块,B,;,动系,:,O,1,D,;,静系,:,机架。,根据,v,a,B,?,v,e,B,?,v,r,B,做出速度矢量图,。,v,eB,?,2,v,e,?,0,.,06,5,?,m/s,?,v,B,?,v,aB,?,v,eB,/,cos,?,?,0,.,15,?,m/s,v,rB,?,v,eB,?,tg,?,?,0,.,03,5,?,m/s,根据,a,a,B,?,a,e,B,?,a,eB,?,a,rB,?,a,kB,?,n,做出加速度矢量图,a,aB,cos,投至,x,轴:,?,?,a,eB,?,a,kB,其中,a,eB,?,?,0,.,36,5,2,?,2,a,e,?,?,m/s,2,5,?,0,.,06,5,2,a,kB,?,2,?,1,v,rB,?,2,?,?,0,.,03,5,?,?,?,m/s,2,5,5,0,.,36,5,?,2,0,.,06,5,?,2,2,5,?,a,B,?,a,aB,?,(,?,),/,?,0,.,15,?,2,m/s,2,5,5,5,例,8-16,套筒滑道机构,?,v,a,h,已知,图示瞬时,求,:,套筒,O,的,和,。,解,:,方法,1,:,A,点作直线运动,x,A,?,h,?,tg,?,x,A,?,h,sec,?,?,?,即,?,?,x,A,cos,?,/,h,?,2,?,?,?,2,?,?,(,x,A,cos,2,?,?,x,A,sin,2,?,?,?,),/,h,?,?,?,?,?,?,代入图示瞬时的已知量,得,v,cos,?,a,v,2,sin,2,?,2,?,?,?,?,(,?,),cos,?,(,),(,),2,h,h,h,2,方法,2,:,动点,:,CD,上,A,点,,动系,:,套筒,O,,静系,:,机架,v,a,?,v,e,?,v,r,其中,v,a,?,v,a,a,?,a,e,?,a,e,?,a,r,?,a,k,v,2,sin,2,?,a,a,?,a,a,k,?,2,?,v,r,?,?,cos,?,h,?,投至,a,a,cos,?,?,a,k,?,a,e,a,k,方向:,2,v,sin,2,?,?,a,e,?,a,cos,?,?,cos,?,h,?,v,e,?,v,a,cos,?,?,v,cos,?,v,r,?,v,sin,?,2,v,cos,?,(,),?,?,v,e,/,OA,?,h,?,n,a,e,a,v,sin,2,?,2,?,?,?,(,?,),cos,?,2,OA,h,h,?,2,(,),对比两种方法,,求,?,a,BA,a,AB,R,v,?,?,30,OA,?,R,例,8-17,已知,a,B,30,o,v,B,选,A,为动系,,B,为动点,a,B,?,a,A,?,a,BA,?,a,BA,2,v,e,?,v,v,a,?,a,BA,?,a,B,?,?,指向,O,?,v,r,c,R,v,a,?,v,o,v,R,a,e,A,再选,B,为动系,为,A,动点,v,A,?,v,e,?,v,r,v,r,?,2,v,a,A,?,a,e,?,a,r,?,a,c,?,0,a,r,?,a,AB,?,?,?,a,e,?,a,c,?,v,v,a,C,?,2,?,2,v,a,e,?,R,R,2,例,8-18,.,如图式机构中,AB,?,O,1,O,2,,,O,1,A,?,O,2,B,?,48cm,圆环,固定在,AB,杆上;其半径,R,?,24cm,O,1,A,杆转动,方程为,2,,小球在环形管中按,?,t,OM,?,S,?,3,t,cm,运动,试求,4,t,2s,时,小球,M,的速度和加速度。,M,A,R,o,?,B,o,1,o,2,选圆环为动系,小球,M,为动点,,S,t,2s,时,,?,?,S,?,12,cm,?,?,2,R,2,速度如图,而,由,v,a,?,v,e,?,v,r,v,e,?,O,1,A,?,?,?,12,?,cm/s,?,v,r,?,S,?,12,?,cm/s,?,?,v,a,?,24