函数单调性毕业论文abqx.doc

1引言函数的单调性是函数的重要性质之一，对函数单调性的讨论及其应用，是中学数学教学中的一个难点，也是历年高考命题的一大热点；而且在高考中常考弥新,考查的深度远远高于课本，所占分值也有逐年增大的趋势因此，加强此方面的研究，引导对函数单调性的全面理解，加深对函数单调性应用的探究是很有必要的，这对中学函数单调性的教学也有一定促进作用2文献综述2.1 国内外研究现状 在国外，对本问题的研究状况中，目前仅查阅到文献1，该文章对函数单调性的相关方面做了研究和介绍在国内，对函数单调性及其应用研究的文章比较多，如4从不同方面阐述了对函数单调性几方面的理解和相应的应用，但忽略了对有关对函数单调性的几个更为重要、更为实质的方面的把握文献5又在文献4的基础上对函数单调性的“唯一”和“任意”两个重要方面的理解与应用做了必要的补充说明，但对函数单调性的把握还是非常单调、非常不全面又如5、7、8、12、13、14、16 、18和19等文献从多方面对函数单调性的性质与相关应用作了一些探究，但在这些文献里作者对函数单调性只是进行了一些浅显的研究，对函数单调性的教学没有太多指导作用2.2 研究现状评价 通过对国内外研究现状，特别是国内研究现状进行分析后，可以看出，大部分文献都只研究了函数单调性的一个或几个方面，这些研究者中很多是来自高中教学一线的老教师或数学学科骨干教师；因此在某种程度上可以看出，现在很多高中教师和学生对函数单调性及其应用的相关知识也只是停留在表面上，还不够深入，还不够全面2.3 提出问题 我在参阅大量前人发表过的研究成果后发现，函数的单调性在高中数学教学中没有得到充分的认识与研究，但其研究的价值和作用非常之大针对上述情况我将在参阅大量前人发表过的研究成果的基础上对函数单调性的认识与应用作进一步的归纳与探讨，并对其中涉及函数单调性的认识与应用等问题作分类研究，以揭示函数的单调性在中学数学中的显著作用 限于作者目前的研究水平，我仅对涉及函数单调性的四个主要方面作了一些初步的探讨，旨在抛砖引玉，相信在高中数学学习中一定还存在不少关于函数单调性的问题，望今后有志于加强和潜心研究中学数学的作者，多做一些相关的研究，以促进高中数学的教学工作3对中学函数单调性的几点认识3.1 关于函数单调性的定义定义12设函数，(1)如果对任意的，当时，都有，则说在上是增函数(2)如果对任意的，当时，都有，则说在上是减函数(3)如果函数在上是增函数或减函数，则说在此区间上具有(严格的)单调性，该区间叫的单调区间定义23数定义在数集上，如对中任意的与，当时，有(或)，则称函数在上严格增加(或严格减少)，如上述不等式对应地改为(或)则称函数在上单调增加(或单调减少)函数在上严格增加、严格减少与单调增加、单调减少，统称为函数在上单调；严格增加与严格减少统称为严格单调；如是区间，则此区间称为函数的单调区间从这里看出，前面的定义不够全面，仅是后面定义的特殊情况，指出这一点很重要，如我们常说数列是严格减少的，用定义1无法解释，而用定义2极易看出，该数列在自然数集上严格减少3.2 函数单调性的几个方面的理解函数单调性是函数知识中的重要概念，为便于对其掌握，我们这里试从几个方面阐述对函数单调性的理解为方便叙述，文中涉及的相关问题均在函数的定义域内某个区间上3.2.1 图象理解1上升则增，下降则减，陡快坡慢已知函数的图象如图1所示， 分析函数的图象，在上是上升的，所以函数在上是单调递增在区间上是下降的，所以函数在上单调递减， 在上是上升的，所以函数在上单调递增例如 如图函数与函数当时，；当时，两个函数的自变量的变化值都是2-1=1，但函数值的变化为即函数比增加快，并且函数的图像比函数的图像陡3.2.2 符号理解4设是函数的定义域上的一个区间，若对任意的如果当时，都有，则为区间上的单调递增函数；反之，如果当时，都有，则为区间上的减函数例3已知定义在上的奇函数满足：=+；当时，且，求在-3，3的最大值与最小值解 设，则，所以函数在0,3上是减函数，根据奇函数性质知在-3,3上为减函数，所以最大值为；最小值为 3.2.3 对定义中“任意”的理解单调性定义中的，是定义域I内某个区间上的任意两个值例15试判断命题“函数在定义域内是减函数”的真假解对于定义域内的任意两个数，且，并不恒成立，如-1<2，有.故上述命题是假命题事实上，对任意两个数,若，都有，则函数在区间上是减函数；对任意两个数,若，都有，则函数在区间上也是减函数。