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安徽建筑工业学院安徽建筑工业学院 毕 业 设 计(论 文)专专 业业 信息与计算科学信息与计算科学 班班 级级 0606 信息信息(1)(1)班班 学生姓名学生姓名 束红霞束红霞 学学 号号 0620701012406207010124 课课 题题 图像放大算法设计图像放大算法设计 指导教师指导教师 李璐李璐 二零一零二零一零 年年 四四 月月 图像放大算法设计 束红霞(安徽建筑工业学院数理系，合肥 230022)摘要摘要：如今，数字图像已经在工程和数学领域引起广泛关注，而图像插值技术也已被广泛应用于数字图像处理，例如图像缩放、图像变形、图像恢复、图像重建、图像配准等。图像插值就是利用已知邻近像素点的灰度值来产生未知像素点的灰度值，以便由原始图像再生出具有更高分辨率的图像。本文首先通过分析实际图像获取系统将图像数字化后，建立图像的模型，并给出了图像的表示方法，根据数字图像的特点阐述了图像放大的基本原理。其次，本文介绍了最近邻插值、双线性插值和三次立方插值。通过对图像插值算法的分析，归纳了图像插值的共同技术缺陷和它们的理论成因。在这些常用的插值方法中，最近邻域插值方法和双线性插值方法都不能保证1C连续，因而有些情况下无法满足实际需要。三次样条插值方法可以达到2C连续，因而具有较好的图像效果，但计算速度较慢。然后本文提出了一种利用 Ferguson 双三次曲面插值进行图像放大的算法，该方法达到1C连续，因此比最近邻插值和双线性插值好，同时，计算速度比三次样条插值快。最后本文提出了一种基于图像边缘信息的自适应图像插值算法。它是根据边缘部分映射点邻域图像的复杂程度，自适应地调节插值权值的图像插值方法。应用该算法插值后边界清晰、自然，忠实地反映了原始图像的面貌，与传统的插值算法相比，其边界处理效果好且易于实现，实验也验证了该方法的有效性。关键词：关键词：图像放大 Ferguson 曲面插值 自适应插值 图像边缘 The design of Image Enlargement algorithm Shu Hong Xia (Department of mathematics&physics,Anhui Institute of Architecture and Industry,Hefei 230022)Abstract:Today,the digital image in the field of engineering and mathematics has aroused widespread concern,and the image interpolation technology has been widely used in digital image processing,such as image zoom,image deformation,image restoration,image reconstruction.Image Interpolation is known to use the adjacent pixels to generate gray value of the unknown pixels to the original image from renewable to a higher-resolution images.In this paper,through analysis of the actual image acquisition system will be digital image after image of the established model,and gives the image of that method,in accordance with the characteristics of digital images on the image to enlarge the basic principles.Then,this paper introduces the nearest neighbor interpolation,bilinear interpolation and bicubic interpolation.By the interpolation algorithm for the image