数学专业毕业论文黄金分割的应用.doc

本科毕业论文（ 2011 届）题 目 黄金分割的应用 学 院 数学与信息工程学院 专 业 班 级 学 号 学生姓名 指导教师 完成日期 2011年5月 摘 要黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星以及许多动物如昆虫的身体结构，特别是人体部份结构更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建筑门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕、电视屏幕，以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。它还表现艺术中，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用。有许多美术家运用它创造了不少不朽的著名。黄金分割是一门及其深奥的学问，要人类不断的去寻找、思考，才能对它了如指掌。也许在未来，它可能在我们的生活中起到很大的作用。关键词黄金分割；斐波那契数列；黄金比例AbstractThe golden section before than in has not found in the objective world will exist, just when people reveals the secrets of it later, just a clear understanding. When people according to this law to look again, when nature amazed to find the original in nature's many beautiful things, such as the can see it leaves, flowers and plants of snowflakes, a star. Many animals, insects, body structure, especially in the human body has a wealth of gold more than relationships. When people know this natural law, after is widely applied in human life. After that, in our life environment, everywhere, such as building doors and Windows, ambry, desk; We often contact books, newspapers and magazines; Modern movie screens, television screens, and and many household items are the approximate the number composed of than relations. It also performance art, in art history once put it as a classic laws to applications. There are many artists use it created a lot of immortality of famous. The golden section is a door and esoteric knowledge, to human constantly seek and thinking, it could well. Maybe in the future, it may be in our life played a big role.KeywordsGolden section; Fibonacci sequence; Golden ratio目 录1引言12黄金分割的起源23神奇美妙的黄金分割23.1“黄金分割法则”神奇的数字之美23.2黄金分割法则的布局之美33.3黄金分割法则的比例之美54斐波那契数列与黄金分割75黄金分割在建筑中的应用106结束语14参考文献15谢辞16黄金分割的应用The golden section of applications数学与信息工程学院 数学与应用数学专业1.引言世界上万事万物的形式是丰富多彩的，因而关于形体的比例也是多种多样的。人们最常见的一种和谐的比例关系，就是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”，又称“黄金段”或“黄金律”。