毕业论文：彩票中的数学.doc

彩票中的数学摘 要本问题要求我们建立一种优选的评价准则去评估各种彩票方案的合理性，关于彩票中奖与否涉及的因素较多，主要因素有中奖率、奖金额的设值 、彩票的规则对彩民的吸引力等。题目要求我们对各种因素进行综合分析，评价出给定29种彩票方案的合理性，另外题目还要求设计出更好的方案，对管理部门给出合理化的建议。对问题一，我们首先分别对“传统型”、“乐透单项型”、“乐透复合型”给出了不同的概率计算方法，在计算乐透型彩票的中奖概率的问题时我们用了一个摸球实验来进行简化从而更加简单的计算出各等将中奖的概率并利用古典概率的思想求出乐透型的各等奖中奖的概率。然后计算出了各类彩票方案中各种奖项的中奖率并统计中奖概率总和；其次，为了分析各因素对彩民的吸引力，我们通过构造心理曲线函数来描述一个方案对彩民的吸引力，同时一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，为此我们构造出一个综合目标函数来判断各方案对彩民的吸引力通过计算得出序号9对应的对彩民吸引力最大也最合理。对问题二，我们采用非线性规划模型以第一问中的吸引力函数为目标函数即求出一个方案使其吸引力最大。通过可求出在人均收入中等的地区的最优方案为：32选6（），一、二、三等奖的比例分别为80%、9%、11%，四、五、六、七等奖的金额分别为200、10、1、0元。同时我们也考虑了不同经济情况下的方案会有不同，因此我们在附录中给出了经济欠发达和发达地区的最优彩票销售方案。通过综合分析各个方案我们给彩票部门提出了合理的建议并给了一篇短文提醒彩民理智购彩。关键词： 彩票 心理曲线 吸引力 非线性规划一、问题重述目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组09号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从04号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如附录表一（X表示未选中的号码）。“乐透型”常有两种方式单项型和复合型。单项型比如“33选7”的方案：先从个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。复合型又比如“36选6+1”的方案，先从个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从0136个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如附录一。奖项的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如附录表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元， 试分析各种不同彩票方案的合理性，并得到更好的彩票发行方案，给彩票管理部门提出建议。并且给报纸写一篇短文，供彩民参考。二、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：1.彩民购买彩票是随机的独立事件；2.若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖；3.彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的；4.根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T =35年；5. 单注投注金额为两元，总奖金一般为当期销售总额的50，且此比例固定不变；6.假设各个不同方案均是在公平公正的原则下实施，而且彩民购买和对奖的方便程度相同；7.对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额；8.低项奖单注奖金固定，高项奖金额按比例分配为浮动值，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元；三、符号说明第等（高项）奖占高项奖总额的比例，第等奖奖金额均值，彩民中第等奖的概率，彩民对某个方案第等奖的满意度，即第等奖对彩民的吸引力，某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常数彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标四、问题分析随着近年来彩票种类以及彩民数目持续地增长，彩票问题与日常生活产生了越来越紧密的联系。本题中、两问着眼于彩票奖项设置方案的合理性问题，要解决这两个问题需要综合考虑奖项、奖金、中奖率、中奖面等因素，并建立明确、可靠的评价指标，即以彩票奖项方案中的各个比例、数值为因变量的目标函数。4.1问题一的分析要想给出题中的29条方案合理性的分析，不仅要考虑各种奖项的获奖率和奖金等基本问题，还需要进一步的深入考虑如何将各种因素综合起来，即建立一个能够充分反应各种因素的合理性指标的函数。由于题中29条奖项方案中包含了不同的类别，因此不可能找到统一的运算公式快速运算，而要先对各种方案进行分类后，借助按照公式 ：，逐一计算。同时考虑到彩民购买彩票是一种风险投资行为，受到彩民的心理因素的影响，为此，我们根据决策分析的理论，取为风险决策的益损函数，进而作出如下的指标函数：。4.2问题二的分析本问题要求给出一个比已知的29条更合理的方案。