analysis,summed up the image interpolation the common technical defects and their causes of the theory.Among these generally used interpolation method,the nearest interpolation and bilinear interpolation can not obtain 1Ccontinuity,so,they are not satisfied in some cases.The bicubic spline interpolation method can obtain 2Ccontinuity,therefore,it can get good quality of image,however,its computing speed is slower In this paper a new method is presented，in which Ferguson surface interpolation is used to image zooming.It can obtain 1C continuity,in this sense it is better than the nearest interpolation and bilinear interpolation,meanwhile the computing speed is more quickly than that of bicubic spline interpolation At last,this paper presents a message based on the Edge of adaptive image interpolation algorithm.According to the edge of the neighborhood image mapping,the complexity of the adaptive value of the right to adjust the interpolation image interpolation.Application of the algorithm after the interpolation of the border clear,natural,faithfully reflects the look of the original image,compared with the traditional interpolation algorithm,its borders are easy to get good effect and to achieve，the experiment also proved the effectiveness of the method.Keywords:Image enlargement Ferguson surface interpolation Adaptive interpolation Image edge 目录目录 1 1 绪论绪论.1 1.11.1 课题背景.1 1.21.2 主要问题及研究意义.1 1.31.3 本课题的主要研究工作.2 1.41.4 本文的内容安排.3 2 2 图像放大技术图像放大技术.4 2.12.1 灰度图像的表示.4 2.22.2 数字图像的特点.4 2.32.3 什么是图像放大.4 2.42.4 最近邻插值.5 2.52.5 双线性插值.6 2.62.6 三次立方插值.8 2.72.7 本章小结.9 3 3 插值算法插值算法.10 3.13.1 峰值信噪比（PSNRPSNR）.10 3.23.2 基于 FergusonFerguson 曲面插值的图像放大方法.11 3.2.13.2.1 概述.11 3.2.2 Ferguson3.2.2 Ferguson 双三次曲面.11 3.2.3 Ferguson3.2.3 Ferguson 双三次曲面插值.12 3.2.4 3.2.4 基于 FergusonFerguson 曲面插值的算法描述.12 3.33.3 实验结果分析.13 4 4 基于边缘信息的图像自适应插值算法基于边缘信息的图像自适应插值算法.16 4.14.1 概述.16 4.2 4.2 算法思想.16 4.3 4.3 算法描述.17 4.4 4.4 实验结果分析.19 4.5 4.5 本章小结.20 5 5 总结与展望总结与展望.21 5.1 5.1 总结.21 5.2 5.2 展望.21 致谢致谢.22 参考文献参考文献.23 附录附录.25 1 1 绪论绪论 1.11.1 课题背景 现实生活中看到的、触摸到的都是具体的事物。