黄金分割是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，这样的比例关系的比值大致是1：0.618或0.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。德国数学家阿道夫·蔡辛曾经断言说：宇宙万物，不论花草树木，还是飞禽走兽，凡是符合黄金律的总是最美的形体1。毕达哥拉斯学派在五角星中首先发现了这种数理关系，当年仅仅用于对建筑、雕塑等现象的解释。今天，黄金分割不仅为建筑、工艺、绘画、雕塑、模具等造型艺术广泛采用，而且还为工业产品设计、日常生活用品的造型所普遍借鉴和利用，例如汽车、电视、机床、房屋、桌椅、书报、邮票、黑板、提包等等，在外形上绝大多数符合3:5、5:8、8:13、13:21、21:34等的近似黄金分割比例关系。在摄影艺术中，特别讲究将一张胶片分为九个黄金格，中间一格的四个角为四个黄金点，相片主体的位置越靠近黄金点，其主体形象就越鲜明、越突出、越具有开放性和感染力。有人还对一些著名的音乐作品进行了分析，他们发现：乐曲中华彩乐段即最感人的高潮旋律的出现，大多数和黄金分割点相接近。这就是为什么黄金分割会成为人们所喜爱的比例，主要是由于这种比例关系合乎一般事物的常态，它可能就是某些物种和人的形体等形式的内在固有尺度，令人感到顺眼、舒服。2.黄金分割的起源“黄金分割”的发现最早要追溯到公元前五世纪古希腊著名数学家、哲学家毕达哥拉斯和他的学生们。是他们最先发现正五边形的边长与其对角线之比恰为黄金比，并最先找到正五角星的尺规作图法，因此毕氏学派的标志正也成了五角星。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割，并建立起比例理论。公元前3世纪前后欧几里得撰写几何原本时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关“黄金分割”的论著。几何原本第二卷就提出了著名的“黄金分割”问题：分割已知的定线段，使得整个线段和它的一段所构成的长方形与另一段所构成的正方形等积3,4。将问题适当变形就成为以下问题：给出任意一个线段，在其上找一点，使得较长部分和较短部分满足这样的条件：。为了确定的位置，令。解得两根：和，其中第一个根是，这样点的位置就确定了。人们把及其倒数统称为黄金比（黄金数），它被希腊人广泛地应用于建筑和艺术之中。例如，古希腊的巴特农神庙，其高和宽的比非常接近黄金数。中世纪，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家巴巧利称此为“神圣比例”，并专门为此著书立说：文艺复兴时期，许多艺术大师把黄金比应用到他们各自的艺术上，形成了黄金分割学派，把黄金分割与人们的审美观点联系在一起。“黄金分割”的名称也从此由意大利美术家、自然科学家、工程师列奥那多·达·芬奇在这一时期提出2。3.神奇美妙的黄金分割3.1“黄金分割法则”神奇的数字之美“黄金分割”，一个人们陌生而又熟悉的名词。但人们对其的了解却往往停留在文字层面：将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为10.618 或1.6181。这个比值即称为黄金分割。看到图1 所示这条完美的数学曲线的时候，怎会不令人由衷地赞叹，这就是科学与艺术的完美结合6。图 1 完美的数学曲线科学与艺术自古就是一枚硬币的两个面，黄金分割就是一个典型的代表。科学家和艺术家普遍认为，黄金分割是设计师需要遵循的首要原则。例如在建筑设计中，人们通常会在高塔的黄金分割点处搭建楼阁或设计平台，以便使平直单调的塔身变得丰富多彩；同时也会在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，以使整个楼体显得雄伟雅致。从古希腊的巴特农神庙、举世闻名的巴黎埃菲尔铁塔，到当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，无不隐含着黄金分割的数据。在出版领域中，黄金分割法则的使用表现得就更为普遍：按照正规裁法得到的8 开、16 开、32 开等纸张，都采取了黄金分割的近似值5。在实际的艺术创作中，黄金分割到底发挥着怎样的作用呢？下面就从黄金分割法则的布局之美（宏观全局）与比例之美（微观个体）两个不同的角度来发掘黄金分割法则那神奇的数字之美。3.2黄金分割法则的布局之美清代画家方薰在其山静居画论中曾经这样形容画家的创作：“一如作文，在立意布局新景乃佳。不然，缀辞徒工，不过陈言而已。”由此可见，布局在美学中的重要地位。布局，多指艺术作品画面中的各组成元素之间位置上的宏观摆放关系。由于黄金分割率10.618 接近32，因此在实际设计中我们基本可以按照“三分原则”来进行实际操作。具体来讲，就是将作品画面平均划分为横竖三等份。