微分中值定理的研究和推广学位论文.doc

目 录引言1一、中值定理浅析11、中值定理中的12、中值定理中条件的分析2二、微分中值定理的推广41、微分中值定理在无限区间上的推广42、中值定理矢量形式的推广73、微分中值定理在n维欧式空间中的推广94、中值定理在n阶行列式形式的推广125、高阶微分中值定理15结束语19参考文献19微分中值定理的研究和推广摘要：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶形式五个方面来研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。关键词：微分中值定理，无限区间，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。引 言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。中值定理既应用导数来研究函数的性质，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究，函数在区间上的重要工具。在实践中，有着广泛的应用，因此，有必要将其进一步推广，使其达到一个比较完善的地步，对进一步的研究和创造有很大的帮助。一、中值定理浅析1、中值定理中的由中值定理可知，当满足条件时，在开区间内至少存在一点满足方程的结论，并没有说有多少个这样的，也没有告诉它的确切位置，但这并不影响中值定理在数学中的应用，因为通常是在导数有界的条件下应用中值定理。2、中值定理中条件的分析 以罗尔定理为例，我们知道，罗尔定理的3个条件。1（1）在闭区间上连续。（2）在开区间内可导。（3）这三个条件必须同时成立，缺少其中之一便不成立。例如：函数在上连续（如图1） 在内不可导（如图2） （如图3）1Oy1x1O-11yxxy1O1图1 图2 图3从这三个函数图象可见，罗尔定理都不成立，尽管如此，也不能说这三个条件就是其成立的必要条件。例如：函数在闭区间上连续，在开区间内不可导，即罗尔定理的3个条件都不成立，但是在开区间内存在一点，满足，这说明，罗尔定理的3个条件都是充分条件，同理，拉格朗日定理、柯西中值定理也同样类似。另外，中值定理中开区间可导，也不宜改为在可导，函数在闭区间上可导，这一条件不仅包含了“闭区间上连续，开区间可导”这两个条件，而且比这两个条件对函数的要求更加严格，即要求函数在点存在右导数，在点存在左导数，从而满足中值定理的条件的函数要比原来少。例：函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，满足罗尔定理的条件，因此，在开区间内至少存在一点，使显然=0 但是，函数在闭区间上并不可导，因为导数分别在与的左右导数都不存在。由此可见，如果罗尔定理的条件换成函数在闭区间上可导，且，那么，对函数在闭区间上就不能用罗尔定理，这样就缩小了定理的适用范围。因此，中值定理的条件不宜替换，即在闭区间连续，在可导，函数在开区间内可导，则函数在开区间内连续，它被包含在“函数在上连续”之中，为使这两个条件相互独立，可改为在开区间内可导，函数在点右连续，在点左连续，但行文繁，所以为了简便，将条件写为“在闭区间上连续，在开区间内可导”。二、微分中值定理的推广1、微分中值定理在无限区间上的推广2以前所学的微分中值定理都是界定在有界区间上的，为此，我们设想将有界空间推广到无限区间。例1 求证：如果函数满足（1）在区间上连续。（2）在区间上可导。（3）。那么在内至少存在一点使得证明：令，即当时， 令 则所以在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知：在内至少有一点使得记，有，而，故在内，至少有一点，使得例2 证明：如果函数满足（1）在区间上连续。（2）在区间上可导。（3）。则在内至少存在一点，使得证明：令则，与成立令在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知，在内至少存在一点使得，记，则有，从而有例3 已知函数满足如下条件（1）在区间上连续。（2）在区间上可导。（3）。求证：在内至少有一点，使得证明：令，即当时，令则在区间上连续，在内可导。由拉格朗日中值定理知，在内至少有一点 使得即记 有而故在内至少有一点，使得即2、微分中值定理在n维欧式空间中的推广4首先，给出几个有关的记号设：，即记i()为集合的内部，即集合的内点的集合。定义1 设：，若对于任意的, , ，存在则称函数在点处可导并记：称为函数在点处的导算子。定理：设函数：，为中有界闭区域在上连续，在内可导，且/，则至少存在一点，使得证明：因为为有限维空间中的有界闭区域，故为中紧子集，又在上连续，所以在上有最大最小值，由于/，则最值中至少有一个在内取得，设在处取得最小值，则对于任意的，从而证毕。