人们为了记录和表达这些信息，经常采用图像作为表现的方式。随着数字时代的发展，需要将这些图像输入到计算机中，并在计算机中存储、处理，在网络中传输，从计算机中输出。例如人们为了纪念生活中美好的瞬间拍摄的照片，或者从太空传回的记录大气和地面信息的卫星照片，为了广告宣传需要制作、打印长宽几十米的海报。而目前的图像数字化输入设备扫描仪、数字相机等等都是通过采样图像上的微小区域，产生对应的像素点，从而形成一个点阵化的图像数据。即对于固定的图像输入条件和固定的图像而言，可以获取的数据量是相对固定的。可是，很多情况下，例如为了纪念生活中美好的瞬间需要将拍摄的照片放大后挂在墙上，为了观察细节需要将从太空传回的记录大气和地面信息的卫星照片放大，为了广告宣传需要将一张小小的胶片打印成长宽几十米的精致的海报，经常需要将图像进行放大。这时就带来了一个问题。图像的放大首先意味着这个记录图像数据量的增加。那么，如何从原图得出需要的数据呢?。这就是我们将要解决的问题。在设计和实现数字化图像处理的运算方案时有两种观点:离散的观点和连续的观点。一方面，人们可以把数字图像看成离散采样点的集合(实际情况也是如此)，每个点具有其各自的属性。这样，处理运算就是对这些离散单元的操作。处理是对每个像素进行处理的。另一方面，人们感兴趣的图像通常源自物理世界，它们可用连续函数很好的描述。基于这种考虑，图像及其内容经常可由连续函数来更好的描述。这样，当对一个整数阵列进行操作时，人们可以以为他正在进行的处理步骤实际上是对暂时用数字图像表示的连续函数做的。尽管数字图像是以离散为基础的，但由于图像所对应的景物中的物体及成像的设备用连续函数能更好的表示，另一方面，本质上是用离散的技术来处理连续世界的图像，同时从信息表示的角度看，采用连续的观点才可能找到信息补充的途径，所以，在图像放大过程将坚持连续的观点。1.21.2 主要问题及研究意义 图像是人们通过成像手段所获得的被人们视觉系统察觉的各种数据的统称。虽然现代人用于图像显示的设备己经发展到很高的技术水平，各种显示器的分辨率越来越高，并且发展趋势还在不断加快，但是在实际中受制于各种条件，我们很难获得高分辨率的优质图像。例如航天应用中的遥感探测图像，超声图像和红外图像等等，无法达到理想的分辨率，这时就需要人工提高其分辨率，使得图像在更大的范围内比原来有更加明显的特征。另一个影响图像质量的重要因素是通信传输方面的问题，现如今通过互联网等来源可以下载到数百万计的数字图像，但是由于受到通信容量的制约，这些图像的分辨率无法保持较高的水准，人们在接收到图像后，会发现其显示效果相对于高分辨率显示设备而言是很不匹配的。低分辨率的图像很多时候是不能满足人们研究和应用的需求，这在目前是一个经常遇到并且日益突出的问题。为了适用于特殊场合和获得较好的视觉效果，需要一种有效的方法对图像进行放大。上述问题体现了数字图像放大技术的研究意义，随着计算机应用规模和运算速度的大幅度发展，以及计算机可视化和虚拟技术的发展，数字图像放大技术的应用领域和发展前途将会更加的广阔。1.31.3 本课题的主要研究工作 图像的放大和缩小有多种方法，其中比较常用的两种方法是几何变换和离散数字图像的连续表示。几何变换方法的主要原理是按照缩放倍数，将目标图像上的部分点(x，y)处的颜色值取作原始图像上对应点(u，v)处的颜色值，目标图像在其他点的取值用这点附近已知点的取值表示。离散数字图像的连续表示是对原始图像用连续函数进行刻画，即用二维的连续函数 f(x，y)来表示原始图像，使得原始图像上的每一个点(u，v)的颜色值等于 f(u，v)，再根据图像缩放的倍数对该连续表示的图像重新采样，得到目标图像(即根据目标图像行列的像素点个数，在得到的连续函数 f(x，y)上选取相应的格点，并以这些格点上函数 f(x，y)的取值作为目标图像的各个像素点的取值)。本课题主要是通过对图像的放大处理问题的研究，来实现图像的高精度放大，提高图像放大系统的精度。基于这一目的本课题的研究工作主要从以下几个方面展开：(1)系统介绍相关概念，并对三种常用插值算法进行介绍，包括其原理和各自的优缺点。