关于函数的一致连续问题毕业论文.doc

关于函数的一致连续问题摘要:从函数的一致连续概念出发,总结了一致连续的条件及运算性质.关键词:函数;一致连续;连续 在数学分析中,关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础,但目前各种教材对这类问题提出和总结得不够,广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识,本文从一致连续的概念出发,总结了一致连续的条件、运算性质.1 一致连续及其相关概念 定义1 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上连续是指, x0I, > 0, > 0,当xI且 x-x0 <时,有 f(x) -f(x0) <. 定义2 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上一致连续是指,对 > 0, > 0(其中与对应而与x,y无关),使得对区间I上任意两点x,y,只要 x-y <,就有 f(x) -f(y) <. 定义3 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上不一致连续是指,至少 一个0>0,对 >0,都可以找到x,xI,满足 x-x <,但 f(x)-f(x) 0. 评注1 比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知,连续性的不仅与有关而且与x0有关,即对于不同的x0,一般说来是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续,函数就在这一区间上连续.而一致连续的仅与有关,与x0无关,即对于不同的x0,是相同的,这表明函数在区间上的一致连续性,不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续,而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的. 在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的,反之,在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的. 评注2 一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差(就绝对值来说)可以任意小. 用定义证明f(x)在I上一致连续,通常的方法是设法证明f(x)在I上满足Lipschitz条件 f(x)-f(x) L x-x , x,xI,其中L为某一常数,此条件必成立.特别地,若f(x)在I上是有界函数,则f(x)在I上Lipschitz条件成立.2 一致连续的条件及有关结论2.1 一致连续的条件 定理1(G·康托定理) 若函数f(x)在区间a,b上连续,则它在这个区间上也是一致连续的. 证明 要证的是对于任意给定了的> 0,可以分区间a,b成有限多个小段,使得f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差都小于,以下用反证法证之,若上述事实不成立,则至少对于某一个0> 0而言,区间a,b不能按上述要求分成有限多个小段. 将a,b二等分为a,c0、c0,b,则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段,把它记为a1,b1.再将a1,b1二等分为a1,c1、c1,b1,依同样的方法取定其一,记为a2,b2.如此继续下去,就得到一个闭区间套an,bn,n= 1,2,由区间套定理知, 唯一的点c属于所有这些闭区间.因ca,b,所以f(x)在点x=c连续,于是可找到> 0,使 x-c <(xa,b)时, f(x) -f(c) <0/2. 注意到c= 我们可取充分大的k,使 ak-c <, bk-c <,从而对于ak,bk上任意点x,都有 x-c <,因此,对于ak,bk上的任意两点x1,x2都有 f(x1) -f(x2) f(x1) -f(c) + f(c) -f(x2) < = 这表明ak,bk能按要求那样分为有限多个小段(其实在整个ak,bk上任意两点的函数值之差已小于了),这是和区间ak,bk的定义矛盾的,这个矛盾表明我们在开始时所作的反证假设是不正确的,从而定理的结论正确. 评注3 定理1对开区间不成立.例如函数f(x) =在(0,1)的每一个点都连续,但在该区间并不一致连续.事实上,对于任意小的>0,令x1=,x2=2,则 x1-x2 =,而 f(x1) -f(x2) =,这时 x1-x2 可以任意小,但 f(x1) -f(x2) 可以任意大.函数f(x) = tanx在(-,)也有类似的情形.以上两例讨论的都是无界函数,而sin在(0,1)内的每一点都连续,且显然在这个区间内有界,然而它也没有一致连续性,因为有任意小(因而也就彼此任意接近)的数x1与x2存在,使sin=1,sin=- 1. 定理2 f(x)在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足(xn-yn) = 0的任意两数列xn、yn,必有f(xn) -f(yn) = 0. 证明 必要性.若f(x)在I上一致连续,由一致连续性的定义, >0, >0,当 xn-yn <时, f(xn)-f(yn) <,即任两数列xn、yn,当n时, xn-yn 0,则必有 f(x0) -f(yn) 0. 充分性.用反证法,若两数列xn、yn,当n时, xn-yn 0, f(xn)-f(yn) 0而f(x)在I上不一致连续,那么一定0> 0,对n> 0,存在xn,yn,当 xn-yn <n时, f(xn) -f(yn) 0,取n0,我们得到两数列xn、yn,当n时,xn-yn0,但 f(xn) -f(yn) 0,这与假设f(xn) -f(yn) = 0矛盾. 