物理学专业论文09490.doc

学士学位论文基于Matlab的系统的稳定性分析摘要稳定性在系统的实际应用中非常的重要，本文介绍了系统的稳定性的概念，论述了常用判定系统的稳定性的方法：奈奎斯特判据、根轨迹法、波特图法等，也介绍了罗斯矩阵、朱里矩阵在稳定性分析中的作用。应用MATLAB编程来实现奈奎斯特判据、根轨迹法、Bode图对稳定性的分析。关键词：LTI系统；稳定性；MATLABMatlab-based analysis of system stabilityAbstractThe stability of the system's practical application is very important, this paper introduces the concept of stability of the system, discusses the stability of the system used to determine the method: Nyquist criterion, root locus method, Bode plots, such as law, Rose also introduced the matrix, where matrix Zhu at the role of stability analysis. Application of MATLAB programming to achieve the Nyquist criterion, root locus method, Bode diagram of the stability analysis.Key words：LTI system; stability; MATLAB 目录摘要1ABSTRACT1引言21.理论分析21.1概述21.1.1 MATLAB语言介绍21.1.2 LTI系统的稳定性31.2 LTI连续时间系统的稳定性分析31.2.1因果连续时间系统的稳定性准则31.2.2连续时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据61.3 LTI离散时间系统的稳定性分析91.3.1因果离散时间系统的稳定性准则91.3.2离散时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据112.基于MTLAB的稳定性分析132.1 奈奎斯特图142.2根轨迹152.3 波特图163.结论184.结语18致谢19引言线性时不变系统通常被称为LTI系统，系统在不同的情况下有不同的函数表达式。系统的稳定性对系统的输入输出行为至为重要。若系统稍微偏离其平衡态，就可能会产生几种情况；若系统保持在平衡状态附近，则称系统是稳定的；如果系统趋于返回平衡状态或一个极限状态，则称此系统为不稳定的。因此，研究系统的稳定性的方法称为稳定性判据或稳定判据，如劳斯判据，胡尔维茨（Hurwirz）稳定判据以及奈魁斯特稳定判据等，在MATLAB未产生前，由于系统的复杂性，判别计算量非常大，而用了MATLAB以后，稳定性分析将变的很简单。1.理论分析线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，而与输出无关。线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部。在实际工程系统中，为了避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，即看其是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性。1.1概述1.1.1 MATLAB语言介绍MATLAB是MATrix LABoratory的缩写，是MathWork公司于1984年推出的一套面向工程和科学运算的高性能软件。它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能，为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境，因此被城为第四代计算机语言。MATLAB发展至今，现已集成了许多工具箱，如控制系统集成箱（Control System Toolbox）、信号处理工具箱（Single Processing Toolbox）、模糊推理系统工具箱（Fuzzy Logic Toolbox）、Simulink工具箱等。