有关对角矩阵的证明与应用数学专业本科毕业论文.doc

本科生毕业论文设计有关对角矩阵的证明与应用有关对角矩阵的证明与应用摘要：矩阵的对角化是反映矩阵性质的一个重要概念,不论是对数学专业学生学习高等代数还是非数学专业学生学习线性代数而言学习和理解它的含义都是十分必要的。通过本篇论文主要研究矩阵的对角化的有关问题,总结了矩阵对角化的运算,性质,求法,以及在解决高等代数，常微分方程、空间解析几何的问题中所渗透的一些与矩阵对角化相关的知识,使得对矩阵的对角化有了更加深刻的理解与认识,从而能够更加灵活运用相关知识解决相关问题.关键词:矩阵的对角化 特征值 特征向量Identification and application of the diagonal matrixAbstract:Diagonalization of the matrix is a reflection of an important concept matrix properties, whether for mathematics majors of Higher Algebra and not learn mathematics majors in linear algebra to learn and understand the meaning of it is necessary. This paper mainly studies the diagonalization of matrix problems, summarizes the diagonalization of matrix operations, properties, method, as well as in linear algebra and matrix diagonalization, some knowledge related to the permeability of ordinary differential equations, spatial analytic geometry problems, makes the diagonalization of matrix with understanding and a more profound understanding, which can be more flexible use of knowledge to solve related problems.Keywords: diagonalization of the matrix eigenvalue eigenvector1 有关对角矩阵的证明1.1 有关对角矩阵的分解第一种情况：对任意一个n级矩阵A的顺序主子式都不等于零，我们可以利用初等变换将其化为一个上三角矩阵，即A等于一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。而每一个上（下）三角矩阵又等于一个单位上（下）三角矩阵和一个对角阵的乘积。利用以上结论可以证明一些例题。例1：设n级矩阵A的顺序主子式都不等于零，则A可以唯一的分解成A=LDU的形式，其中L为单位下三角矩阵（对角线元素都是1的下三角矩阵），D为对角矩阵，U为单位上三角矩阵。证明：令A= ，由于n级矩阵A的顺序主子式都不等于零故a110，用-ai1/a11(i=2,3, )乘以第一行依次加到以下各行，又由于A的顺序主子式都不等于零，则a220，依次往下消零，相当于A进行一系列初等变换得到一个上三角矩阵。A=PQ,P为一系列初等下三角矩阵之积仍为下三角矩阵，Q为最后A经变化所得的阶梯形上三角矩阵。令P=，Q=.下面用数学归纳法证明上面A可以分解成A=PQ的形式是正确的。当n=1时，A=PQ显然正确。假设当A为n-1阶矩阵时结论成立，则当A为n阶矩阵时有A=。其中A1=P1Q1 ，P1 为下三角矩阵，Q1为上三角矩阵。A= . =。令=，=Q，则为下三角矩阵从而p也为下三角矩阵，Q为上三角矩阵。那么A=PQ。P= ，Q=.令L=，D=，U=。则A=LDU其中L为单位下三角矩阵（对角线元素都是1的下三交矩阵），D为对角矩阵，U为单位上三角矩阵。下证A=LDU分解的唯一性。假设又有A=也满足分解条件，则LDU=，LDU=,L=,由于等式左边是单位下三角矩阵等式右边是单位上三角矩阵，故L=E,即L=。同理，U=。从而D=。唯一性得证。