数字化地震波信号去噪技术本科毕业论文.doc

大连理工大学本科毕业设计（论文）数字化地震波信号去噪技术The technology of digitized Seismic wave denoising学 院（系）：电子信息与电气工程学部 专 业： 电子信息工程 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 大连理工大学Dalian University of Technology摘 要在相当长的一段历史时期内，地震波信号是通过笔纸和滚筒等方式记录在纸图上，由于材质本身的问题，该种记录方式不适合长期保存。随着数字化记录方式的普及，将原始地震图中的地震信号数字化以方便存储和分析就成为了一项必要的工作。在数字化过程中，需要对波形进行跟踪，并将其转化成为时间信号。在对波形进行自动跟踪的过程中，由于数字化技术本身的局限，数字化之后的时间信号往往包含了“毛刺”和噪声等不属于原始地震信号的内容，对后续的对信号的保存、恢复等工作带来了影响，因此这些噪声必须被去除。本工作着力于去除数字化过程中带来的“毛刺”和噪声，尽可能好的恢复原始地震波形的信息。同时，数字化地震波波形本身包含了一定的噪声。去除这些噪声，也是本工作的目的之一。由于地震图上的地震波形是随着笔的摆动记录下来的，因此波形较为光滑，信号带宽较窄，因此本课题假设数字化的地震信号是低频、光滑的信号，并依据此特点选择方法去除噪声，恢复信号。本课题主要研究问题：（1） 基于低通滤波器的数字化地震信号去噪。（2） 基于K-L变换的数字化地震信号去噪。（3） 基于小波变换的数字化地震信号去噪。 本文主要针对地震波信号去噪的问题，尝试采用低通滤波器、K-L变换和小波变换三种去噪方法来去除数字化地震波的噪声。在MATLAB实验仿真平台实现了以上三种去噪方法，并给出了一定的定性和定量的结果。实验仿真表明，以上三种常用的去噪方法均可以达到保留地震信号的特征，达到抑制噪声的目的。关键词：地震波去噪；低通滤波器；K-L变换；小波去噪The technology of digitized seismic wave denoisingAbstract Analog seismic wave used to be recorded on the seismogram by pen and paper drum-type seismograph. With the popularity of digital recording system, digitizing these analog seismograms has become a necessary work. In the digitization process, the seismic wave is tracked, and then it is converted into digital seismic signal. However, because of the disadvantage of the digitizing technic, the digitized seismic wave usually contains some glitches-like noise which does not belong to the original seismic wave content. This work focuses on removing the noises introduced in the digitization process, and restoring the information of original seismic waveform.Analog seismic signal is a smooth, low-frequency signal. According to this, we choose the following three methods in the denoising process:（1） Low pass filter denosing method.