根据此定理，我们来看下面几个例题。例1 设：，为中有界闭区域，在上连续过内可导，且存在一点，使得=，其中C为常数。证明：在内至少存在一点，使得=，（为n维列向量，为的转量，为与的乘积）证明：设，由已知满足定理的条件，从而对于来说，存在一点，使得而，即所以所以，在内至少存在一点，使得例2 设：，是中的有界闭区域，在上连续，在内可导，且存在列向量，使得/C证明：至少存在一点，使得=0证明：设=，则：，且满足定理的条件，故可知至少存在一点，使得，即=0例3 设函数 , 在闭区间上连续，在开区间内可导，, 在内不同时为零，证明：在内至少存在一点，使得证明：设：则在上连续，在内可导，取则，所以在上满足定理3的条件，故至少存在一点，使得，即由于，所以又因为与在内不同时为零，故4、中值定理在n阶行列式形式的推广56在研究此推广之前先给出二个定理。定理1 设, 和在连续在内可导，则至少存在一点使得：由此定理我们可以看出，当，时，上述结果即为拉格朗日中值定理，当，则上述结果为柯西中值定理，因此，此定理可以看做是微分中值定理的一般形式。定理2：若在上连续，在内n-1阶可导， 且则至少存在一点，使得根据上述二定理，我们可以构造出某些特殊类型的问题。例1 设, 满足如下条件（1）, 在连续（2）, 在内二阶可导（3） 其中证明，存在使得 证明：设令则在上满足罗尔定理的条件，故存在 使得=0再令则在上满足罗尔定理的条件，故存在使得，最后以换3令则在上满足罗尔定理的条件，故存在使得即在上式中取则有所以我们将此例题进一步推广，得到一个更加完美的结论。例2 若设, 满足下列条件（1）, 在上连续（2）, 在内n-1阶可导（3） 其中证明，存在, ，使得证明：仿照例1的证法逐步进行展开，分别应用罗尔定理次后，即可得出结论。5、高阶微分中值定理7以前所研究的中值定理都是低阶的，下面我们将其进一步扩充到高阶。引理：设函数在上连续，在内有n-1阶导数，并且对任意互异的，有，则存在使得 证：设在上应用罗尔定理，存在使得 然后再在1, 2,2,3n-2,n-1上应用罗尔定理，如此推下去，最终可得，使得 定理1 设在上连续，在内有n-1阶导数，那么对任意互不相同的，存在使其中证明：作辅助行列式则在上连续。在内有n-1阶导数，并由引理知道，存在，使得 ，对求n-1阶导数，由拉格朗日定理及行列式的性质可得从而存在，使得定理2 设, 在上连续，在内有n-1阶导数，且，那么对任意互不相同的存在使其中证：因为在内，则由定理1得作辅助行列式。则在上连续，在内有n-1阶导数，且，由引理知存在，使，对求n-1阶导数，并知, 为常数，有其中与定理1中的相同，因此得到下面我们来看几个例子例1 设在上二次连续可微，且求证：证：设在上不恒为0，由在上连续，推知|连续，故存在，使得令定理1中 则定理1变形为 （1）于是，可知存在一点使得因此得例2 设，在内存在，连结点A与B的直线与曲线y=交于C(求证：存在，使得证：由已知A、B、C三点在同一直线上，故可知定理1中的行列式，从而存在，使得例3 设在上存在二阶导数，且，则存在，使得证：因为，由例1的（1）式可知，存在使得=又因为，而在上连续，故存在使，利用均值不等式，得例4 设, 在上连续。在内存在二阶导数，且对，有，证明：存在使证：由于, 满足定理2的条件所以令, , 其中, 则由定理2即可证得结束语微分中值定理这一结论，在数学的学习中，只有将其不断的拓展和推广，从而得出一些更一般，更有特点的形式，对解决数学中的问题是有很大益处的。本文只介绍了几种不同的推广方向，但对微分中值定理的研究并不仅限于此，随着数学的不断发展，对这一理论的研究仍是永无止境的。致 谢本论文是在导师*教授的精心指导下完成的。在本科学习期间，耳濡目染于导师严谨的治学态度、诲人不倦的师者风范、无私奉献的高尚品格和精益求精的工作作风，这些都使我终生受益。在论文完成之际，对导师在学业上的教诲和支持表示衷心的感谢和无限的敬意！同时感谢*教授、*老师和*老师给予我的指导和帮助以及为我提供的良好实验环境，在此表示深深的谢意！在本科阶段的学习、工作和生活得到了师兄、师姐以及同学们的关心和帮助，衷心感谢*博士、*博士、*硕士、*硕士等在课题研究工作中和生活中给予我的帮助。感谢我的父母在我漫长的求学生涯中给予我的关心、支持和鼓励，没有他们我将无法完成自己的学业。最后，向那些所有曾给予我帮助，关心我、支持我的人表示最诚挚的谢意参考文献：1 华东师范大学数学系：数学分析，北京，高等教育出版社，1991年3月第二版.2 杨万必，龙鸣：微分中值定理的推广，湖北民族学院学报.3 同济大学数学教研室：高等数学，北京，高等教育出版社（1984）.4 熊金城：点集拓扑讲义，北京，高等教育出版社（1981）.5 刘玉琏，傅沛仁：数学分析讲义，北京，人民教育出版社.6 焦曙光：点到直线的距离，高等数学研究，2003.7 胡何高：微分中值定理的推广及应用，湖北，孝感学院学报（2000）.