为此。MATLAB语言在控制工程领域已获得了广泛的应用。1.1.2 LTI系统的稳定性LTI系统的稳定性与其系统函数或有着密切的关系。一个连续时间LTI系统，其冲激响应满足时，,而其系统函数的ROC一定是S平面的右半部分： 。一个稳定连续时间LTI系统的充要条件是其单位冲激响应绝对可积。即： （1）对应于系统函数则是其ROC包含轴。结合以上两种结果，可得稳定连续时间LTI系统，其系统函数的所以极点的实部都必须是负的。离散时间LTI系统，也有类似的结果：（1）因果系统的充要条件是单位脉冲响应满足，其系统函数H(z)的ROC为某内界圆的外部，即；（2）稳定系统的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，或系统函数H(z)的ROC包含单位圆；（3）因果稳定离散时间系统LTI系统的系统函数H(z)的所有极点必须落在单位圆内部。因此，可以通过系统函数，很方便地了解系统的稳定性。不仅如此，系统函数已经成为系统分析和综合的基本方法。1.2 LTI连续时间系统的稳定性分析1.2.1因果连续时间系统的稳定性准则因果连续时间系统的系统函数 （2）式中 （3）的极点就是的根，因此为判断系统是否稳定，亦即的极点是否都在左半开平面，只需判断的根，即特征根是否都在左半开平面，并不需要知道各特征根的确切位置。所有根均在左半开平面的多项式称为霍尔维兹多项式。罗斯和霍尔维兹提出了判别多项式是否为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯- 霍尔维兹准则。对于特征根为实根和共轭复根，多项式可分解为许多一次因子和二次因子的乘积。如果特征根都在左半开平面，则要求各因子中，从而多项式的所有系数。也就是说，如果中任何一个或多个系数为零或负值，那么它就不是霍尔维兹多项式。上述条件是必要条件，而不是充要条件。罗斯提出了一种列表的方法，常城罗斯阵列。其方法如下表所示，将多项式的系数按下表的规律排列在1，2行表1 罗斯阵列行1234n+1罗斯阵列中第3行及以后的各行，按以上规则计算， （4）, , （5）依次类推，一直排列到第n+1行（以后各行为零）。罗斯准则指出：多项式是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素的值均大于零，它保证了的根都在左半开平面。如果第一列元素的符号不完全相当，那么变号的次数就是在右半平面根的数目。对于二阶系统， （6）若，根据上述稳定准则，可得为霍尔维兹多项式的冲要条件为 （7）例1：已知某系统的系统函数为的系数排列成罗斯阵列 如果系统是稳定的，根据罗斯准则，以上阵列中的第一列元素的值为正值，即 和解得 因此，当时，系统是稳定的。1.2.2连续时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据根据反馈系统的稳定性，要求 （8）或等效函数 （9）在S复平面的左半平面内没有零点。因此，可以考虑如图所示的一条半圆围线。当s沿这条围线C顺时针旋转一周时，由的轨迹围线顺时针绕原点的次数，可得出围线C内所包括的的零点个数和极点个数的差值。随着M增加至无穷大值时，对应的围线C就是沿 轴从到的半径为的半圆曲线，此时围线C包括了整个右半平面，且围线C变为整个虚轴。为了保证随M增加，围线C的半圆延伸至整个右半平面时，仍然是有界的。该条件要求的极点数要大于等于它的零点数。这时 （10）为常数。当极点阶数大于零点阶数时，上述值也为零。因此，当M增大到无穷大是。沿着这个围线C半圆部分的值不再变化，为一常数。当时，图1所示的围线C与虚轴轴重合，对应的图就是当从变到时的图。如果正向和反馈通路的系统函数是稳定的，那么和分别是这两支路系统的频率响应函数。注意到的围线只是复变函数的一个性质，不涉及ROC的问题。这样，即使正向和反馈通路的系统不稳定，也可用上述方法，检查在范围内的图，用于计算位于右半平面内的零点数和极点数之差。再者，由式（9）可知，绕原点的次数，就是绕点-1/K的次数，即绕原点的次数，就是围绕点-1/K的次数。当从时，的图就称为奈奎斯特图。注意到，的极点就是的极点，而的零点是闭环极点。因此，根据围线映射性质可得如下结论。奈奎斯特图顺时钟绕-1/K点的净次数等于右半平面内闭环极点数减去在右半平面内的极点数。由上述结果可得，如果反馈系统是稳定的，那么奈奎斯特图瞬时绕-1/K点的净次数等于在右半平面内的极点数，且是逆时针方向的。