（2） K-L transform denosing method.（3） Wavelet transform denosing method.This article is focused on seismic signal denoising problem, try using a low-pass filter, KL transform and wavelet transform denoising methods to remove the noise contained in digital seismic waves. We implemented the above three denoising methods in the MATLAB simulation experiment, and we give some qualitative and quantitative results. The simulation results shows that all these three denosing methods can reserve the information of the seismic signal and suppress the noise.Key Words：Denosing of seismogram；Low pass filter；K-L transform, Wavelet transform denosing目 录摘 要IAbstractII1 绪论11.1 课题的研究背景及意义11.2 地震波数字化技术国内外研究现状41.3 数字化地震波去噪技术的研究现状及去噪方法的选择71.4 本论文主要内容及论文结构82 数字滤波器去噪方法及仿真92.1 数字滤波器去噪92.2 巴特沃兹滤波器原理92.3 低通滤波器去噪实验103 K-L变换去噪方法及仿真143.1 K-L变换思想143.2 K-L变换原理143.3 K-L变换去噪实验174 小波变换去噪技术及仿真194.1 小波变换简介194.1.1 从傅里叶变换到小波变换194.1.2 小波变换的研究现状及应用224.1.3 小波变换的原理234.2 常用小波基介绍244.3 小波多尺度分解274.4 小波降噪原理及及其步骤294.4.1 小波去噪原理294.4.2 小波去噪的几种常用方法294.4.3 小波阈值去噪的步骤304.4 小波阈值去噪实验324.4.1选择适当的分解层数324.4.1选择适当的小波基函数334.4.3 数字化地震波信号小波去噪实验35结 论38参 考 文 献39附录1 低通滤波器去噪实验程序40附录2 K-L变换去噪matlab仿真程序43附录3 小波变换去噪matlab仿真程序46致 谢481 绪论1.1 课题的研究背景及意义地震波（seismic waves）是指从震源产生并且向四面八方辐射的弹性波。地震发生时，震源区的介质发生急速的破裂和运动，这种运动就构成了一个震动波源。由于地球介质具有连续性，这种波动就沿着地球介质向地球内部及地球表层各处蔓延和传播开去，从而在地球内部形成了连续介质中的弹性波。一直以来，地震波一直都是地质研究人员用来探测地球内部结构的主要手段，也是最有效的研究手段。“可以把一次地震比作一盏灯，它点燃的时间很短，却为我们照亮了地球的内部”，伽利津所说的这句话更是突出了其重要作用。而地震图（seismogram）作为能够记录自然地震以及核爆炸所产生的地震波的第一手信息的媒介之一，一直是地质学家手中用以研究地震的手段。通过对地震图上信息的研究，可以深入地测定震源、测量地震等级等重要信息，进而用来分析地壳内部结构等地质问题。近几年来，地震作为一种较为常见的自然灾害频繁发生，给全世界人民带来了巨大的生命威胁和经济财产损失，例如：2008年的汶川大地震、1960年的智利大地震、2010年玉树大地震，2011年日本福岛大地震等都是人类历史上罕见大灾难。