其中，线与线的相交处是画面的焦点，而每一分割线（垂直分割线或水平分割线）应该是画面中重要景物所接近的空间位置。如图2、图3所示，它们是针对同一景观不同取景的布局。通过比较，我们会发现图3的布局更为美观。如果我们仔细观察图3会发现：垂直方向上，左上方的树枝、右侧的整棵柳树，水平方向上，湖水的水平面等，均处于布局中的“三分线”附近。至此，我们终于发现了在理性的数字与感性的艺术之间这座奇妙的连接桥梁，这就是黄金分割法则的巧妙应用。图 2 布局之美图 3 布局之美3.3黄金分割法则的比例之美美学中的比例多指一种事物在整体中所占的份额或同一事物各个不同部分之间的大小关系。如果我们应用黄金分割法则这种奇妙的比例法则来观察周围的世界，就会发现其应用领域非常之广：从生活中的门、窗、桌子、书本之类的物体，到生物界的蝴蝶、人体无不包含着奇妙的比例之美。当10.618 这一比例关系一经出现，一种和谐、平衡、舒适美感立刻就会被营造出来。下面，我们以获得中国出版政府奖的电子出版物盛世钟韵的界面（如图4所示）为例来分析研究。图 4 盛世钟韵一般我们将屏幕宽度和高度的比例统称为长宽比（Aspect Ratio），也称为纵横比、屏幕比例。从19世纪末期一直到20 世纪50 年代，几乎所有电影的画面比例都是标准的1.331（这种比例通常简称为43）。即电影画面的宽度是高度的1.33 倍。20世纪50 年代，为了方便将电影搬上电视屏幕，美国国家电视标准委员会（NTSC）最后决定采用学院标准作为电视的标准比例，这也就是43 电视画面比例的由来。这一思路同样影响了20 世纪80 年代计算机屏幕比例设计标准的制定。直到今天，我们通常所使用的屏幕尺寸依然为1024×768 像素，这也符合43的比例。然而，随着时代的进步发展，人们在满足功能的要求之后，也逐渐提出了更高的审美需求。如今人们开始不再满足43的比例，而且逐步设计出如169这类更接近黄金分割值的屏幕比例。电子出版物盛世钟韵界面的比例设计标准就是借鉴了黄金分割的比例，如图5所示的分析可见，该出版物界面中主体形象（如古钟、标题、翻卷的页面等）并未充斥整个屏幕高度，而是将其尽量集中压缩设计在高度为633个像素的空间之中。这样的比例设计能给读者一种视野范围更为宽阔、视野深度更为深邃的视觉享受，同时由于遵循了黄金分割比例，整个界面看起来显得非常协调、美观，从而获得艺术上的成功。图 5 盛世钟韵由此可见，无论大到艺术作品整体（宏观全局）的经营布局方面，还是小到整体中某一物件（微观个体）的细致塑造上，黄金分割法则都在其中起着至关重要的作用。黄金分割这一数学上的比例关系具备着严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。它改变了“美”完全凭借艺术家灵感获得或类似“我创作的美都是在头脑里完成的”这样片面地形容美感创作由来的观点，为科学与艺术的相互演变关系提供了有力的支撑佐证，为人类展示出神奇美丽的数字之比。4.斐波那契数列与黄金分割高中数学必修5的课本封面上有一棵奇妙的树，该树从下往上的树枝数依次是1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21其特点是：从第三项起每一项都是它前两项的和。这就是著名的斐波那契数列，该数列是意大利数学家斐波那契于1202年从兔子繁殖的问题中提出，人们为了纪念他，就把这种数列称为斐波那契数列6。若设该数列为，则它的一个递推公式为：，且满足。我们不禁可以联想到一个问题：这个数列的一个递推公式已经知道了，我们可不可以求出它的通项公式呢？另外，课本中又提到一个有趣的现象：对于斐波那契数列的每一项与它的后一项的比值随着的增大，该比值越来越接近于黄金分割比例。 这个是偶然的还是必然的呢？有没有什么依据呢？这正是本文将要阐述的问题。若数列满足, 则存在实数使得新数列是以为公比的等比数列。其中实数满足方程,公比或。这里通常称方程是递推公式的特征方程(相当于将递推公式移项成后，再分别将、换成得到)。对于上述两结论的推导可用待定系数法根据对应项系数相等推出。以下对结论2给出推导过程：推导 设,整理得。因为,根据对应项系数相等得消去q得。接下来我们需要解决的问题可以简述为:已知斐波拉契数列满足且。（1）求数列的通项公式; (2)当n无限接近于无穷大（记作）时，比值无限接近于黄金分割比例（记作）分析 （1）因为，根据结论2知: 存在实数使得新数列是以q为公比的等比数列, 且相应的特征方程为，解得，不妨取（时结果不变）。此时公比，新数列的首项。所以两边同时除以，得=。设，则。由结论1知，存在实数使得新数列是以为公比新数列首项。所以，从而有。故所要求的的通项公式为。（2）由上面的解答知，分子、分母同除以，得，其中显然有。当时，。所以比值结论2中的“特征方程”特征鲜明，结构简洁完美，令人过目难忘。中学阶段可以作为一个结论记住。