由此，就可得出连续时间奈奎斯特稳定性判决。例2：设，试画出奈奎斯特图并确定使反馈系统稳定的K的取值范围。解：从的表示式，可知（1）时， ；（2）时，；（3）当从0变化到时，相角单调从变化至，因此，时，对应的奈奎斯特图应在第III象限内。根据镜像对称性，可知时所对应的奈奎斯特图应在第II象限内。根据以上论述，可画出例题的奈奎斯特图如图2所示，对于该例，有一个由半平面的极点。因此，根据奈奎斯特稳定性判据，要求奈奎斯特图逆时针围绕-1/k点一次，这样就要求-1/k点落在这条围线的里面。由图2可知，要-1/k点落在围线内，即要求k满足-1-1/K0亦即K1系统稳定。1.3 LTI离散时间系统的稳定性分析1.3.1因果离散时间系统的稳定性准则因果离散时间系统的系统函数 （11） （12）要判别系统的稳定性，就需判别特征方程所有的根的模是否都小于1.朱里提出了一种列表的判别方法，称之为朱里准则。表2 朱里阵列行1234562n-1将的系数如表2所示排列在第1，2行。表中第1行是的系数，第2行也是的系数，但按反序排列。第3行按下列规则求出 ， (13)第4行将第3行的各元素按反序排列。由第3、4行的元素再用上述规则求第5行和第6行的元素为 ， (14)依次类推，一直排到2n-3行。朱里准则指出，的所有根都在单位圆内的冲要条件是 （15）上式关于阵列中元素的条件是：各奇数行，其第一个元素的值必须大于最后一个元素的绝对值。例3：若系统的特征多项式为给系数是否稳定?解：首先将的系数排成朱里阵列表行14-402-12-120-44315-1404440-14155209-21056根据及上表，有因此，根据（15）式，可判定该系统是稳定的。1.3.2离散时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据对于离散时间系统情况，闭环反馈系统的稳定要求在单位圆内没有零点。与连续时间情况相同，的极点也就是的极点。由于围线性质将任何给定的围线内的极点和零点的关系联系起来，在单位圆上有和。做变量替换：，可将单位圆外的极点和零点映射到单位圆的内部，且顺时针的单位圆围线经变量替换后变为逆时针方向的单位圆围线。因此，当围线是顺时针方向的单位圆时，其围线次数与单位圆内部的极点数和零点数目有关；当围线是逆时针方向的单位圆时，其围线次数与单位圆闭合围线的外部的极点数目和零点数目有关。为考察在单位圆内是否有零点，一般取单位圆上逆时针方向的围线，此时该围线上的，变量从0变化至。根据围线性质，有以下关系。以逆时针方向在单位圆上绕过一周时（即从0变化至），值的图顺时针绕原点的次数等于在单位圆外的零点数减去单位圆外的极点数。和连续时间情况完全一样，计算包围原点的次数等效于计算图包围-1/K点的次数。于连续时间情况相同，把的图也称为奈奎斯特图。因此，奈奎斯特图顺时针包围-1/K点的次数就等于单位圆外的零点数目（即为闭环极点数目）减去单位圆外的的极点数目（即的极点数目）。为使闭环系统成为稳定的，就要求单位圆外没有闭环极点，即在单位圆外的零点数目为零，于是就可得出离散时间奈奎斯特稳定性判据。1.4 LTI线性反馈系统的根轨迹分析法 LTI反馈系统的一般结构可以用图3来表示。图中的或称之为正向通路系统函数；而或则称为反馈通路的系统函数。图3中整个系统的系统函数称为闭环系统函数，特记为或，他们分别表示为 （16） （17） 式（16），（17）时LTI反馈系统基本方程。观察（16）式，若前向通路函数,且增益K足够大，满足，则有 (18) 于是图3中的反馈系统就可近似为系统函数 的逆系统。从式（18）可以发现，只要的增益足够的，即使增益绝对值有波动变化，对整个系统影响将是很小的，这是因为，此时，系统的特性将主要受反馈系统的影响。反馈系统的特性取决于闭环系统函数特性。由反馈系统的闭环系统函数或的极点，零点分布可以了解有关反馈系统特性的许多信息。如果反馈环路中有个可调节的增益，随着此增益参数K的变化，闭环系统的极点位置将随之变化。K的变化过程中，系统可能从非稳定状态进入稳定状态或由稳定状态进入非稳定状态。 这种来检查随着可调增益的变化，闭环系统的极点在S平面内的轨迹路径的方法就称为根轨迹法。它是一个有理函数或的闭环极点作为增益K的函数画出来的一种图示方法。进而借助图形来分析系统的稳定性，这一方法对连续时间系统和离散时间系统都是适用的。2.基于MTLAB的稳定性分析Matlab为LTI系统的稳定性分析提供个许多方便、快捷的库函数，通过编写程序，可以实现系统的可视化，能够直观、明了、快速的对系统的稳定性及相关特性进行研究分析。