数学与应用数学本科毕业论文分块矩阵初步研究.doc

本科毕业论文题目： 分块矩阵初步研究 学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学2008级六班 姓名： 指导教师： 职称： 副教授 完成日期： 2012 年 5 月 20 日 分块矩阵初步研究摘要：文章初步探索总结分块矩阵相关的几类问题，包括用求矩阵的行列式问题, 讨论分块矩阵的初等变换, 用分块矩阵求逆矩阵问题。关键词： 分块矩阵;初等变换；行列式；可逆的分块矩阵Abstract: Key word: 目录1引言(1)2最短路()2.1最短路的定义2.2最短路问题算法的基本思想及步骤2.2.1单源点最短路问题2.2.2多源点最短路问题3最短路的应用 3.14结语1引言 在处理级数较高的矩阵时常用的方法是矩阵的分块，有时候，我们把一个大矩阵看成是一些小矩阵组成的。就如矩阵时由数组成的一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块。2矩阵的初等变换 2.1 分块矩阵的初等行（列）变换的定义与普通矩阵的初等行变换类似，分块矩阵也有三种类型的初等行 变换1：把一个块行的左L倍（L是矩阵）加到另一个块行上；换两个块行的位置；用一个可逆矩阵左乘某一块行。 类似地有分块矩阵的初等列变换：把一个块列的右L倍（L是矩阵）加到另一个块列上；互换两个块列的位置；用一个可逆矩阵右乘某一块列。 2.2 分块矩阵的初等变换与分块初等矩阵的关系把单位矩阵分块得到的矩阵经过一次分块矩阵的初等行（列）变换得到的矩阵称为分块初等矩阵是三种不同类型的分块初等矩阵（其中X是可逆矩阵）。通过直接计算可以验证：用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对这个分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换。 分块矩阵的初等行（列）变换有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵可以得到一个等式，把两者结合起来可以发挥出很大的威力。 2.3 分块矩阵的初等变换与矩阵的秩由于分块初等矩阵是可逆矩阵，因此据可逆矩阵的性质和上述结论得到：分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 2.4 符号约定本文用“r2+L·r1”（“c2+c1·L”）表示把分块矩阵第1块行（列）的左（右）L倍加到第2块行（列）上；用“r1圮r2”（“c1圮c2”）表示把分块矩阵的第1块行（列）和第2块行（列）互换；用“L·r1”（“c1·L”）表示用可逆矩阵L左（右）乘分块矩阵的第1块行（列）2，等等。还约定用E表示单位矩阵，用表示n阶单位矩阵。3分块矩阵的行列式： 设矩阵为m + n阶矩阵, 其中A, D 分别为m 与n 阶方阵, B 为m×n 矩阵, C 为n×m 矩阵, 则: 当A可逆时，有=; 当D可逆时，有=。 证明：如果A可逆时，由乘法定律有：=左右两边取行列式有：因此有：如果D可逆时，由乘法定律有：=左右两边取行列式有：=因此可得：=性质1：说A和B是m阶矩阵和n阶矩阵性质2：设A为矩阵，B为矩阵（）于是有推论：在性质1中，若B=A,则 若B=A则，A为m阶可逆方阵。性质3：假设A是m阶方阵，D是n阶方阵，则，P为m阶方阵。性质4：假如A是m阶方阵，D是n阶反复震，Q为矩阵则：性质5：假设A是m阶方阵，D是n阶方阵，则：， 由拉普拉斯定理易得。推论1：设A是m阶方阵，D是n阶方阵，则若A可逆，且AC=CA，则推论2：=性质7：例1：计算下列矩阵的行列式M=解：将M化为M=-I+I由降阶公式得到=（-1）=（-1）例2：计算2n阶行列式=解：令A=D=，B=C=则D-CAB=-=从而=a(a-ba)=(a-b)例3：计算：解：令A=， B=，则原行列式=（y-4x）y。例4：计算解：原式=-5.4分块矩阵逆的几种求法：I：初等变化法设r+s阶方阵A=，其中，分别是r，s阶可逆矩阵，则A可逆，求A?解 ：利用广义初等行变换故A=于是也可以证明r+s阶方阵B=可逆，当中A，A分别是r，s阶可逆矩阵，且B=II：分解法假如是一个n阶满秩方阵，若A中存在某一r阶顺序主子式且其不为零则对A进行分块令A=，就说A一定可以分解成一个下三角分块矩阵L与一个上三角分块矩阵V的乘积形式，L=，V=这里JJ分别为r×r，（nr）×（nr）阶单位矩阵，有M=AA，N=AAAAIII：方程组法假如n阶可逆矩阵M=其中BB分别是k，n-k阶可逆矩阵B，B分别是k×（n-k），（n-k）×k阶矩阵，求P解答：设M的逆矩阵R其中E，H分别是看，k，n-k阶可逆矩阵，根据矩阵定义RR=I于是=故得一下方程组得：G=-BBEE=（B-BBB）将代入得G=-BB（B-BBB）H=（B-BBB），F=-BB（B-BBB）故R=例5：试将下面两个可逆矩阵化为初等矩阵的乘积：，解：用初等变换把A化为单位矩阵，即A= 。PPPP=PPPP=类似可得B的初等矩阵乘积为例6：设，求A。解法1：A=。解法2：令B=，C=，由求逆公式可得=，（ad-bc0） B=，C=。用广义初等变换求A如下（A，E）=A=解法3：用解方程组，令B=，C=，则A=。再令A=，由AA=E可得解之得：Z=B，Z=C，Z=-CA=。参考文献：【1】张禾瑞，郝鈵新，高等代数M.北京：人民教育出版社，1979.【2】姚慕生 ，吴泉水，高等代数学M.【3】北京大学数学系几何与代数研室代数小组高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.【4】钱吉林，高等代数题解精粹（第二版）M.北京：中央民族大学出版社，2002,10.【5】张红玉，魏慧敏，矩阵的研究M.太原：山西人民出版社，2010·7.