今后遇到这一类的问题便会迎刃而解；在解答第（1）问的过程中，两边同除以，目的是为了运用整体换元的思想化归为结论1中的形式从而使问题得到解决。这种在数列中运用整体换元的思想转化为熟悉的特殊数列的解题思路，在近几年高考中屡见不鲜，如(2009年)全国卷的和中的数列解答题都考查了这种解题思路；斐波那契数列的通项公式形式对称、充溢着数学的美感，又与黄金分割比例密切相关，不禁令人叹服造物之神奇8。5.黄金分割在建筑中的应用黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。建筑师们对数字0.618特别偏爱，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”。无论是古埃及的金字塔、古希腊的巴特农神殿、古埃及胡夫金字塔、印度泰姬陵、中国故宫、法国巴黎圣母院这些著名的古代建筑，还是遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面，都有意无意地运用了黄金分割的法则，都有与0.618有关的数据，给人以整体上的和谐与悦目之美。黄金分割率就像它的名字一样，是一笔神秘而又美丽的宝藏11。例如，法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是85，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。从外面仰望教堂，那高峻的形体加上顶部耸立的钟塔和尖塔，使人感到一种向蓝天升腾的雄姿。巴黎圣母院的主立面是世界上哥特式建筑中最美妙、最和谐的，水平与竖直的比例近乎黄金比10.618，立柱和装饰带把立面分为9块小的黄金比矩形，十分和谐匀称。后世的许多基督教堂都模仿了它的样子12。图 6 著名的巴黎圣母院埃及是世界上历史最悠久的文明古国之一。金字塔是古埃及文明的代表作，是埃及国家的象征，是埃及人民的骄傲。古埃及的金字塔充分体现了黄金分割的艺术美，具有典型性的胡夫金字塔，是第四王朝第二个国王胡夫的陵墓，建于公元前2690年左右。由于缺乏史料记载，有关金字塔的许多疑团很长时间以来一直难以解释，探索和研究金字塔还在继续向着广度和深度开发13。图 7 胡夫金字塔古希腊巴特农神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比是0.618。建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、美丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、漂亮。连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。图 8 巴特农神庙至今这还是世界最美丽的建筑之一，这神庙建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的。如果我们在巴特农神庙周围描一个矩形，那么发现它的长是宽的大约1.6倍，这种矩形称为黄金矩形14。除了国外著名的巴黎圣母院、胡夫金字塔、雅典巴特农神庙、纽约联合国大楼、印度泰姬陵具有黄金分割外，在我国境内远近闻名的故宫同样具有，最突出表现在故宫“门”的设计上。故宫中轴线的众多的门，这些“门”的设置，含有空间上的阶段意义，也使“侯门深似海”的视觉效果达到了极致。著名作家汪曾祺40年代末曾在午门的历史博物馆工作，对此有所体会。他写道，午门是真正的“宫门”。进了天安门、端门，这只是宫廷的“前奏”，进了午门，才算是进了宫。有午门没有午门是大不一样的。没有午门，进了天安门、端门，直接看到三大殿，就太敞了，好像一件衣裳没有领子。有午门当中一隔，后面是什么，都瞧不见，这才显得宫里神秘庄严，深不可测。俯瞰紫禁城，中轴线上“门”及其它宫殿建筑的排列并不等距，疏密不同的间隔，可以产生出韵律感。从天安门至午门，一道狭长的空间，中间以端门相隔。端门的位置近天安门而远午门，并不取中。两段距离之比，大约为4比9左右。其比值0.692，接近于黄金分割律的0.618。端门至午门，午门至太和门的距离比，大约为17比8，比值也接近黄金分割点。再向前，午门、太和门、太和殿三点排列，太和门约略处于前后等距的位置上。然而，太和门前，五座内金水桥并列于中轴线上，起到分割线段的作用。内金水桥的位置偏近于午门，在午门与太和门之间形成黄金分割。同时，以这五座桥与太和门的距离，来比较太和门至太和殿的距离，也会获得一个接近于黄金分割律的数值15。黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩。图 9东方明珠塔位于上海黄浦江畔的东方明珠塔，是亚洲第一，世界第三高塔，它的塔身竟高达462.85米，仿佛一把刺天长剑，直冲云霄。