由此，在世界各个国家地震预报和震后分析工作都受到前所未有的重视，同时也吸引了越来越多的国内外学者投身到地震学的研究中1。在延续了几百年的地震学发展历史中，从1875年起到1974年这近百年的时间里，所有地震学家的主要研究手段就是通过模拟记录地震图的方法进行研究，而这些模拟记录的地震图大多都是用纸质材料通过手绘形式进行保存的，这也使得这一部分地震图保存起来较为困难，分析和研究的效率不高。虽然如此，地震学家们还是利用这些模拟记录对地震发生的时间、地点以及地震时所引起的一系列连锁反应进行了较为深入的研究，对地球内部结构等以前很少涉及的学科方面也取得了较为长足的进步，其中的一系列举世瞩目的骄人业绩也被历史所铭记。随着科技和时代的发展，到了上个世纪70年代中期，地震学家成功创造性地研制出了反馈式电磁地震仪，并由此成功地克服了地震仪器动态范围小、其频带窄等缺点方面，在地震学领域中取得了惊人的突破，开创了数字记录地震波的先河。反馈式电磁地震仪成功展宽了频带，扩大了其本身的检测动态范围。由此，在微电子技术不断发展的推动下，在地震观测系统中，地震学家开始渐渐采用数字信号的记录方式来代替传统的模拟信号记录方式，数字地震图也渐渐成为地震学的主要分析对象。随着科技和时代的发展，全世界范围内的地震台越来越多，渐渐地形成了数字化地震观测系统。地质学家通过这一系列体系的工作获得了宽频带、大动态范围，并且便于在计算机上存储和处理的数字化地震记录，从而有效地进行一系列的研究，比如：震源定位、震级测定、震源破裂过程和地球内部结构的研究。而就历史遗留下来的纸制地震图而言，需要通过一定的手段对其进行了数字化处理将其转变成数字信号，进行进一步的保存和深入研究。在相当长的一段历史时期内，地震波信号是通过笔纸和滚筒等方式纪录在纸图上。图1.1展示了大连地震台保留的DK-1型滚筒记录仪。图1.1 DK-1型滚筒记录仪由于客观条件的限制，对地震波的纪录的载体就是普通的纸，或者熏烟纸或胶片。由于材质本身的问题，该种记录方式不适合长期保存。图1.2(a)与图1.2(b)展示了两幅原始地震图。可以从图上看到，经过长时间保存，地震图上的波形记录已经有所缺损，进而使得其原有的波形信息丢失2。 图1.2(a) 原始地震图1 图1.2(b)原始地震图2随着数字化记录方式的普及，将原始地震图中的地震信号数字化以方便存储和分析就成为了一项必要的工作。在数字化过程中，大多数情况下，需要对地震图上的波形进行自动跟踪，并将其转化成为时间信号。然而由于数字化技术本身的局限，数字化之后的地震波信号往往包含了“毛刺”和噪声等不属于原始地震信号的内容，对后续的对信号的保存、恢复等工作带来了影响。图1.3 波形自动跟踪效果图图1.3展示了现有的波形自动跟踪软件对地震波波形进行跟踪的效果图。黑色的曲线是扫描的地震波波形，黄色曲线为波形自动跟踪之后的效果。右边的图是理论上希望得到的波形跟踪的效果，黄色曲线很好的表达了原始地震波的波形，同时十分光滑。左边的图是现有的波形自动跟踪软件得到的结果，箭头所示处的波形跟踪出现了错误。这种跟踪错误导致了跟踪后的波形出现了“毛刺”之类的噪声。为了正确表达地震波形，数字化的噪声必须被去除。另外，滤除数字化噪声的同时也能够去除地震波信号本身所包含的噪声，从而更好地保留地震波信号的原有性质。本工作着力于去除数字化后的信号包含的“毛刺”和噪声，尽可能好的恢复原始地震波形的信息，同时还可以去除本身携带噪声部分，更好地体现地震波信号中有用部分的信号特性。由于地震图上的地震波形是随着笔的摆动记录下来的，因此波形较为光滑，信号带宽较窄，如图1.4所示，是一幅自动跟踪扫描的地震图。黑色的线原始地震波波形，红色的线是跟踪的曲线。因此本课题假设数字化的地震信号是低频、光滑的信号，并依据此特点选择方法去除噪声，恢复信号。图1.4 地震波信号及跟踪波形1.2 地震波数字化技术国内外研究现状由于本论文所研究的方向是数字化之后的地震波信号去噪问题，因此在进入正题之前也应该先介绍一下地震波数字化工作的原理及进展。历史地震信号由于通过笔纸的方式纪录，因此信号带宽较窄，波形较为光滑。