对此，我们沿用问题一的思想，通过线性规划的一般算法，借助软件对已知函数进行进一步的优化，即求得目标函数达到最大值时各种指标的数值。4.3问题三的分析考虑到当下很多彩民以博彩为生，试图通过彩票大奖瞬间聚敛大量财富，而心理上不能健康的看待彩票与日常生活之间的关系。因此，我们从彩民的心理引导作为出发点，分为三个论点进行阐述： 购买彩票，奉献爱心； 把握尺度，合理购彩； 科学投注，树立形象。五、模型的建立与求解5.1.1概率计算（1）对于种类繁多的彩票，目前流行的主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。针对“传统型”的方案，由于基本号码是从6组0-9的数值中产生，并且允许重复，因此利用排列可以计算出各种中奖的概率。设1-6等奖的概率分别表示为因此1-6等奖的概率计算如下：； ; ；（2）“乐透型”常见有两种形式：单项型和复合型。其中，单项型指类似于“33选7”的形式，摇奖摇出7个基本号码和1个特别号码，但彩民应从33个号码中选出7个号码作为一注。而复合型指类似于“36选6+1”的形式，摇奖有6个基本号码1个特别号码，彩民抽奖是从36个号码中出取7个号码，单项式和复合式都要求抽奖号码不可重复。判断彩民是否中奖以及中什么等级的奖项，主要看抽取的号码与基本号码和特别号码是否相符合以及相符合的个数。对不同游戏规则，可以分别计算各种等级奖项的中奖概率（选计算）：.单项型彩票现以一注为单位,计算一注中奖的概率。考虑实际奖项等级规则，为简单起见 ,我们建立一个摸球模型：假设袋子里有个球 ,其中有个红球 ,1个黄球和 个白球。设红球为中奖号码，黄球为特别号码，白球为其他号码。于是，每一注彩票就相当于一次从袋子中摸出个球来，如果摸出个红球，即为一等奖；摸出个红球、1个黄球，即为二等奖；摸出个红球、1个白球，即为三等奖；摸出个红球、1个黄球、1个白球，即为四等奖；摸出个红球、2个白球，即为五等奖；摸出个红球、1个黄球、2个白球，为六等奖；摸出个红球、3个白球，为七等奖，由于抽取的奖号不可重复，因此问题简化为摸球试验是不放回的，即一次从口袋里抽出m个球。将以上过程用下面的流程图表示：个红球，1个黄球（二等奖）个红球1个黄球n-m-1个白球个红球（一等奖）个红球3个白球（七等奖）设为一等奖到七等奖的概率，则有； ； 复合型彩票假设从n个号码的球中摇出m个基本号码，再从n-m个号码的球中摇出1个特别号码，各个(m+1)号码都不可重复。彩民要从n个号码中选取m+1个号码，游戏规则是根据彩民的选号与中奖号码相符的个数评判出彩民的中奖等级，但是复合型彩票与单项型彩票最大的区别是彩民选号时特别号码要单独选取，即与m个号码分开选。并且彩民在特别号码与基本号码的选取中，可能出现交叉情形，例如在（6+1）/36中，与不符，而与相符，因此只能算六等奖，非五等奖。因此我们仍然通过上面的摸球实验分别求出了一等奖到七等奖的概率如下：； ； ； 根据上面的公式利用软件计算可得到24种方案所对应的13种投注方式中单注中各等奖的概率。表一 13种投注方式中单注各等奖的概率序号与方案一等奖概率二等奖概率三等奖概率四等奖概率五等奖概率六等奖概率七等奖概率总的获奖概率1-420.81.82.613.424.23090.04569556.407054.484949.41842.82552.82550.470920.0298250.03774266.407051.40968.45738.88022.22001.48000.0197340.0377427-94.912073.438457.56462.26942.38280.397140.0264760.03313710-113.802902.662036.12271.83682.02050.336750.0235720.02920812-142.971012.079714.99131.49741.7220.287000.0210470.02583215-162.340801.638564.09641.22891.47470.245780.0188430.02294117-181.858871.301213.38311.01491.26870.211450.0169160.02043619-221.487091.040972.81060.843181.09610.182690.0152240.018261231.4870929.147118.05170.51106.570.1248324-251.197943.474022.08442.91820.729540.656590.0087550.016367261.197940.8385562.34800.704390.950920.158490.0137360.016367270.971300.6799111.97170.591520.828130.138020.0124220.014710282.60531.56325.15841.28962.06340.275120.0284280.033425291.8310.915574.94370.988742.62020.262020.0454160.0508065.1.2合理性的判断（1）模型准备要综合评价这些方案的合理性，应该建立一个能够充分反应各种因素的合理性指标函数。因为彩民购买彩票是一种风险投资行为，为此，我们根据决策分析的理论，考虑到彩民的心理因素的影响可取为风险决策的益损函数, 其中表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子。