所以，正确的说法是“函数在区间上是减函数，在上也是减函数”在解此题中，-1,2不能代表任意数.3.2.4 对定义中“唯一”的理解若是区间上的单调函数，则在区间上是单值函数；即单调函数中，一个函数值只能对应唯一一个自变量的值例15(2003上海高考题)方程的根_(结果精确到01)解令，易知当时， 是增函数所以方程0只有一个实数根因为<15625+2-18<0，=19683+lg27-18 > 0，所以方程0的根，当方程的根要求精确到01时，可取3.2.5 正向理解4对于函数定义域内的某个区间上任意的两个若为增函数，当时，有；若为减函数，当时，有例6设函数在上是增函数，函数是偶函数，则，的大小关系是：解因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，所以=，=又因为在(0，2)上是增函数，且，所以<<，所以<<3.2.6 逆向理解4如果为增函数且有，则有；如果为减函数且有，则有3.2.7 导数理解设函数在区间内可导若，则为增函数；若，则为减函数反之，若为增函数，则；若为减函数，则3.3 初等数学中判定函数单调性的常用方法 3.3.1 利用函数增减性的定义中学数学中，对函数单调性的研究，主要依据函数单调性的定义定义6设函数的定义域为，区间，如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称函数在区间上是单调增加的；如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称函数在区间上是单调减少的例如判定函数的单调性首先，确定函数的定义域为，然后分别在区间和区间上利用函数增减性的定义进行判定(1)当时，设，且则=由，且可知，于是，即，所以在上是增函数(2)当时，用同样方法可证得在上也是增函数(证明略)使用函数增减性的定义来判定函数的单调性，可归纳为以下四个步骤：任取两个变量在定义域内给定的区间上任取两个不等的自变量值，并规定（或）作差将自变量和的对应函数值与相减变形将解析式化简变形判断符号将变形后的式子与0比较简单地说，就是：任取作差变形判断符号3.3.2 利用已知函数的单调性来判断较复杂函数的单调性我们给出下面的一些定理：若函数，在给定的区间上具有单调性，则在区间上：(1)函数与(c为常数)具有相同的单调性(2)当时，函数与具有相同的单调性当时，函数与 具有相反的单调性(3)若，则与具有相反的单调性(4)若，则函数与具有相同的单调性(5)若函数，都是增(减)函数，则+仍是增(减)函数(6)若函数，且与都是增(减)函数，则也是增(减)函数；若函数，且与都是增(减)函数，则是减(增)函数(7)函数与它的反函数具有相同的单调性(具有单调性的函数必有反函数)利用上述定理，可以简便地判定函数的单调性此处以（3）为例，其它不作详细说明例如可变形为)=，由于一次函数是增函数，所以当时，函数在和上均为减函数于是在和上均为增函数故在和上都是增函数由此可知在和上都是增函数3.3.3 利用导数与函数单调性的关系进行判断6若函数在某区间内可导，如果，则在该区间内为增函数；如果，则在该区间内为减函数；如果，则在该区间内为常数函数（或）设函数在上连续，在内可导如果在内，那么函数在上单调增加；如果在内，那么函数在上单调减少例85设在上是单调函数，求实数的取值范围解函数的导数为(1)若在上单调递增，则，即当时恒成立令，有，故在上递增所以(2)若在上单调递减，则，即当时，恒成立，所以综合(1)，(2)得或对导数与函数单调性关系的几点说明：若函数在某个区间内可导，(1)与为增函数的关系由能推出为增函数，但反之不一定，如函数= 在上单调递增，但，所以是为增函数的充分不必要条件(2)与为增函数的关系由前面的分析可知，为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或，当函数在某个区间恒有，则为常数，不具有单调性，所以是为增函数的必要不充分条件4中学函数单调性的应用函数单调性是函数重要的性质，函数单调性的应用体现了函数的思想、转化的思想，使原本复杂的问题简单化、明了化这一应用主要体现在不等式的求解，不等式证明，不等式中参数的取值范围的确定，比较大小，简单求值，求函数值域、极值等多方面问题中灵活掌握这一性质，可以做到活学活用4.1 函数单调性在不等式中的应用4.1.1 利用函数单调性解不等式函数和不等式是高中数学中相互交融、不分彼此的两章利用不等式研究函数的性质本是司空见惯，而利用函数的性质研究不等式更是妙趣横生，下面举几个解不等式的例子来了解函数的单调性在解不等式中的应用若在区间上为单调增加(减少)函数，且当时有成立，则有例17不等式的解集是_解原不等式的两边皆为的形式，故构造函数.