为了方便进一步研究和更妥善地保存，因此需要对历史地震图进行数字化。我国的地震图数字化研究工作起步于90年代初期，经过几十年的研究，已经取得了很有突破性的进展，其主要的方向包括地震图纸的扫描、噪声去除等预处理工作和数字地震波形的提取等很多应用领域。同时，地震图纸数字化工作在国外也已经开始展开。2003年，加州大学的Peter D Bromirski设计了一套SeisDig软件，对来自BSL（Berkeley Seism-logical Laboratory）的已扫描存档的地震图进行了数字化的地震波的提取。近几年，由意大利国际地理与火山研究所（INGV）的研究者Pintore等研制的Teseo2系统和美国Neuralog公司的数字化软件（）相继问世。2010年，世界知名核爆炸地震领域专家Steven R. Taylor，Xiaoning Yang也研制了DigiSeis软件，对核爆炸地震图运用局部与全局直方图增强和差值方法，在跟踪地震波波峰的同时，克服了高频信号的干扰。虽然DigiSeis软件得到了深入的发展，但是由于数字化过程的弊端，这些方法都会形成噪声，因此滤除数字化噪声问题已然迫在眉睫。现有的数字化方式根据其跟踪方式可大致分为：手动跟踪和自动跟踪两种，而本课题主要针对的就是自动跟踪所带来的数字化噪声问题。 下面我来简单介绍一下数字化的过程。数字化的主要步骤就是：第一步：对原始地震图进行波形跟踪。第二步：将跟踪出来的线转换成时间信号，这也就是数字化的过程。 图1.5原始地震图的波形跟踪 图1.6波形跟踪转换成时间信号 如图1.5，是数字化软件SeisDig的操作界面，图像所展示的就是波形跟踪的部分。其目的在于将地震图上的波（白线）都跟踪出来，跟踪成蓝色或者红色的线。这可以理解成数字化的第一步。如图1.6，是SeisDig的操作界面跟踪的波形转换成时间信号，数字化的部分。其目的在于将跟踪出来的线转换成时间信号，这也是数字化的核心部分。 图1.7 自动跟踪数字化效果图 如图1.7，在自动跟踪的数字化的过程中，图中黑色部分为原始地震图中的波形部分，由于其本身是由纸笔记录的，因此其波形本身的性质是一条低频的光滑曲线，而在自动跟踪的数字化过程中，通过图1.7，很容易看出自动跟踪数字化会在跟踪的时候改变地震波形原有的光滑特性，将原有的低频光滑波形变成高频的尖峰和毛刺，这也是使得自动跟踪数字化的本身为地震波信号引入了一部分高频的尖峰和毛刺等噪声。如图1.8所示，数字化后的地震波信号与原始信号相比，其波形的光滑度下降，由于尖锋和毛刺的作用使得信号本身的连续性也受到影响。而原有信号的波峰、波谷的位置和相应幅值，则是今后研究地震波信号的重要数据，因此在去噪的时候应该对原有的数字化地震波信号的进行保留峰、波谷的位置和相应幅值。在本论文中主要进行的去噪问题就是这样的针对数字化后的地震波如何去除数字化噪声的问题。图1.8 数字化噪声的对比图1.3 数字化地震波去噪技术的研究现状及去噪方法的选择在数字化地震波去噪中，当地震波信号被加性噪声污染时，可以将得到的含噪信号表达式写为： （2.1）当对含噪信号进行去噪处理时，其输入为受噪声污染后的含噪信号，而输出为信号即为原始信号的近似估计。由此可以得出地震波去噪问题的基本函数表示方法。地震波去噪技术方法繁多，其原理也各有不同，如今较为常规的方法有：数字滤波器去噪、K-L变换方法、F-K方法、拉东变换、小波变换等。由于数字化地震波信号特性较好，具有较好的光滑性，因此为了实现方便，本文将采用低通数字滤波去，K-L变换和小波变换三种方法对数字化地震波信号进行去噪处理。对于数字化地震波信号而言，本文假设其本身为低频光滑信号，主要的有用信号的能量集中在低频部分，而噪声部分主要是高频的信号，因此要除去的就是其中的高频部分。低通的数字滤波器恰好可以起到保留信号低频部分，滤除信号高频部分的作用。进而将低频的有用信号与高频的噪声相互分开，且数字滤波器在实现上相对比较简单，因此数字滤波器去噪方法也是数字化地震波信号去噪的常规方法之一。