(2)针对一般图像缩放中存在的局部连续性弱的问题，提出了基于Ferguson曲面插值的图像放大算法。由于该方法可以达到1C连续，因此，图像的效果比常用的最近邻插值法和双线性插值方法要好，是一种非常实用的图像缩放算法。(3)图像边缘具有剧烈跳变的局部特征而且边缘细节包含图像的重要信息。以上提到的几种插值算法都没有考虑到边缘问题，放大后的图像出现边缘细节模糊问题。在此基础上提出一种基于边缘信息的图像自适应插值算法。在设计过程中，它需要一个阈值来判断一像素点是否属于边缘部分，它是从双线性插值算法中演变而来的，通过控制阈值的大小可让其退化为双线性插值算法。该算法提高了插值精度和缩放质量。(4)在 MATLAB 环境下，用语言编写相应的程序进行实验，来验证算法的可行性和有效性。1.41.4 本文的内容安排 根据研究过程中所涉及到的实现步骤与关键算法，论文分为五章，具体安排如下：第一章：介绍图像放大技术出现的背景以及数字图像放大技术的意义，提出课题的研究目标及论文的组织结构。第二章：图像放大技术的综述，包括相关概念和三种常用插值方法的原理及利弊。第三章：首先介绍了峰值信噪比的概念，再详细介绍了基于 Ferguson 曲面的插值算法，包括其原理和优点，最后将本章算法与第二章提到的插值算法作了比较。第四章：首先详细介绍基于边缘信息的图像自适应插值算法，它考虑了图像的边缘问题，放大后的图像效果更好，然后利用图像和图表来说明该算法的优越性。第五章：作为全文的结束篇章，不仅对全文的工作进行了总结，同时也对本课题进一步研究的方向进行了展望。2 2 图像放大图像放大技术技术 2.12.1 灰度图像的表示 灰度图像是指物体的二维光强度函数(,)f x y(0(,)1)f x yL，其中 x，y 是空间点的坐标，任意点(,)x y处的数值(,)f x y正比于图像在该点的亮度(灰度级 L)。可以把一幅灰度图像考虑为一个矩阵，其行和列表示图像中的一个点，而相应的矩阵中元素的值表示出该点的灰度级。如果灰度级仅为黑白两种，则称为二值图像。从该过程看，是将连续的图像离散化得到数字图像的，因此图像在物理上是离散的，可是在内容上是连续的。2.2.2 2 数字图像的特点 需要处理的数字图像通常来源于客观世界的物理存在，比如一幅风景的照片。所以从图像的内容上看，图像具有高度的复杂性，有着极其丰富的细节。从数字图像的存储方式上看，它具有离散性。一幅图像可以表征为一个矩阵，利用行和列记录该像素的位置，值代表了这一点的量化后的值。这种离散化的点的信息存储方式，大大丢失了或者说没有直接包含图像内容的关联信息。无论什么样的图像都是同样的用离散的点来表示，显而易见，不同图像之间的不同也就是像素灰度值的不同，和图像内容相关的表征只有各个点的灰度信息。而图像的高频和低频信息是和内容有关的，这就增加了处理的难度。同时由于处理的图像大都来自客观世界的物理存在，同时从图像数字化过程和数字化设备的特点来看，图像又具有内容上的连续性。数字图像是连续信息的离散表示。这个连续性无疑是非常有意义的。因为在对图像放大过程中，可以对图像的点进行离散的数学操作无疑是非常有限的。而连续则不同，它包含了大量的信息。而要解决的问题是，图像是如何连续的。图像的连续程度是否应该等同划一的处理。不同图像的连续性是否相同，这种连续性和图像的内容有什么关系，应该以哪种方式来表达或者如何利用这种连续。2.2.3 3 什么是图像放大 图像放大处理是图像重建的一种，就是用一种方法来改变图像已有的大小，以足人们的视觉需要或应用需要的一种行为。图像放大的处理技术在实际应用中的重性是不言而喻的，图像的这种处理手法在图像显示、传输(通讯)、图像分析以及动制作、电影合成等方面有着相当广的应用。从理论上讲，图像放大问题就是图像插值间题。我们所常用的图像放大方法主要最近邻插值方法、双线性插值方法和三次立方插值等，常规的插值方法简单，处理速度快，已广泛应用于商业软件中。因这些常规图像放大方法计算简单，以至于人们将图像放大处理视为图像处理理论中较简单的内容，即使一些图像处理的专著也不将其作为一个专题研究。但我们必须看到，这些插值方法大都是前几世纪，在计算设备、技术相当落后的前提下，为了进行复杂计算而提出来的方法，这些常规的插值方法主要是利用特定的函数结构来构造插值函数，而没有考虑数据的物理信息。因此，其放大效果存在着众所周知的如马赛克、斑点等一些不合理现象。