所以，又，所以在上是单调增函数，所以，所以，故原不等式的解集为.例28解不等式解令上述不等式又可化为，因为在上单调增函数，所以得，解此不等式得或故原不等式的解集或通过以上实例可以看出，应用函数单调性解决不等式问题的关键是根据不等式的特点构造一个恰当的辅助函数，再通过研究该函数的单调性和综合使用其它方法，使不等式问题得解这种方法简便易行，在其他学科上的应用尤为广泛，它的灵活使用可以使许多复杂的不等式问题迎刃而解，而且这种通过问题的转化获得问题解答的方法，是非常重要的数学思维，对许多问题的研究都大有帮助4.1.2 利用函数单调性证明不等式把所要证明的目标视为单调函数，然后直接利用单调函数定义：在区间上是单调增(减)函数，对任意的不妨设，则有 (或)来证明例19设为正实数， ，且，则证明设，则结论可转化为再令，则有，因为当时有，所以在此区间上为增函数，当时，所以在此区间上为减函数，从而在处取得最大值，有，即于是命题得证例210已知， ， 求证证明用数学归纳法(1) 当时，令，因为，所以在上是减函数，在上是增函数从而，在上， 有，在上，有，于是在上，有，故当时命题成立(2)假设当时命题成立，即当时，令，容易证得在上是单调递减函数，有；在上是增函数，就有故在上，即在上， 又不难证明得到，故从而=即当时命题成立由(1)、(2)知，对于及，且都有可以看出，在证明不等式时可灵活运用函数单调性这一重要性质来分析问题，使繁琐不等式证明简单了4.1.3 用于不等式中参数取值范围的确定运用函数的单调性可确定方程或不等式中参数的取值范围在解与不等式或方程有关的问题时，我们往往由于忽略变换的等价性而产生错误的解答，如果能恰当地利用函数单调性，则会避免这种错误例8设方程 ，此方程一根 ，且 求的取值范围解错解：设另一根为，由韦达定理得，因为，得，所以 ，即 反例 当 时，；都不满足分析在上面的推理过程中，且是的充分不必要条件，而解不等式的过程必须是等价变换直接运用韦达定理不易解答，我们不妨转换角度，利用函数单调性求解正解：因为，得或；又由方程得：当时，此等式不成立，因此只需要函数，的值域就能得到的取值范围设，且，则因为，所以，即，故得到函数在内是单调递增函数，而当时，；当时， 故的取值范围是例27设函数，若当时有意义，求的取值范围解由有意义，有，于是在上恒成立设，显然在上是增函数，所以，所以当时，在上恒成立，所以的取值范围是对含有参数的方程或不等式问题，经过变形以后，可以将参数分离出来成为主元，构造出适当的函数，通过对所构造函数的单调性进行讨论，即可以得到参数的取值范围4.1.4 函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用含参数不等式中字母参数取值范围的确定，一直是高考和竞赛的热点问题，也是考生比较头疼的问题，本人就函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用例说如下：4.1.4.1 利用“作差、作商判断函数单调性”来确定这种类型的我们平时见到的较多，可以以例1作为研究的例子例111已知定义在区间上，且，又，是其图像上任意两点()，若，求使|恒成立的取值范围解分析：本题求的取值范围确定，其实就是看|的最大值为多少，寻找|最大值，就转化为在上的最大值和最小值问题，由可得，所以，令=0， ，当时，当时，<0，当时，>0，所以，可以判断是的极大值点，是极小值点，并且，所以时，所以|所以使|恒成立的的取值范围为对于含参数不等式的问题，一般都是把含参数不等式中字母取值范围的确定，化归为函数单调性问题，至于单调性的判定要根据转化后的具体情况灵活把握4.1.4.2 利用“求导法判断函数单调性”来确定例112求最大常数，使得对满足，的实数，恒有解 我们不妨令，其中，则当时，有 恒成立，即，当恒成立也就是当恒成立令， ，即当时，恒成立，令，所以减函数，所以只须即可以，所以最大值等于4.2 函数单调性应用于比较大小运用函数单调性比较大小是非常常见的题型，不用求出各函数的大小而是构造一类函数，通过这类函数的单调性质来说明不同的自变量取值时其函数值的大小关系例1 7比较与的大小分析 显然这两个算式不可能用手算，甚至于一般的电子计算机在计算的时候也会溢出我们可以将比较这两个算式转化为比较和 (当)大小解 经过归纳，我们可以发现，当时，；当时，因此，我们可以猜测：当时，下面构造函数，利用函数的单调性来证明构造函数 ()，则有，所以函数在上单调递增，因为时，所以当时，即所以例213已知，比较与的大小解 