第二种情况：利用分块矩阵和若A可对角化则存在可逆阵T使A=T，我们可以证明一些有关矩阵分解的问题。例2：设A是n×n方阵，A有k个不同的特征值.证明：若A可对角化，则必存在n×n幂等阵, ,使得（1）=0（ij）；（2）（是n×n单位阵）；（3）A=。证：（1）由于A可对角化，因此存在可逆阵T，使A=T，其中，, 均为，, 阶单位阵，且+=n。令=T，（i=1,2，,k）,则=，（i=1,2，,k），此即为幂等阵。且=0（ij）。（2）=T=T=。（3）=T=A。1.2 证明一个矩阵可对角化矩阵相似对角化的定义：所谓矩阵相似对角化是指矩阵和某对角形矩阵相似。定理1：n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A可对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理2：设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使=，其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。定理3：若A的每一个特征值的几何重数和她的代数重数相等，则A可对角化。第一种情况：用定理1来做下面证明题。例3：设n阶方阵A满足=A,且r（A）=r<n.证明A相似于对角矩阵。证：设A=（0），即是A的特征值，是A对应的特征向量。用右乘=A得=A，于是有=，即（-）=0，由0得-=0，从而=1或=0.由0=-A=A（A-E），得r（A）+r(A-E)n.又有r（A）+r(A-E)= r（A）+r(E-A)r(A+E-A)=r(E)=n故有r（A）+r(A-E)=n。于是，由题设条件r（A）=r<n得r(A-E)=n-r，从而齐次线性方程组A=（A-0E）=0的基础解析含有n-r个解向量，即A的属于特征值=0的线性无关特征向量有n-r个；而齐次线性方程组（A-E）=0的基础解析含有r个解向量，即A的属于特征值=1的线性无关特征向量有r个。这表明A共有n个线性无关特征向量，从而A可对角化。故A相似于对角矩阵。第二种情况：用定理2来做下面证明题。例4：设n阶方阵A的n个特征值互异，又设n阶方阵B满足AB=BA，证明B可对角化。证：设A的n个互异特征值为，则存在n阶可逆矩阵P，使得AP=。由题设AB=BA，有AB=BAP，即（AP）（BP）=（BP）(AP),也即（BP）=（BP）。设D=BP=，则由D=D得=，即（-）=0.于是由（ij）知=0（ij）即D= ，故B可对角化。例5：证明：n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是对每个数w，由可以导出，其中E是单位方阵，x是n维列向量。证：是的解空间，是 的解空间，条件“可以导出”的含义是但总有。因此本体可改为n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是对每个数w，总有=。先证必要性。设。其中，, 为A的全部特征值。当w（i=1,2，,n）时，T=。从而T=。所以秩=秩，于是=n-秩=n-秩= 。而，从而=。当（还可能有多重特征值。证法类似）时，有T=。从而T= 仍有秩=秩。所以=即=。再证充分性。设=。用反证法，若A不相似于对角矩阵，一定存在若当性矩阵J使其中，1.那么令w=a，则T=T=从而从而与=矛盾。所以假设不成立。进而A相似于对角矩阵。证毕。第三种情况：用A可对角化的充分必要条件（3）A的每一个特征值的几何重数和她的代数重数相等来做一些证明题。例6：设A是n阶方阵，满足=I，证明A可对角化。证：设A的特征值为a，对应的特征向量是X。则可得X= X=X，因而有=1，所以A的特征值为=1，=-1.设=1的代数重数为，=-1的代数重数为，则有+=n。现在来求它们的几何重数。设=1的几何重数为就是方程组（I-A）X=0的基础解析所含向量的个数，因而=n-r（I-A）。设=-1的几何重数为就是方程组（I+A）X=0的基础解析所含向量的个数，因而=n-r（I+A）。由于r（I-A）+（I+A）r（I-A）+ r（I+A），得到nr（I-A）+ r（I+A）。另一方面，有（I-A）（I+A）=0，得到r（I-A）+ r（I+A）n。故有r（I-A）+ r（I+A）=n。进一步得到+=n。又由于几何重数不大于代数重数，所以它们相等。由此知A可对角化。