K-L变换的主要思路就在于对数字化地震波信号进行分解，将信号分解到互不相关的基向量上，从而将有用的信号能量集中起来。由于有用信号的能量较大，分解后的系数幅值较大，而噪声信号的系数幅值较小，通过滤除幅值较小的部分，在对剩余部分通过反变换进行信号重构，从而做到将有用信号和噪声信号分离的目的。小波变换就是利用固定的小波基，将信号能量分别集中在“低频”和“高频”部分，由于地震波信号是低频光滑信号，因此其能量主要集中在低频部分，即小波分解后，有用信号所对应的幅值相对较大，噪声信号所对应的幅值相对较小，通过阈值化等方法可以进一步滤除噪声，保留原有信号的特征性质。鉴于上述三种方法在理论上对数字化地震波信号去噪的效果较为明显，且便于实现，因此本文的主要研究内容就是利用上述三种去噪方法对数字化地震波信号进行去噪。1.4 本论文主要内容及论文结构本文主要针对数字化地震波信号去噪的问题，研究了巴特沃兹滤波器去噪方法、K-L变换去噪方法、小波分析去噪方法，对比了这三种常用的去噪方法，比较它们的优劣性，并以MATLAB为实验仿真平台实现了以上三种去噪方法。实验仿真表明，以上三种常用的去噪方法均可以达到保留地震波信号的特征，抑制噪声的目的。全文具体内容安排如下：第1章 绪论部分，主要介绍了本文选题背景和意义，地震波数字化技术和地震波去噪技术的发展和现状以及本文的主要内容和结构。第2章 介绍了以巴特沃兹滤波器为代表的数字滤波器去噪技术，通过MATLAB对数字换地震波信号进行去噪实验。第3章 介绍了K-L变换理论以及K-L变换去噪原理，通过MATLAB对数字换地震波信号进行去噪实验。第4章 介绍了小波变换原理、小波分析理论和常用的小波基的特点、小波降噪原理，介绍小波去噪原理并通过MATLAB对数字换地震波信号进行去噪实验。第5章 论文结论部分。2 数字滤波器去噪方法及仿真2.1 数字滤波器去噪由于数字化地震波信号是低频、光滑信号，因而数字化地震波信号主要的有用部分集中在低频部分，而高频部分则为噪声部分。因此可以采用低通数字滤波器对其进行信号去噪处理，从而保留数字化地震波信号的低频部分，滤除高频部分，以达到滤波和去噪的作用。低通数字滤波器的设计方法和去噪方式有很多种，在这里只以巴特沃兹低通滤波器为例，验证和比较其去噪效果。2.2 巴特沃兹滤波器原理巴特沃兹滤波器(Butterworth)是一种数字低通滤波器（IIR），因为其特点主要是其具有通带内最大平坦的振幅的特性，且随的递增，单调递减。所以它能够很好的保留数字化地震波信号中的低频的有用部分。一个N阶低通巴特沃兹滤波器的频率响应的模平方函数可以表示为： （2.2）在上述表达式中，为整数，也就是通常称为的滤波器阶数，的值越大，巴特沃兹滤波器的通带和阻带近似性越好，其过渡带也越加陡峭，则其对数字化地震波信号的低通滤波特性更加明显。如图2.1所示： 图2.1 巴特沃兹滤波器的幅频响应 当利用巴特沃兹滤波器对数字化地震波信号进行去噪时，在通带内，信号中的有用信号等低频部分得到保留，而在阻带内信号的中的噪声等高频部分被置零，从而滤除噪声部分保留有用部分，使数字化地震波信号的去噪得以实现。如图2.1中，过渡带为从通带到阻带的过程中过渡的频率范围，为截止频率，即为幅度衰减时所对应的频率值。 对于巴特沃兹滤波器而言，滤波器阶数和截止频率的确定显得尤为重要。因为对于理想滤波器而言，其过渡带为0，阻带，在通带内其幅度为一个常数。通带内（即），因为分母,所以相应的。随着N取值的增加而趋近于0，也趋近于1，在过渡带和阻带，有于，随N取值的增加，因此的值快速下降。当时，幅度衰减，这也相当于3db的衰减点。对数字滤波器而言，巴特沃兹滤波器属于IIR滤波器，因此巴特沃兹滤波器的DF转移函数为 （2.3）2.3 低通滤波器去噪实验本实验中，采用的是低通巴特沃兹滤波器对数字化地震波信号进行去噪处理。由于数字化地震波信号是低频光滑信号，因此当数字化地震波信号通过巴特沃兹滤波器时，频率低于截止频率的低频有用信号将被保留，而频率高于截止频率的噪声信号将被置零，从而达到去噪的目的。本实验所采用的数据是大连地震台记录的2000年6月21日冰岛地震的地震图数字化后的地震波信号。