2.1 奈奎斯特图奈奎斯特图又称为极坐标图或幅相频率特性图，它是以角频率为参量，在复平面上表示开环频率相应的一种方法。在Matlab中，可以通过调用nyquist()来绘制开环系统的奈奎斯特图，具体方法可看例题4。例4：已知一系统的传递函数为,K=0.3，0.7，1.1，1.5，试绘出K不断变大时，该系统的奈奎斯特图解：Matlab代码如下%绘制奈奎斯特图的Matlab代码for k=0.3,0.7,1.1,1.5 %设置系统参数 H=tf (k,5,3,1); %生成系统函数 nyquist (H); %绘制奈奎斯特图 hold on; endtitle('奈奎斯特图')2.2根轨迹 根轨迹是指闭环系统的增益K由0变化至时，闭环特性方程的根在S平面上的变化轨迹，根轨迹对于判断闭环系统的稳定性非常有用。在Matlab中，可以通过调用函数rlocus()来绘制闭环系统的根轨迹，其具体的调用方法参看例题5。例5：已知系统的开环传递函数为，试绘制其根轨迹图。解：Matlab代码如下%绘制根轨迹的Matlab代码num=1 1 0 4; %设置系统函数的分子系数矢量den=1 3 7 0 ; %设置系统函数的分母系数矢量sys=tf(num,den); %生成系统函数rlocus(sys); %绘制根轨迹title('根轨迹图')2.3 波特图 波特图又称对数频率特性图，由对数幅频特性图与对数相频特性图组成。波特图的横坐标为角频率，按常用对数分度。幅频响应的波特图的纵坐标为幅频响应的对数值，单位分贝（dB），线性分度。相频响应的波特图的纵坐标为相位，单位为度（°），线性分度。绘制波特图的Matlab函数为freqs()，其具体的调用方法可看例6。例6：绘制一阶系统的波特图。解：Matlab代码如下%绘制LTI系统的波特图的Matlab代码num=1; %设置系统函数的分子系数矢量den=4,1; %设置系统函数的分母系数矢量sys=tf(num,den); %合成系统的函数bode(sys); %绘制频率响应的波特图grid on；title('一阶系统的波特图')3.结论 通过奈奎斯特图、根轨迹图、波特图可以直观、明了、简单的分析出系统的稳定性。4.结语通过本文的论述和实例的分析可以看出，利用MATLAB分析系统的稳定性具有编程简单、操作方便、处理速度快、分析结果准确可靠等优点，可以看出MATLAB在工程技术方面有广泛的应用。参考文献1于惠敏.信号与系统(第二版)M.北京：北京化学工业出版社，2007.82林福忠.LTI系统的稳定性分析J.龙岩学院学报，2005.63陈锡生.ATM交换技术M.北京：北京邮电大学出版社，2000.24陈静.基于MATLAB的控制系统稳定性分析J.天津：天津工业大学学报，2004.55薛定宇. 反馈控制系统设计与分析MATLAB 语言应用M . 北京:清华大学出版社,2000 :206 - 209.6胡寿松. 自动控制原理M . 北京: 科学出版社,2000 :230 - 232.7赵文峰. 控制系统设计与仿真M . 西安: 电子科技大学出版社.8李艳杰. MATLAB 语言在反馈控制理论中的应用J . 机械设计与制造,2001 (5) :25 27.9周凌柯. MATLAB在自动控制原理教学中的应用 J .中国教育导刊, 2007 (16) : 5253.10LAN Emulation Over ATM Version2-LUNI Specification The ATM Forum Technical Committee.July.1997致谢本文是在黄老师精心指导和大力支持下完成的。黄老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。他渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。同时，在此次毕业设计过程中我也学到了许多了关于MATLAB及系统稳定性等方面的知识，计算机技能有了很大的提高。 另外，我还要特别感谢物理系党委书记王建伟老师、主任郭玲老师、曹丽萍老师、周向玲老师、俞胜清老师、吴云虎老师等老师为我们提供了良好的研究、学习条件并为我们作出了严谨的理论指导。再次向各位老师表示诚挚的感谢。还要感谢学弟王涛和学妹李嘉琳以及213宿舍的舍友对我的无私帮助，使我得以顺利完成论文。 最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！