所以，为了获得高质量的放大图像，需对图像放大技术进行更深入地探索，以寻求更好的图像放大方法来处理图像放大问题。插值是确定某个函数在两个采样值之间的数值时采用的运算过程。插值通常是利用曲线拟合的方法，通过离散的输入采样点建立一个连续函数，用这个重建的函数便可以求出任意位置处的函数值。这样便可以不受仅能在采样点处抽取输入信号值的限制。插值过程是通过对离散信号作低通滤波处理，减少了信号的带宽1。插值函数对采样数值的平滑作用，恢复了在采样过程中丢失的信息。因而插值可以看作是采样的逆过程。图像插值技术是数字图像处理领域里一个很大的分支，插值方法亦多种多样。目前，采用较多的图像放大方法是线性插值。线性插值算法主要有：最近邻插值(nearest)、双线性插值(bilinear)、三次立方插值（bicubic），这些方法也是传统、经典的插值方法2-7。2.2.4 4 最近邻插值 图图2.1 2.1 最近邻最近邻域法域法插值求灰度值插值求灰度值 如图2.1所示，设(,)i j、(,1)i j、(1,)ij和(1,1)ij是灰度插值前的一个四点领域，其灰度值分别为(,)g i j、(,1)g i j、(1,)g ij和(1,1)g ij。现在的问题是要求出这四个像素位置中间某点(,)u v的灰度值。最近邻插值法(Nearest Neighbor)是比较(,)u v点和(,)i j、(,1)i j、(1,)ij和(1,1)ij四点之间的距离，然后以与(,)u v点最近的那点的灰度值作为(,)u v点的灰度值。将两点之间的距离记为(,),(,)D u vi j，则上述四点与(,)u v点最近距离可由下式求得：(,),(,)min(,),(,),(,),(,1),(,),(1,),(,),(1,1)D u vi jD u vi jD u vi jD u vijD u vij (2-1)在算得与(,)u v点距离最近的点(,)ij后，由最近邻域法确定的(,)u v点的灰度为 (,)(,)g u vg ij (2-2)与待求像素相邻的四个像素点中，将距离该像素最近的邻像素灰度值赋给待求像素。该方法的优点很明显，就是算法简单，计算量非常小且实现速度快，但用最近邻插值算法的明显缺点是容易产生“马赛克”现象，当需要在一个四点邻域内产生更多的像素点时，这一缺点会表现得更明显，校正后的图像有明显锯齿状，即存在灰度不连续性。因此它只适合对图像质量要求不高的场合。2.2.5 5 双线性插值 双线性插值8实际上是对最近邻插值的一种改进，它也是多项式插值中最简单的一种插值算法。双线性插值是根据某输出像素(,)x y在输入图像中2 2邻域内四个相邻点(,)m n，(1,)mn，(,1)m n，(1,1)mn的灰度值，分别在x和y两个方向上进行线性插值。双线性插值的表达式共有 4 项:(,)f x yabxcydxy (2-3)当x固定时，它是y的一次多项式，当y固定时，它是x的一次多项式。它共有四个系数，可以令四个相邻的点为插值点，以插值点上的(,)f x y的函数值为插值条件确定四个系数。双线性插值的原理如图 2.2 所示。图图 2.2 双线性插值放大原理双线性插值放大原理 首先，我们对列进行放大，即在 x 方向上进行线性插值，(,0)(1)(0,0)(1,0)fxx fxf (,1)(1)(0,1)(1,1)fxx fxf 再对原始图像的行进行放大，就是在 y 方向上进行线性插值，(,)(1)(,0)(,1)fx yy fxyfx 最后得到双线性插值表达式(,)(0,0)(1,0)(0,0)(0,1)(0,0)f x yfx ffy ff (0,0)(1,1)(1,0)(0,1)xy ffff (2-4)需要说明的是，在对相邻的四个像素进行双线性插值的时候，所得的拟合曲线在邻域边界处的值是连续的，但并不是一阶可导的，也就是说采用双线性插值拟合曲面是具有 C0连续性的曲面。双线性插值9-10是对待插值像素周围的 4 个临近像素的灰度按照距离进行加权平均，实质上是属于一阶插值。双线性插值的平均作用有可能图像的细节产生退化，当放大倍数比较大的时候，这种现象更加明显；而且最近邻插值和双线性插值仅能进行内插，这影响了图像放大的效果11。（0,0）（x,0）(1,0)(1,y)(1,1)(0,y)(0,1)(x,y)(x,1)f(0,0)f(0,y)f(1,0)f(1,y)f(1,1)f(0,1)x y 灰度 f(x,y)2.62.6 三次立方插值 三次立方插值又称为立方卷积插值，它是一种应用较广泛的插值方式，作为对双线性插值法的改进，不仅考虑到四个直接邻点灰度值的影响，还考虑到各邻点间灰度值变化率的影响，利用了待采样点周围更大邻域内像素的灰度值作三次插值。