其点数共为14220个。 图2.2 待处理原信号频谱图 实验数据的频谱如图2.2所示，通过频谱图可以看出原信号的能量主要集中在数字频率0-0.2rad的区间内，因此本实验中选用的巴特沃兹滤波器的截止频率为0.2rad，通过进行去噪效果的比对，最终选择了阶数为7，截止频率为0.2rad的巴特沃兹滤波器。通过matlab观测阶数为7，截止频率为0.2rad的幅频响应曲线（如图2.3所示）、极零图（如图2.4所示）以及单位冲击响应（如图2.5所示），可以很清楚的看到巴特沃兹滤波器的滤波特性，并且可以得到基本参数和的值。=1,-4.1823,7.8717,-8.5309,5.7099,-2.3492,0.5483,-0.0558=9.0349e-05,6.3244e-04,0.0019,0.0032,0.0032,0.0019,6.3244e-04,9.0349e-0图2.3巴特沃兹滤波器幅频响应 图2.4 巴特沃兹滤波器的零极点图 图2.5 巴特沃兹滤波器的单位冲击响应接下来利用巴特沃兹滤波器进行去噪，从而验证其去噪效果（程序见附录1），首先在原信号基础上导入标准差为原信号标准差0.1倍的高斯噪声，并利用巴特沃兹低通滤波器对含噪信号进行去噪处理，得到验证试验的仿真结果如图2.6所示。图2.6巴特沃兹滤波器验证试验仿真结果 通过对图2.4可以看出，巴特沃兹滤波器能够很好地滤除对高斯噪声有很好的抑制效果，保持其波形的低频和光滑特性，同时保留了地震波的结构信息。由此验证了巴特沃兹滤波器的滤波作用。 最后通过对数字化地震波信号的实际数据进行去噪处理。通过matlab系统环境观测巴特沃兹滤波器幅频响应图像和待处理的原信号频谱图像，从而确定采用阶数为7，截止频率为0.2rad的低通巴特沃兹滤波器。然后，利用巴特沃兹滤波器对原始信号进行去噪。通过仿真得到的图像结果图2.4和图2.5. 图2.4滤波前后信号对比的整体图 图2.5滤波前后信号对比的局部图图2.4是滤波前后信号对比的整体图。在图2.5中，上图表示滤波前的含噪信号，下图表示滤波后的去噪信号，红色框中为去噪效果相对明显的点，通过这些点我么可以看出上图中存在“毛刺”等噪声，而下图中没有“毛刺”。因此可以看出巴特沃兹滤波器可以对数字化地震波信号起到很好的去除“毛刺”等噪声的作用。通过细致对比去噪前后波形可以发现，数字滤波器去噪不仅去除了数字化本身带来的噪声，同时也去除了信号本身的噪声部分，使得信号更加光滑，更好的保留了信号特性。3 K-L变换去噪方法及仿真3.1 K-L变换思想在信号处理和实际应用中，通常希望将原有的随机信号观测样本进行转化，用另外一组具有大家所希望的性质的数来表示，从而达到简化处理和应用的目的。这一思想在各个信号处理和应用领域应用广泛，拿大家所熟知的编码为例，对于编码来说，就是为了在用尽量少的系数来表示原信号的同时，又可以让这些系数集中原信号的功率并且体现原信号的很多性质。因此在最优滤波上，就希望变换后得到的样本之间统计不相关，有了这样的性质，就可以用来降低滤波器的复杂度，或者提高其信噪比，而K-L变换思想也就是最优滤波思想的拓展。为了实现这一目标，通常的做法就是找到和利用一组正交基函数，从而利用线性正交变换将信号展开成正交基函数的线性组合。通过这种做法，可以成功地去除了信号展开式中基函数的各个分量相关性，让他们彼此之间不会互相干扰，各自代表各自的性质，从而简化对原有的随机信号观测样本的处理和研究。3.2 K-L变换原理由于数字化地震波信号是低频、光滑的信号，因此在数字化地震波信号中有用信号主要集中在低频部分，而噪声属于高频部分。在时域中，信号和噪声是耦合在一起的，是相关的。这使得在时域中直接去除噪声较为困难。为了能够有效的去除噪声，可以利用正交线性变换将数字化地震波信号映射成为一个新的向量。该向量的各个分量只于其自身相关，与其他分量不相关。由于信号有自相关性，而噪声是和信号不相关的，这种正交线性变换就使得信号的能量和噪声的能量彼此分离开来，达到解耦合的目的。 经过该线性变换，信号和噪声的能量更为集中。