（2）计算实力因子实力因子是反应一个地区的彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区的彩票方案应该考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此，不同地区的实力因子应有一定的差异，假设一个地方的人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作时间为35年，则人均总收入为52.5万元，于是，当万元时，取，则有。这里我们给出了函数的图像，如下图：图一 心理曲线函数的图像同理，可以算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、3.5万元、4万元、5万元、10万元的实力因子如表二。表二 各人均年收入下的实力因子年收入指标1 万元1.5万元2 万元2.5万元3 万元3.5万元4 万元5 万元10 万元3552.57087.5105122.514017535042.039363.058984.0786105.098126.118147.137168.157210.196420.393（3）模型建立与求解于是作出如下的指标函数：即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的奖项和奖金设置对彩民的吸引力。另一方面，由题意知，单注所有可能的低项奖金总额为，根据高项奖的计算公式得单注可能的第项（高项奖）奖金额为： ， 故平均值为 （2）于是由（1），（2）式得 （3）利用可计算出29种方案的合理性指标值及高项奖的期望值，得出各个方案的合理性指标，这里我们给出前三种方案的具体情况如下表三，剩余各种情况见附录中的表三。 指 标方 案排 序97/304.009×10-71.086×1062067914101117/313.784×10-71.704×106324482116257/293.637×10-77.557×10535984171435.2问题二的求解5.2.1模型的建立根据问题一的讨论，现在的问题是设计出一个最优的方案即取什么样的方案/（和取何值）、设置哪些奖项、 高项奖的比例为多少和低项奖的奖金额为多少时，使目标函数有最大值。设以，为决策变量，以它们之间所满足的关系为约束条件，则可得到非线性规划模型： 对约束条件的说明： 条件（3）（4）是对高项奖的比例约束，的值不能太大或太小，（4）是根据已知的方案确定的； 条件（5）是根据题意中一等奖的保底额和封顶额确定的； 条件（6）中的分别为等奖的奖金额比等奖的额高的倍数，可由问题一的计算结果和已知各方案的奖金数额统计得： 条件（7）在实际问题中高等奖的概率应小于低等奖的 概率，它的值主要有确定。条件（8）（9）是对方案中取值范围的约束，是由已知的方案确定的；5.2.2模型的求解这是一个较复杂的非线性（整数）规划，其中概率的取值分为四种不同的情况，都有整数变量确定，一般的求解是困难的。为此，利用Matlab可求解得最优解为，最优值为。故对应的最优方案为：32选6（6/32），一、二、三等奖的比例分别为80%、9%、11%，四、五、六、七等奖的金额分别为200、10、1、0元。将此方案用下图表示：前面是针对中等收入水平的彩民情况考虑的，对于经济发达地区和欠发达地区应有所不同。这里分别对年收入万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元,工作年限均35年的情况进行了讨论，给出适用于相应各种情况的最优方案，见附录表四。5.2.3给彩票部门的建议在保证彩票部门长期经营不亏损的情况下，尽量使获奖面扩大，如33选7改为29选7或28选7。增大对头等奖的保底及封顶金额，使彩票更具有刺激性。5.3问题三彩票想说爱你不容易近年来，全国各地屡屡上演“购买彩票，一夜暴富”的神话，许多市民变成了乐此不疲的彩民。每到开奖时分，有人呼吸加快、心跳加速，有人双手合十、默念祷告，直至选中的彩票号码与中奖号码擦肩而过，一个个仿佛是被“霜打过的茄秧蔫了”。总幻想“幸运之神”会敲开自家大门，心有不甘的他们又再次走向投注站，周而复始过起了肥皂泡似的彩民生活。因此我们首先要端正购买彩票的态度，理性购买彩票。中国的彩票市场里在考验彩民智慧的同时，更考验着大家的买彩心态。有些彩民朋友在经历了数次不中奖的打击后急于求成，固执己见，盲目投注。越是不中越投，而且越投越多。还有人对自己失去信心，有病乱投医，盲从于他人的推荐，对自己所投注的彩票没有进行研究分析，使购彩成为了不理智行为。还有一类彩民搭上了彩市大奖频出的好形势，小有收获。于是沾沾自喜，盲目加大购彩力度，希望雪球越滚越大，谁劝也不去听，谁阻也拦不住，相反还嘲笑劝阻者，到后来是越陷越深，最后搞的伤筋错骨，一落千丈。原来的收获不但没有了，还把自己的老本亏进去了。购彩心态折射出的是生活百态。缺乏理性购彩思想的人在生活中也往往不能明确人生的方向，也会盲目跟从他人的一些行为，自己不会冷静的思考适合自己的最佳路径。把握尺度，合理购彩。我们知道买彩票中奖是一个概率事件，而想要中得一等奖等大奖的概率更是很小，因此我们投入大量的金钱去购买彩票是很不理智的。就比如“传统型”的“10选6+1”方案，我们通过计算知道获得一等奖的概率为显然这是一个很小的数，也不是像某些彩民所认为的他买注就一定可以获得一次大奖。因此广大彩民购买彩票的同时一定要把握好尺度，合理购买彩票。树立良好彩民形象。众所周知，彩票发行的目的是为了公共事业筹措资金，中奖的概率微乎其微，能够中大奖纯属偶然。一些彩民置自身经济状况和家庭于不顾，投注成瘾。