此法用了三次多项式()s x，其数学表达式为:23231 2|()48|5|0 xxs xxxx|12|1|2xxx (2-5)式中 x 为自变量；()s x为三次多项式的值。计算时利用周围 16 个邻点的灰度值按下式进行内插：(,)f iu jvA B C (2-6)式中 (1)()(1)(2)Asus ususu(1,1)(1,)(1,1)(1,2)(,1)(,)(,1)(,2)(1,1)(1,)(1,1)(1,2)(2,1)(2,)(2,1)(2,2)f ijf ijf ijf ijf i jf i jf i jf i jBf ijf ijf ijf ijf ijf ijf ijf ij (1)()(1)(2)Csvs vsvsv 分析式（2-5）和式（2-6），可得：2323(1)48|1|5|1|1|(|2|)suuuuuuu 2323()1 2|(1|)(|2|)s uuuuuuu 令23|2|kuuu 则：(1)suk，()(1|)s uuk 若令0k，则立方卷积法就退化为双线性插值法。因此，可以把用三次多项式插值的立方卷积法看成由两部分组成，其中(1|)u代表直接邻点的灰度值对待采样点的影响，而k则代表邻点间灰度值的变化率对待采样点的影响。与双线性插值法相比，三次立方插值法不仅考虑了直接邻点的灰度值对待采样点的影响，还考虑了邻点间灰度值变化率的影响，因此具有更高的插值精度。2.2.7 7 本章小结 本章主要论述了经典插值算法原理、插值模型及优缺点，经典插值算法原理基本相同，首先需要找到与输出图像相对应的输入图像点，然后再通过计算该点附近某一像素集合的加权平均值来指定输出像素的灰度值，其他像素都不考虑。两种算法之间的区别主要在于点周围像素序列的取法不同。对于灰度变化平缓的图像区域，采用上述插值技术，通常已能达到较好的视觉效果。但是，由于它们不能很好地处理图像中剧烈跳变的局部特征，如：边缘、纹理等细节，导致放大图像的边缘细节模糊。本质上是由于这些插值算法是对观测图像的线性操作，不能拓展图像的有效频率带宽，平滑了图像边缘细节信息。图像边缘包含一幅图像中最重要的信息，图像边缘部分出现的这些缺陷将严重影响插值后图像的视觉质量。如何去除图像插值中的边缘平滑效应，怎样很好地保持图像的局部边缘特征，怎样实现对图像边缘部分的处理，使插值后图像边缘部分清晰而无锯齿等干扰现象，提高插值后图像的主观视觉质量成为摆在我们面前的一个急需解决的问题。3 3 插值算法插值算法 3 3.1.1 峰值信噪比（PSNRPSNR）人的肉眼很难看出两幅图像有什么差别。但这种视觉差异判断只是一种主观评价，其存在的最大问题就是因人而异。在衡量一个图像放大算法的不可见性上，我们希望有一种或多种客观的评价方法，能够将感知差异性量化为一定的数值，通过数值大小的比较直接评定感知质量。比较具有代表意义的图像感知质量客观评价策略有:均方差(MSE)和信噪比(SNR)。(l)均方差(MSE)MSE(Mean Square Error)是最普遍的使用于图像感知质量评价的手段之一。MSE可以直接反映出评估对象发生的改变。要衡量一个放大后的图像与原始图像在品质上的差异，我们可以使用MSE作为一种估计的手段，得到图像变化的客观指标。图像之间的MSE由公式(3-1)计算得到。2111(,)(,)MNxyMSEf x yg x yMN (3-1)其中，(,)f x y表示与放大后的图像大小相等的标准图像的各个像素，(,)g x y表示放大后的图像各像素。M*N是图像的尺寸。(2)峰值信噪比(PSNR)PSNR(Peak Signal to Noise Ratio)即峰值信噪比是最通行的评定信号品质的指标。图像处理不可见性评价中，用公式(3-2)定义了图像的PSNR PSNR(Peak Signal to Noise Ratio)即峰值信噪比是最通行的评定信号品质的指标。图像处理 210211()10log(,)(,)MNxyD MNPSNR dBf x yg x y (3-2)其中，D是信号的峰值。在本章中，实验使用的原始图像为8位灰度图像，此时，每个象素值的峰值就是255，D=255。公式(3-2)均取10倍以10为底的对数，目的是将计算值换算成分贝(dB)这一标准单位。