由于有用的信号占有的能量较多，因此在变换之后，低频的有用信号部分所对应的系数相对较大，而高频的噪声部分所对应的系数较小，通过滤除较小的系数，然后利用反变换对信号进行重构，就能达到将噪声信号从数字化地震波信号中滤除的目的。在具体的应用中，需要根据信号观测样本的协方差矩阵来对正交基函数进行适当的选择，从而在所有正交基函数中，找到具有最小均方误差的信号表示，来实现最小均方误差展开。这样的一种均方误差表示不但是对数字化地震波信号最优的表示方式，而且对它在往后的随机信号的分析中也会起到重要的意义和作用。这种针对数字化地震波信号进行处理的方法也就是Karhunen和Loeve提出的Karhunen-Loeve变换。起初的K-L变换只是针对连续随机信号，后来Hotelling在离散随机信号的领域将K-L变换进行了推广，因此离散随机信号的K-L变换也被称为Hotelling变换3。在数字化地震波的K-L变换的去噪中，找到一个合适的线性正交变换矩阵很重要，下面我来介绍一下利用K-L变换对数字化地震波信号进行去噪处理的思路。可以设数字化地震波信号为一个零均值的随机向量，记作，从而可以得到的自相关矩阵为。接下来将数字化地震波信号向量进行以下线性变换： （3.1）式(3.1)中，即是一酉矩阵。而的作用就是将展开。通过使用用线性正交变换矩阵将数字化地震波信号向量成功展开，得到另外一个向量的线性组合形式，在此将这一向量定义为，由此可以得到和的转换关系为 （3.2）假设可以在式(3.2)中只使用的前个系数，就可以逼近数字化地震波信号向量，也就是说的前个系数，相比于其他的系数而言在所占能量的比重较大，即 (3.3)因此就可以使用前个系数近似表示原始的数字化地震波信号向量，从而实现减小变化后的系数的个数的目的。而在之前所提到的在数字化地震波信号中低频部分能量相对较大，进行分解后所对应的系数也较大，而相反的噪声能量相对较小，则其分解后的系数也较小。因此可以断定的前个系数，所代表的是数字化地震波信号中的有用信号部分。由此，很容易求出数字化地震波信号的阶逼近的误差和其均方误差分别为： (3.4) (3.5) 由转换的基本公式,可以得到 。这时如果进一步设置，对其进行约束，那可以将式(3.5)所表示的均方误差公式重新定义为： (3.6)（约束条件为：， ）为了达到均方误差最小化的目的，从而实现数字化地震波信号最优的表示方式，可以使用拉格朗日乘子法构造代价函数： (3.7)然后，令,即可得到 (3.8) 即得 而由此，就找到了K-L变换中的线性正交变换矩阵。其实对于数字化地震波信号去噪中，其主要原理就是通过K-L变换主要是寻找一组正交基，用以消除数字化地震波信号中各数据之间的相关性。然后寻找到数字化地震波信号中主要的分量，并对其进行正交分解。由于基向量满足相互正交性，由它定义的空间最优的去除了地震波信号各分量间的相关性。这样将噪声能量与信号能量分开。因为数字化的噪声的相对能量比较小，因此在中所占的数值较小，因此可以将其滤除，在滤除除后通过K-L反变换得到去噪后的信号，以此达到信号去噪的效果。3.3 K-L变换去噪实验将含噪信号分成每段若干个点的小段，针对每一小段进行正交分解，从而得到各个分量所对应等能量值（如图3.1所示）。通过K-L变换的原理可知，这些分量的能量之间相互不相关。将这些分量按照能量值从小到大排列。若能量最小的前M个分量的能量总和达到该段信号总能量的能量阈值，则这最小的前M个分量被视作噪声信号对应的分量。直接将这些分量置为零。之后，利用正交反变换对每一段信号进行信号重构、最后再将每一段重构得到的信号进行整合，即可得到去噪后的信号。图3.1 信号分解后各分量对应的能量值本实验中采用的数据与数字滤波器去噪实验中的数据相同，实验参数如表3.1.表3.1 K-L变换去噪实验参数信号名称2000年6月21日冰岛地震波信号原始信号长度14200分段后每段信号长度200能量阈值1%首先利用K-L变换去噪方法，进行去噪验证其去噪效果（程序见附录2）。本实验中在原始的数字化地震波信号的基础上加入方差为原信号方差0.1倍的噪声，并通过K-L变换方法对其进行去噪。