极个别人甚至铤而走险、孤注一掷，坠入违法犯罪的深渊，给家庭乃至社会造成严重的不良后果。据相关数据显示，中国“问题彩民”已逾700万人，重度“问题彩民”达到43万人。对此，全社会不能置若罔闻。相关部门应着手建立对“问题彩民”的心理干预机制，对投注成瘾的“心魔”予以管束和矫正。同时，要教育引导彩民摒弃“一夜暴富”的幻想，千万不要盲目冲动，以平常心对待彩票。必须承认的是，福利彩票发行20多年来，确实帮助了不少人，应该说是利大于弊，但其带来的负面影响也是不容忽视的。报纸上经常报道，有的彩民朋友在经历了数次不中奖的打击后急于求成，“走火入魔”，盲目投注，最终导致家破人亡，酿成社会悲剧。有的彩民偶尔小有收获后便沾沾自喜，盲目加大购彩力度，希望雪球越滚越大，最后越陷越深，不仅原来的收获没有了，还把自己的老本也赔了进去。集中彩民的钱，本来旨在帮助一些困难群体，促进社会和谐，如今却也破坏了个别家庭的幸福，这是违背福利彩票初衷的，也是我们不愿意看到的。因此，购买彩票回归理性是必要的，要抱着一颗平常心，既有对中奖的期待，也要有失落的心理准备和承受力，一张彩票可以发财，也可以破家，彩票只是个游戏，切勿沉迷。六、模型评价与改进6.1优点本模型全面考虑了彩票的收益、博彩心理等因素，建立了一个对彩票方案进行评价的模型。结合实例，用本模型可以寻找一种最优的彩票销售方案并能对给定的方案进行评价。本文模型充分考虑了影响彩票发行方案的各个因素，提出了吸引力函数的值来映射彩票发行方案的合理性，计算结果显示了本文模型的合理性。6.2缺点本模型是对固定的销售注数的基础上，分析了给定购买彩票的评判规则，并求出了最优方案，但是始终没有能够脱离销售注数考虑问题。而且没有解决设计不同的方案还会影响到销售注数。七、模型推广通过以上分析我们可得出此模型在现实中具有极大的推广价值，比如在自动控制，计算机与信息处理等众多领域的应用研究与开发，当然在其社会生活如股票风险、金融投资等方面的应用也不容忽视八、参考文献1 姜启源，数学模型(第二版) M ，北京: 高等教育出版社, 1993.2 倪新华，彩票中的数学J，湖州师范学院院报，2003，26（5）。3 韩立岩，汪培庄，应用模糊数学M.首都经济贸易大学出版社，19984 王松桂，程维虎，高旅端.概率论与数理统计M.北京：科学出版社，2000.附录表四：不同年收入下的最优方案年收入指标1万元2万元2.5万元3万元4万元5万元10万元42039384078610509821261179168157121019644203928最优方案5+1/336/327/306/376+1/327/337/358.255×10-74.623×10-74.103×10-73.223×10-72.475×10-72.075×10-71.828×10-70.800.800.730.700.730.730.800.100.90.170.150.190.180.130.100.110.100.150.070.090.076.5×105618×1051.38×106146×1062.23×1062.99×1063.91×10630371200044750652172227211.07×1059425260760012351739150719741746138200100200100200103710102020102011522250000003表五：29种方案的合理性指标方案指标()()()()排序57/295.03640.755660.359841.7135166+1/294.80560.659271.24861.2486287/304.43150.945350.192931.7539377/304.12070.831530.274131.6614497/304.091.08560.206791.40995117/313.8781.70350.324482.1161616+1/103.25812.4673752.46741.64497127/323.16211.77280.584453.24708107/313.08970.795290.284032.05829137/323.06421.90920.389643.247010147/323.05872.04560.389642.435211286/402.75302.99260.608251.474612295/602.68072.92211.94793.60751326+1/102.52491.92531.60447.130614157/332.46232.46120.502294.018315167/332.43462.39030.455292.73181636+1/102.30972.08571.20337.13061746+1/102.29972.24611.20335.34818177/342.22993.14191.03585.311719187/342.07083.03930.766224.911720197/351.94534.28711.31244.860721227/351.65274.38800.783572.902122207/351.62993.37650.689075.104323217/351.59593.22080.613473.408224237/351.49014.281925277/371.45495.47321.67555.777626267/361.43364.86589.93027.092927256+1/361.24324.7780.205953.432528246+1/361.23814.48571.93353.222529