通过计算原始图像与放大后的图像的PSNR，可以在一定程度上对不可见性作出评价。事实上，PSNR与MSE有十分相似的部分，所以PSNR也可如公式(3-3)用MSE作为参数直接表示:210 ()10logDPSNR MSEMSE (3-3)图像的峰值信噪比在一定程度上反应了图像数据处理前后的变化情况，其所反应的是图像数据变化的统计平均。这里特别强调指出：对图像放大技术的不同具体应用，应该有着各自不同的具体要求，并非都需要满足上述要求。3.23.2 基于 FergusonFerguson 曲面插值的图像放大方法 3.2.13.2.1 概述 目前常用的插值方法有：最近邻插值，双线性插值，双三次插值方法和三次B样条插值等12-13。在以上方法中，最近邻插值不能保证插值曲面0C连续，插值后图像会出现块状化现象，图像视觉效果不佳，因而在实际的应用中极少采用；双线性插值只能达到0C连续，在插值处只能保证灰度值连续，不能保证导数值连续，因此，在某些要求较高的场合仍不能满足要求；B样条插值方法可以达到2C连续，在插值处可以保证灰度值和直到二阶导数值连续，因而对一些细节丰富的图像应用双三次样条插值可以得到更好的视觉效果。但由于需要求解线性方程组，其计算时间较长，尤其是在放大倍数很大时，尤为明显。本章提出了一种基于Ferguson双三次曲面插值的图像缩放算法。这种方法介于双线性插值和双三次样条插值方法之间，是一种1C连续的插值方法，插值处插值处灰度值和导数都连续，细节表现清楚，因此，从理论上讲该法优于最近邻插值方法和双线性插值方法。由于它不需要求解线性方程组，因而计算速度比双三次样条插值要快得多。3.2.2 3.2.2 FergusonFerguson 双三次曲面 给定双三次参数曲面(,)P u w(01,01)uw4 个角点处的几何信息：位置矢量(,)ijPP i j(,0,1)i j，沿u向 的 切 失,uiju i wjPPu(,0,1)i j，沿w向 的 切 失,wiju i wjPPw(,0,1)i j，以及四个角点处的扭失2,uwiju i w jPPu w (,0,1)i j，则满足以上几何条件的双三次参数曲面可表示为14：(,)TTTP u wUAWUMBM W (3-4)其中TAMBM，00010001101110110001000110111011wwwwuuuwuwuuuwuwPPPPPPPPBPPPPPPPP，2211332100101000M，3211Uuuu，3211Wwww。由公式(3-4)定义的曲面称为 Coons 双三次曲面。在实际计算时，4 个角点处的扭矢不容易确定如果令上述公式中 4 个扭矢为零，即令 0001000110111011000110110000wwwwuuuuPPPPPPPPBPPPP，此时由公式(3-4)定义的曲面就称为 Ferguson 双三次曲面。3.2.3 3.2.3 FergusonFerguson 双三次曲面插值 对于给定的原始图像ijF，1iM，1jN，在本章的算法中，插值曲面(,)F s t(1,1)sMtN 由 Ferguson 双三次曲面片(,)ijF u w(11,11)uMwN组成。(,)TTTi ji jFu wUAWUMB M W (3-5)其中U，W，M的含义同上，,1,.11,1,11,1,1,11,1,10000wwi ji ji ji jwwijijijijijuui ji juuijijFFFFFFFFBFFFF (3-6)插值曲面(,)F s t按如下方式定义：当1isi，1jtj 时令 (,)(,)ijF s tF u w，usi，wtj (3-7)在矩阵(3-6)中，左上角,i jF，1,ijF，,1i jF，1,1ijF代表像素的灰度值，均已知。左下角代表在 4个角点处灰度值关于参数u的变化率，右上角代表在 4 个角点处灰度值关于参数w的变化率，用向后数值微分来估计这些值，即令,1,ui jiji jFFF (3-8),1,wijijijFFF (3-9)至此，就得到了连续的插值曲面(,)F s t。对其进行重采样，即可得到任意大小的图像。根据上述构造过程，显然插值曲面(,)F s t具有1C连续性。而且，在构造的过程中，不需要解方程组，因此，计算速度很快。3.2.4 3.2.4 基于 FergusonFerguson 曲面插值的算法描述 下面给出基于 Ferguson 曲面插值算法的流程图，如图 3.1 所示。