因为(为自变量)()是单调递减函数，又有，于是，当时，可得到，则也就不难得到（）所以4.3 利用函数单调性解决相等问题函数的单调性是函数的重要性质，而函数的单调性往往容易使大家想起不等关系，其实单调性也包含有相等关系的一面，即具有单调性的函数可以有下面的等量关系： 充分必要条件是由此我们可以使单调性和相等相联系对于一些特殊的相等问题可以利用单调性来解决，也算是函数单调性的一种应用 4.3.1 解方程或方程组首先我们看看函数单调性在方程中得应用：例114 试确定方程3的解解令，显然有，且不难得到，即是方程的一个解下面我们证明是方程的唯一解事实上，不难证明在上是递增函数，而在上是递减函数，如果方程还有除外的其它解，那么当时，此时，从而，推出矛盾!故不是方程的解，从而是方程的唯一解下面我们再来看一个函数单调性在方程组中的应用：例27解方程组.解构造函数，则，且在上为增函数故原方程转化为若，则有，于是，可以得到，从而有，于是有，故；若，同理有，将代入原方程并化简，有，即单调函数当中的和是一一对应的，这样就可以把复杂的高次方程化为简单的方程，使得问题化繁为简若要利用函数的单调性解方程，则构造适当的函数是关键所在4.3.2 解决部分求值问题例7 (1991年第25届全苏奥林匹克11年级试题)已知实数与满足，则 _分析：仔细观察所给的两个等式，通过形式可以发现两个等式可以改写为和，从而找到解题的途径解由，可得；由，可得构造函数，可知在上单调递增，并且有，于是，故评注：本题结构比较新颖，解法比较独特，是在对两个已知等式的结构进行了分析的基础上，通过构造上的单调函数解决了问题4.3.2.1 求函数值域函数单调性求值域时中学数学中常用得方法以下例来说明：例115求函数的值域解函数的定义域为，又因为，在区间上分别为增函数，知在上也为增函数所以，故所求函数的值域为4.3.2.2 求函数的极值与最值一般解决此类问题往往需要判断函数在某个区间上是单调的，通过函数单调性求最值往往会收到事半功倍的效果最值即在极值点或端点处取到例116 求函数的最小值解 由且，可得函数的定义域为又和都在上单调递减，在上单调递增，于是在上单调递减，在上单调递增所以，即当时，取最小值为2例2 (1992年高考)设等差数列的前项和为，已知，(1)求公差的范围；(2)指出， 中哪一个值最大，并说明理由简析：函数认识等差数列的和为项数的二次函数，构建不等式解范围；等差数列求和整体思维研究单调性求解：(1)由，解得(2)， ，等差数列是首项为正公差小于0的递减数列，故最大运用函数单调性可求函数的极值（最值）先求得函数的驻点和导数不存在点，再考察这些点处的左右两侧单调性是否相同，若在驻点或不可导点的两侧单调性不同则这一点为极值点4.3.3 判断反函数单调性互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性，即在其各自定义域内原函数单调增加（或减少），则其反函数也单调增加（或减少）因此，只要知道原函数的单调性就等于知道反函数的单调性（单调性区间不同）这使得很多判断复杂函数单调性的的问题简单化、方法多样化例115 判断函数的反函数单调性解由，同为增函数可知在上也为增函数当时，的值域为，也可以判断的反函数在上为增函数5结论5.1 启示通过对函数的单调性相关知识及在中学数学中应用的讨论，可以使高中的教师和学生对函数单调性及其应用有更深刻的认识更重要的是，文章给高中学生在解题过程中对应用函数单调性的意识有了很大的促进作用5.2 局限性文章中仅对函数的单调性一些方面做了不够深刻的研究，限于作者目前的学习和研究水平，我仅对函数的单调性的定义、理解、判别和在高中数学解题中的作用作了一些探讨，而未能把函数的单调性与其它重要知识的结合挖掘出来，如函数的单调性和奇偶性的关系等在解题中的作用就没有谈到5.3 努力方向，未来研究建议在此要说明的一点是，文章仅把函数单调性的重要知识及在解题中的部分重要应用提取出来，今后我将继续对函数单调性的文章进行更深入的研究，以把函数的单调性在中学数学解题中的绝大部分重要作用体现出来，望今后有志于这方面的作者多作一些相关的研究和探索，以完善函数的单调性在高中数学解题中的重要作用另外，我们也可以从函数单调性或其应用的某一个主要方面的问题入手，研究这个方面和其他方面之间的内在关系及其在解题过程中的重要作用参考文献：1Lu Y，Wang J，Wang TMonotone CoefficientsJRevista matematica 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