例7：设A是一个n阶复矩阵，f()是A的特征多项式，求证：A可对角化的充分必要条件是如果a是f()的k重根，则aE-A的秩等于n-k。证：设f()=。其中 ，, 互不相同，且 + =n.(1)先证必要性。设A相似与对角阵，即存在可逆阵T=（），使AT=则（E-A）=.所以秩（E-A）=+ =n-。类似可证秩（E-A）=n-（i=1,2，,s）。（2）再证充分性。由于秩（E-A）=n-（i=1,2，,s）。因此（E-A）=0的基础解析所含向量为个（i=1,2，,s），那么在（E-A）=0中，有个线性无关的特征向量为；在（E-A）=0中，有个线性无关的特征向量为；; 在（E-A）=0中，有个线性无关的特征向量为。而且不同特征值的特征向量有线性无关，令T=（）则T为可逆阵而且AT=（）此即AT=故A可对角化。2.矩阵对角化在数学中的应用2.1 用矩阵对角化的方法证明高代里的一些问题第一种情况：利用对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使AT =AT成对角形。再结合正定矩阵和一个对角线上元素全都大于零的对角矩阵合同可以证明一些有关正定矩阵的问题。例1：已知A,B均为n阶实对称正定阵，且有AB=BA，试证：AB也是正定矩阵。证：AB，=BA=ABAB是n阶实对称阵。可以证明：存在同一个实可逆阵，使AT=，BT=。事实上，存在正交阵P，使AP=，其中是单位阵，互不相同。有AB=BA得（AP）（BP）=ABP=BAP=（BP）（AP）于是BP=BP=,其中与是同阶方阵（i=1，2，,n）由=B，可得=（i=1，2，,n），从而存在正交阵，使=（i=1,2，,s）都是对角阵，再令Q=那么Q是正交阵，且令T=PQ，则BT=（BP）Q=为对角阵。AT=也为对角阵，从而得证式成立。由于A,B正定，所以>0, >0(i=1,2,n)进而=（AT）（BT）=>0(i=1,2,n),AB是正定阵。例2：设A,B都是n阶正定矩阵，证明：如果A-B正定，则也是正定矩阵。证：有A为正定矩阵，则有可逆阵T，使AT=E，显然BT为对称阵，则存在正交阵Q使，其中，, 为BT的特征值。令P=TQ，则AP=E, BP=.由B正定T可逆知BT为正定矩阵，所以，, 全大于零。由（A-B）P=且A-B正定知，, 全小于一。由=P，=P，所以-=P，故（-）=。由于0<<1, ,所以-1>0,故-合同于一个对角线元素都大于零的对角矩阵，即也是正定矩阵。例3：1、设A为n级实对称矩阵，则存在实数a，使得aE-A为正定矩阵，这里E为单位矩阵。2、设A,B均为n级正定矩阵，为A的n个特征值，为B的n个特征值。证明：若对于任意的i，j，均有>,则A-B为正定矩阵。证：1、因为A为实对称矩阵，所以aE-A也为实对称矩阵，a为任意值。令A的特征值为，只需实数a使a>max,即有aE-A的特征值为。全部大于零，故存在实数a，使得aE-A为正定矩阵。2、令=min，=max，则由于对于任意的i，j，均有>,那么>.由于实数的稠密性知存在c，d,使>c>d>.由于A,B均为n级正定矩阵，再由于1、的证明过称知= ，= 。还有存在正交阵P,Q使= , = ，从而= ，= 。由于-c>0()，d- >0（），故，全为正定矩阵。由此对于任意的X0有=X+X>0,且=故为正定矩阵。由于=A-B，故A-B存在n个特征值，不妨设为，故存在正交阵M使M(A-B)= 故M(c-d)E+（A-B）)= 。由为正定矩阵知d-c+>0, .即>c-d>0, 。故A-B与一个对角线元素都大于零的对角矩阵合同，所以A-B为正定矩阵。第二种情况：利用对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使AT成对角形。证明一些矩阵的秩相等的问题。例4：设A，B为数域P上的两个不同的n阶对称矩阵，且r(B-A)=r，这里r(A)代表矩阵A的秩。证明：存在r-1个n阶对称矩阵，使得r(-A)=r()=r(B-)=1,i=1,2,r-2.证明：由于A,B为对称矩阵，故=A, =B. =-=B-A,从而B-A为对称矩阵。由r(B-A)=r，故存在正交阵P使(B-A)P=，故B-A=P，其中，为B-A的r个非零特征值。不妨令-A=P，, -=P,B-=P,故r(-A)=r()=r(B-)=1,i=1,2,r-2.且=A+P，=+ P,B=+ P。