原始图像 F 是 M*N；放大后的图像 G 是 M*N。图图 3.1 流程图流程图 3.3.3 3 实验结果分析 在第二章中，列举了三种常见的插值算法，下面来看看这三种算法和本章算法的插值效果。对128 128的标准灰度图像 Lena 分别使用第二章列举的插值算法进行放大处理。Lena 图像存放在C:MATLABwork 中，其实现代码如下：开始 输入原始图像 x=3,y=3 xM-3;y5 出错，返回 是 否 建立新矩阵 是否为待插入点 自适应插值 开始 双线性 插值 赋原值 是否为边缘点 结束 另外在高倍图像放大时要注意一个问题。当把一个图像放大5倍以上时，存在着某些待插入点周围没有原图像的像素点的情况，这样在放大图像时，原图像的像素点之间的相关性信息就没有被充分利用，这对图像的放大是不利的。这时，发现采用多次放大就可以取得好的效果。比如要把一幅图放大6倍，并不把图像一次直接放大6倍，而是分两次放大，每次放大3倍，这样的效果要好于前一种做法。本算法流程图考虑了这种情况。4 4.4 4 实验结果分析 下面我们来看看本章插值算法和第二章提到三种算法的PSNR，下表是将256 256的标准Lena图像看作无失真的图像，原128 128的标准图像经插值算法放大2倍后的图像看作失真的图像，得到图像的PSNR。表2列出了128 128的Lena图像经四种插值算法放大2倍后得到图像的PSNR。PSNR越高说明插值图像与原图像相符合的程度越高。实验结果如表2所示:表表2 2 各种插值算法效果的比较各种插值算法效果的比较 PNSR Lena Nearest 21.826dB Bilinear 22.5294dB Bicubic 22.6167dB 自适应插值 22.8907dB 从表 2 中可以看出，在对图像 Lena 进行缩放实验时，本章算法的 PSNR 值最高，说明本章算法的效果是比较好的。为进一步验证本插值算法的有效性，将128 128的 Lena 灰度图用本章算法放大成256 256的图像，结果如图 4.2 所示。从图中可以可看到，本章算法的视觉效果很好。原图 三次立方算法 本章算法 图图 4 4.2 2 本章本章算法对算法对 LenaLena 图像放大的效果图比较图像放大的效果图比较 4 4.5 5 本章小结 线性移不变插值和自适应插值是图像插值技术的两大分支。线性移不变插值具有算法简单，处理效率高的优点。它对于频率带宽有限的平稳信号重建结果是准确的。然而，实际自然图像平稳性较差，线性移不变插值出现了保持图像背景平滑与保持图像边缘锐变的矛盾。自适应插值技术应运而生并成为现代插值技术研究的主流。大量运用像素统计，辨识图像局部特性，充分挖掘图像细节信息，很大程度上改善了插值图像的质量。但是，算法计算量大，给算法的实际应用带来了困难。5 5 总结与展望总结与展望 5.1 5.1 总结 随着计算机硬件技术、多媒体技术和数字处理技术的蓬勃发展，数字图像在科学研究、工业生产、国防以及现代管理决策等各行业都得到越来越多的应用。随着图像处理的在各个领域的得到越来越广泛的应用，传统的图像处理方法的局限性严重影响了图像处理的效果，难以达到期望的目标。于是人们开始尝试使用数学方法解决图像处理中更困难的问题。数字图像处理技术的研究方法与众多学科相互借鉴，它的研究范围与众多专业相互交叉，出现了许多新理论、新算法和新手段。本文主要从以下方面展开论述：1 首先介绍了三种常见的插值算法，即最近邻插值、双线性插值和三次立方插值，总结了各算法的优劣。2 针对一般图像缩放中存在的局部连续性弱的问题，比较成功地将Ferguson双三次曲面1C连续的优越性引入到放大算法中，提出了基于Ferguson双三次曲面插值的图像放大算法。由于该方法可以达到1C连续，且不需要求解线性方程组，所以是一种非常实用的图像缩放算法。3 在双线性插值算法的基础上，提出基于边缘信息的自适应插值算法。它通过阈值控制方式把原图像的像素点分成两部分:非边缘部分和边缘部分。各部分采用不同的插值方法，双通道方式是提高插值图像整体视觉效果和减少运算复杂度的关键。5.2 5.2 展望 由于时间的缘故，本文对图像放大的研究还很有限。在未来的工作中，主要从以下几个方面着手考虑:1 插值图像边缘部分的分辨率对整个图像放大有着非常重要的影响。如何根据图像的复杂度更好的选取边缘预置阈值是将来进一步研究所要重点关注的内容。2 根据图像边缘邻点间灰度值变化率的影响，动态调整权值也