要建造这样高而瘦长搭塔身，在造型上难免有些单调，然而设计师巧妙地在塔身上装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，它既可供游人登高俯瞰城市景色，又使笔直的塔身有了曲线变化，更奇妙的是，设计师有意将上球体选在295米之间的位置，这个位置恰好在塔身5比8的地方，这0.618的比值，使塔身显得非常协调、美观。当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。6.结束语黄金分割是数学里的美学，还有更多的神秘和美学有待发现、研究，关注数学，在生活中也能看得到更多的黄金分割的魅力。我们要首先感受并体会到数学学习中的美。数学美不同于其它的美，这种美是独特的、内在的。这种美，正如英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美，正象雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那样华丽的服饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有伟大的艺术能显示的那种完满的境界。”课堂上老师经常给我们讲数学美，通过高等数学的学习，我渐渐地领略到数学美的真正含义，这种感觉是奇异的、微妙的，是可以神会而难以言传的，数学，对我来说，是那样的富有魅力在生活中只要我们善于观察，善于思考，将所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣。生活中处处都应用着数学的知识。参考文献1李其明.趣谈“黄金分割”J.中学生数学,2006,(08):43-45. 2宗慧明.神奇的黄金分割律J.农村少年科学研究,2009,(02):23-24.3葛亚美.神秘的黄金分割J.考试周刊,2010,(42)89-90.4张中伟.黄金分割与0.618法J.学生之友(初中版),2003,(01):46-48.5张雄.黄金分割的美学意义及其应用J.陕西教育学院学报,1998,(03):31-33. 6江建文.毕达哥拉斯及其学派与黄金分割率J.阅读与写作,1998,(02):67-69.7金卫国.斐波那契数列与黄金分割比例J.高中数学教与学,2009,(12):42-43.8蔡克,吴敏.黄金分割与斐波那契数列J.九江职业技术学院学报,2003,(03)25-26.9唐擘.黄金分割在生活中的应用J.林区教学,2010,(05)62-64.10于洋武.黄金分割点J.小学生必读(中年级版),2007,(09):12-14.11陈凤萍.生活中的“黄金分割”J.中学生数学,2009,(12):124-125.12何栋国.优美的黄金图形J.中学数学,2004,(04):46-48.13韩玉海,王立华.黄金分割及黄金图形J.中学生数学,2006,(20)143-146.14张慧文.重点解读黄金分割探究寓于建筑中的美学法则J.美术大观,2009,(08):48-50.15陈险峰.浅析建筑设计的源动力J.国外建材科技,2005,(05):77-78.16张学衡.美术作品中的“黄金分割”J.美术观察,2008,(07):43-44.17钱劲.从黄金分割中去体验数学中的美J.中学生百科,2006,(26):15-16.18林德有,刘永坤.生活中的黄金分割J.网络科技时代,2005,(07):10-11.19Vannevar Bush.Science.The Endless FronitierJ.Transactions of the Kansas Academy,1945,48(03):231-264.20Morris Teubal.What is the systems perspective to Innovation and Technology PolicyJ.Journal of Evolutionary Economics,2002(12):232-257.谢辞忙碌了2个月的时间，这次毕业论文已经写完了。由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果不是在导师的督促指导，以及同学的帮助下，想要顺利完成还是有些困难。在这里我首先感谢我的导师xxx老师。贺老师平日里工作繁忙，但是我在写论文的每个阶段，从查阅资料，初稿的确定和修改，中间的检查，后期的修改等整个过程都给予了我细心的指导。除了敬佩老师的专业水平外，他的治学严谨和科学的研究精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作。同时还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下良好的专业基础；还要感谢所有同学，正是有了你们的支持鼓励，这次论文才能顺利完成。