由A为对称矩阵，P为对称矩阵，从而为对称矩阵，进而全为对称矩阵且r(-A)=r()=r(B-)=1,i=1,2,r-2.2.2 简化矩阵乘方的计算如果A可对角化，即存在可逆阵P使AP=，两边做k次方，因而P=，得到计算矩阵乘方的公式：=P。例5：设A=，求。解：由于A的特征多项式为aE-A=(a-1)( -25),故A的特征值为。设V是复数域上的一个三维空间，T是在基下方阵是A的一个线性变换，则T的属于特征值1,5，-5的特征向量分别有=，=2+2，=-2+。由基到基的过渡矩阵为Q=由此可得AQ=，Q=。故=Q=.经计算得当k为偶数时，=；当k为奇数时，=。例6：设A= ，求（n为正整数）。解：计算可得|E-A |=（-3）（+1），所以A的特征值为=3，=-1.当=3时，得特征向量为。当=-1时，得特征向量为。令P= ，则AP= 。由得P=可得=P=。2.3 矩阵对角化在空间解析几何中的应用由于空间解析几何中的有些二次曲面的方程与二次型的标准型有关，而二次型的标准型可由二次型经正交变换得到，故矩阵对角化在空间解析几何中有着广泛的应用。例7：求一正交变换，将二次型f(,)=化为标准型，并指出f(,)=1表示何种二次曲面。解：二次型的矩阵为A= 。可求得|aE-A|= （a+7）于是A的特征值为= =2，=-7.可求得对应= =2的特征向量为，将其正交化再单位化得又对应=-7的特征向量为，故=。从而正交变换化二次型为f=。可知f(,)=1表示旋转单叶双曲面。例8：已知二次曲面，可已经正交变换化为椭圆柱方程+4=4.求a，b的值和正交矩阵P。解：f(x,y,z)= ,且f对应的矩阵为A，则A=。再设f(,)=+4,对应的矩阵为B，则B=。因为A与B相似，所以A与B有相同的特征值=0，=1，=4.将=0，=1，=4分别代入|E-A|=0.可解的a=3,b=1,所以A=.当=0时，得特征向量，当=1时，得特征向量，当=1时，得特征向量。将它们单位化得。则所求正交矩阵P为P= = 。2.4 矩阵对角化在常微分中的应用由于微分方程组中每一方程都包含若干个变量，直接求解不方便；如果利用矩阵可对角化的理论，问题的求解就容易得多。例9：解微分方程组解：令，A=，= 则微分方程组可表示为=A，可求得A的特征值为=7，=-2对应2重特征值7有2个线性无关的特征向量，又A对应=-2的特征向量为故A可对角化。令则=。令x=Py，其中y=，则易验证=p。带入=A，得p=APy，即=（AP）y=vy写成分量形式为=7，=7，=-2解得=，=，=（为任意实数）故由x=Py，得（为任意实数）。此外，根据矩阵=exp（At）是=Ax的基解矩阵，且=E，利用对角矩阵可以较容易的解决一些求基解矩阵的问题。例10：试求=x的基解矩阵。解：因为A=+，而且后面的两个矩阵是可交换的，我们得到exp（At）=expt ×expt=但是=，所以级数只有两项。因此，基解矩阵就是Exp（At）= 。例11.如果A= ，试求exp（At）。解：这里n=5，=-4是A的5重特征值，直接计算可得=0。因此，利用公式exp（At）=可得exp（At）= ，这样一来exp（At）=待添加的隐藏文字内容33.对角矩阵在实际生活中的应用对角矩阵在实际生活中有着广泛的应用，这里只是略微谈一下。例1：某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的统计，然后将1/6熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和，记成向量。（1） 求与的关系式并写成矩阵形式=A；（2） 验证，是A的两个线性无关的特征向量，并写出相应的特征值；（3） 当时，求。解：（1）由题设可列出与的关系式=5/6+2/5(1/6+);=3/5(1/6+)化简得=，于是A=。（2）令P=，则由|P|=50知线性无关。因为A=，故为A的特征向量，且相应的特征值为=1.又因为A = = ，故为A的特征向量，且相应的特征值为= 。（3）=A=由=，有A=P。于是= P ，又=1/5，故=1/5=1/5因此=。参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数【M】.北京：高等教育出版社，2003.2张禾瑞.高等代数第五版【M】.北京：高等教育出版社，2007.3钱吉林.高等代数题解精粹【M】.北京：中央民族大学出版社，2006.4徐仲，陆全.高等代数考研教案【M】.西安：西北工业大学出版社，2009.