评注4 定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的. 例如,函数f(x) = sin,在区间(0,1)上是连续的且有界,但在此区间上并非一致连续.事实上,当x0时,由基本初等函数在其有定义的区间上连续知,f(x)是连续的,同时,由于 f(x) 1,因而它也是有界的.现考虑(0,1)上的两串数列xn=,xn=,则当0<0<1时,不论>0取得多么小,只要n充分大,总可以使 xn-xn =<,但是 f(xn) -f(xn) = 1 >0,因而f(x)在(0,1)上并非一致连续. 定理3 设f(x)在有限区间I上有定义,那么f(x)在I上一致连续的充要条件是对任意柯西(Cauchy)列xn I,f(xn) R也是Cauchy列. 证明 必要性.因f(x)一致连续,即对 > 0, > 0,对 x,xI,只要 x-x <,就有 f(x) -f(x) <.设xn I为Cauchy列,于是对上面的> 0,必 N> 0,使当n,m>N时,有 f(xn) -f(xm) <,即f(xn)是Cauchy列. 充分性.若不然,必 0> 0,xn,xnI,虽然 xn-xn <,但是 f(xn) -f(xn) 0,由xn有界知,存在收剑子列xnk,从而xnk也收剑于同一点,显然xn1,xn1,xn2,xn1,是Cauchy列,但是f(xn1),f(xn1),f(xn2),f(xn2),不是Cauchy列,此为矛盾,故f(x)在I上一致连续. 定理4 设f(x)在有限区间(a,b)上连续,则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是f(a+ 0)、f(b- 0)存在且有限. 证明 充分性.令F(x) =f(a+ 0) (x=a),f(x) (x(a,b),f(b- 0) (x=b),则F(x)Ca,b,因此F(x)在a,b上一致连续,从而f(x)在(a,b)上一致连续. 必要性.已知f(x)在(a,b)上一致连续,所以对于 > 0, > 0,当x,x(a,b)且x-x<时, f(x) -f(x)<成立.对端点a,当x,x满足0 <x-a<,0<x-a<时,就有 x-x x-a + x-a <,于是 f(x)-f(x) <.由Cauchy收敛准则,f(a+ 0)存在且有限,同理可证f(b- 0)存在且有限. 评注5 (1)当(a,b)为无穷区间,本例中的条件是f(x)在(a,b)上一致连续的条件充分但不必要.例如f(x)=x,(x)=sinx,x(-,+)及g(x)= ,x(0,+)均为所给区间上的一致连续函数,但f(-) =-,f(+) =g(+) =+,(+)和(-)不存在. (2)定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如,研究下列函数在所示区间上的一致连续性. i)f(x) = (0 <x<);ii)f(x) = cos (0 <x< 1). 解 i)因= 1, = 0,所以f(x)在(0,)内一致连续.ii)因limx0+0excos1x不存在,所以f(x)在(0,1)内不一致连续. (3)由定理知,若f(x)C(a,b),则f(x)可连续延拓到a,b上的充要条件是f(x)在(a,b)上一致连续. 定理5 函数f(x)在区间I上一致连续的充要条件是,对 >0及x,yI,总 正数N,使正 f(x) -f(y) >N x-y . (1)恒有 f(x) -f(y) <. (2)待添加的隐藏文字内容3 证明 因为f(x)在I上一致连续的定义等价于:对>0, >0,使得对于x,yI,如果 f(x) -f(y) , (3)就有 x-y .而题设条件为对 >0, N>0,对x,yI,当不等式(3)成立时, f(x) -f(y) N x-y . (4) 充分性.若题设中条件成立,则由(4)式得 x-y f(x) -f(y) ，再由(3)式得 x-y ,所以对给定的> 0,只要取=,当x,yI,且满足(3)时,就有 x-y 成立. 必要性.若f(x)在I上一致连续,则对任给的> 0,存在> 0,使当x,yI,且满足不等式(3)时,就有不等式 x-y 成立,故 整数k,使得k x-y (k+ 1). (5)不妨设x<y,将x,y分成k+1等分,记xi-1(i=1,k+1)为其分点,由(5)式知 xi-xi-1 = <,故 f(xi) -f(xi-1) <,i= 1,2,k+ 1, /令N= + 1,则当I中的点x,y使(3)式成立时,必有(4)式成立,从而(1)式成立时,有(2)式成立. 评注6 本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范,它在理论研究上具有一定的意义.2.2 一致连续函数的运算性质 一致连续函数有一系列的运算性质,归结如下几个命题. 命题1 设(x)与(x)在区间I上一致连续,则(x) +(x)在I上一致连续(,为任意常数). 命题2 设(x),(x)在有限区间I上一致连续,那么(x)(x)在I上也一致连续. 命题3 设(x),(x)在无限区间I上一致连续且有界,那么(x)(x)在I上也一致连续. 其中“有界”的条件不可少,例如f(x) =x在(-, +)上一致连续,但无界,而f(x)·f(x) =在(-, +)上不一致连续. 命题4 设(x)在区间I上一致连续且> 0,那么在I上也一致连续. 最后应指出,一致连续函数的反函数,一般说来,不再一致连续,例如f(x)= 在(0, +)上一致连续而它的反函数 (x)= 在(0,+)内不一致连续,但可以证明在有限区间上,结论仍真.参考文献:1 斐礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,1993.93103.2 王向东.数学分析中的概念与方法M.上海:科学技术文献出版社,1989.278299.3 周家云,刘一鸣.数学分析的方法M.济南:山东教育出版社,1991.4862.