由此得到实验结果如图3.2所示： 图3.2 K-L变换去噪验证实验结果通过图3.2，可以看出，K-L变换去噪方法在很大程度上能够起到滤除噪声的作用，同时保留原信号自身的特征性质。接下来要做的就是针对2000年6月21日冰岛地震图的数字化地震波信号进行去噪（程序见附录2）。通过实验得到结果如图3.3所示。图3.3(b) K-L变换去噪实验结果(局部)通过数值计算得到信噪比SNR=20.1708。同时在图3.3中，可以清晰地看出，K-L变换去噪方法对于数字化地震波信号的去噪效果想当明显，在很大程度上保留了原始信号的波峰、波谷位置及其幅值，较为完好地保存了信号本身的性质。同时原始信号中的“毛刺”等噪声得到了去除，使得信号更加光滑。4 小波变换去噪技术及仿真小波就是小区域内，区间长度有限、信号均值为0的波形。所谓的“小”是指它具有衰减的特性；而之所以称之为“波”则是因为它具有波动性，其振幅在正负相间的区域内震荡。小波变换与傅里叶变换相比，它是时间频率和空间频率的一种局部化的分析，是通过简单的伸缩和平移运算对信号逐步得进行多尺度细化，从而最终使得高频位置的时间得到细分，低频位置的频率得到细分4。从而能够进一步自动适应时频信号分析的要求，以至于能够聚焦到信号的任意细节，观测其任意位置的情况，小波变换通过这种方式成功解决了傅里叶变换的难题，同时也让自身成为了继傅里叶变换以来在科学方法上的重大突破。因此有很多人毫不夸张地把小波变换称为“数学显微镜”。4.1 小波变换简介众所周知，一般传统的信号理论体系，是以傅里叶分析基础建立的，而傅里叶变换本身作为一种全局性的变换，在信号分析上的局限性相当明显，而且这种局限性来自其原理自身难以克服。因此，在实际应用中人们就渐渐的开始有意识地对傅里叶变换进行各种改进，小波分析也就由此产生，并且作为一个更加完善的信号分析体系渐渐形成，并逐步发展成为常用的主要方法之一。小波分析作为一种新兴的数学分支，它的理念来源于泛函数、傅里叶分析、调和分析、数值分析的很多领域，是它们这些数学传统学科最完美的结晶；在应用领域，尤其是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，小波分析俨然成为了继傅里叶分析之后的又一有效的时频分析方法。4.1.1 从傅里叶变换到小波变换信号分析，究其主要目的就是为了找到和利用一种简单有效的信号变换方法，从而使得信号所包含的重要信息能够简单明了地显现出来，真正体现出信号本身的特性。传统的信号分析是建立在傅里叶变换的理论基础之上的，因此，在众多的科学领域和实际应用中，主要是是在图像处理、信号处理、量子物理等方面，傅里叶变换都是重要的应用工具之一，其发挥的作用之大无可估计，使得傅里叶变换家喻户晓，成为一代经典。而随着小波变换的出现，小波的变换以其独特的优势得到了广泛的应用和越来越多人的认可。为了更好地掌握小波变换原理及其去噪的优点，有必要了解一下从傅里叶变换到小波变换的发展过程5。傅立叶变换作为一种使信号在时域和频域之间互相转化的数学工具，其定义为：若（即属于平方可积的实数空间，即其信号的能量是有限的），那么可以得到：傅里叶变换为： （4.1） 傅里叶反变换为： （4.2）式(4.1)和式(4.2)中，表示时域原始信号，则表示时域原始信号的傅里叶变换。傅里叶变换和反变换中的基 与为一组正交基，这组正交基体现了傅里叶变换的全局性，说明傅里叶变换是一种全局变换，而其本身也具有鲜明的物理意义。傅立叶变换物理意义的实质就是把一个原始波形分解成多个不同频率的正弦波的叠加和。也正是傅立叶变换的这种重要的物理意义使得了傅立叶变换在信号分析和信号处理中一直占有着独特地位，应用十分之广泛。傅里叶变换其本质也是一种正交分解，傅立叶变换是用在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为一组正交基函数，在处理周期性的问题上，傅里叶变换把周期函数展成傅立叶级数，把非周期函数展成傅立叶积分，这样就可以方便地利用