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毕业论文初稿论文题目：浅谈“科学计算”学生姓名：于英富学生学号：2008101203专业班级：信息与计算科学（1）班系院名称：理学系指导老师：禹海雄摘要：本文主要是介绍科学计算的基本概念，为了很好的解释科学计算，除介绍科学计算的定义、科学计算的运用过程以及中国科学计算的专家之外，主要是分析一些常用的数值算法和算法的matlab程序和其运算结果，比如解非线性方程、解线性方程组，求解一些难于求原函数的积分和微分的数值解，每个算法都附有程序和运算结果。在解说这些算法之前本文先介绍了matlab软件的一些基本功能和用法。在分析完这些算法之后本文又介绍一些科学计算的实际生活中运用例子即科学计算在工程中的运用。最后以科学计算的意义结束本次毕业论文。另外由于科学计算现已经成为一门完整的科学体系，要从每个角度深度去分析是不可能的了，所以本文主要是从一些常用的例子，深入浅出的去解说科学计算这门神秘的数学科学.关键词：科学计算 运用过程 数值算法 matlab 神秘的数学科学Discussion on "Scientific Computing"Abstract：This thesis is to introduce the basic concepts of scientific computing，In order to explain the scientific computing ，it introduced the definition of scientific computing, the process of applying of scientific computing and Chinese scientific computing experts. We also analyzed some commonly used numerical algorithms and algorithms matlab program and the results of its operation. for example, for solving nonlinear equations, solving linear equations, Integral numerical solution that are difficult to seek the original function and Differential numerical solution. In addition, each algorithm is accompanied by procedures and computational results. This article introduces some basic functions and usage of the Matlab software before it. Later introduced the use of scientific computing in real life use of examples of scientific computing in engineering. Finally, the significance of scientific computing to the end of this thesis. because Scientific computing now has become a complete scientific system, it is not possible to analyze the scientific computing From every angle in depth, In this paper, some common examples of simple terms to explain the scientific computing -mysterious Mathematical SciencesKey words: scientific computing process of applying numerical algorithms matlab mysterious Mathematical Sciences目录一 科学计算的概述51.1 科学计算的定义51.2 从经典数学到科学计算51.3 我国计算科学主要专家介绍51.3.1 冯康61.3.2 周毓麟61.3.3 石钟慈6二 科学计算主要软件matlab简介72.1使用介绍72.2 Matlab-自然简洁的编程82.3 Matlab-多种绘图功能8三 科学计算的具体过程介绍83.1 对实际工程问题进行数学建模93.2 对数学问题给出数值计算方法93.3 对数值计算方法进行程序设计93.4 上机计算并分析结果9四 科学计算的的一般数值计算介绍104.1 解解非线性代数方程-二分法104.2 解线性代数方程组124.3积分问题134.3.1 简单的递推法144.3.2 复合梯形求积公式154.4 微分方程求解16五 科学计算在工程中的运用175.1 数值模拟计算在河流防洪工程中的运用175.2数值模拟在采矿工程中的应用185.3 数值天气预报18六 科学计算的意义和结束语196.1 科学计算的意义196.2 结束语196.21 总结196.2.2 感谢20七 参考文献20 一 科学计算的概述1.1 科学计算的定义科学计算也就是数值计算，科学计算是指应用计算机去解决科学研究和工程技术中所遇到的数学计算。在现代科学和工程技术中，经常会碰到大量复杂的数学计算问题，这些问题用一般的计算工具来解决是相当的困难，而用计算机来处理却非常容易。 自然科学规律通常可以用各种类型的数学方程式表达，科学计算的最终目的就是寻找这些方程式的最优数值解。这种计算可能涉及庞大的运算量，因而简单的计算工具难以胜任。在计算机普及之前，科学研究和工程设计主要依靠实验或试验提供数据，计算的作用仅处于辅助地位。随着计算机的迅速发展，使越来越多的复杂工程计算成为可能。利用计算机进行科学计算带来了巨大的经济效益，同时也使科学技术本身发生了根本变化：传统的科学技术只包括理论和试验两个组成部分，使用计算机后，计算已成为同等重要的第三个组成部分。1.2 从经典数学到科学计算当我们翻开M.Klein的名著古今数学思想史，回顾几千年来的数学发展，尤其是牛顿和莱姆尼茨创立微积分以来，数学这门学科已经建立了一个属于自己的庞大、优美、完整并且严整的理论体系，对科学技术的发展起到了巨大的推动作用。数学与科学技术的发展是相互促进的，共同进步的。但是许多数学问题，看似简单，人们却不能按照过去的思维与要求，以有限的形式完整地去解决它们。数学家比较容易解决许多“正问题”，但对于“反问题”却很棘手。例如，人们很容易就能计算多项式，但要求=0的根就很难了。容易求微分但的积分就很难求出来了。容易作微分的微分，但求解微分方程=0却很难等等。所以说古典数学中求有限形式的解得理论与方法，在面对这些现实问题的时候却显得力不从心。1.3 我国计算科学主要专家介绍1.3.1 冯康冯康（19201993）数学家，应用数学和计算数学家。中国现代计算数学研究的开拓者。独立创造了有限元方法，自然归化和自然边界元方法，开辟了辛几何和辛格式研究新领域，为组建和指导我国计算数学队伍做出了重大贡献。冯康是一生中作出两项国际公认的重大创造的少有学者之一，他早年学习物理，之后去苏联研究函数论和拓扑，有很深的数学物理功底。1957年受命组建国家计算中心。1.3.2 周毓麟周毓麟（1923）是我国著名的拓扑学、偏微分方程与计算科学家。1953年留学苏联莫斯科大学，研究偏微分方程，是我国最早用先验估计和拓扑方法等现代方法研究非线性偏微分方程的专家。1960年调回国防科工委从事核武器与数值模拟的研究，他不但为我国“两弹一星”成功做了默默的贡献，而且他还对差分法首次建立离散sobolev空间的嵌入理论，并用于偏微分方程研究，建立全新的体系。在年事已高时还提出抛物问题的并行算法。1.3.3 石钟慈石钟慈（1933）是我国和国际著名的计算科学家。早年在浙江大学和复旦大学学习基础数学，之后去苏联留学研究计算数学，1962年回国，在中科院计算所工作，成为冯康院士的得力助手、合作者和接班人。曾与冯康一起研究弹性组合结构的数学理论，获得国家自然科学奖。80年代石钟慈又赴德国洪堡基金会研究。对四阶板问题的非协调有限元的研究，提出了非协调元收敛的f-e-m检验准则，成为以后一序列研究的基石。二 科学计算主要软件matlab简介科学计算的已经有多种数学软件，如matlab，mathematics和maple等，它们都有非常强大的功能和友好界面，对初学者使用比较容易入门。今天主要是简单介绍一下matlab，它是英文matrix laboratory的缩写。2.1使用介绍首先点击matlab桌面图标，得到一个命令窗口。用鼠标单击命令窗口上的任意选项，例如file等，都会下拉一个菜单，上面有很多功能可以供你选用。另外，你还可以再桌面的下面直接编写简单的程序，点击回车键，就可以得到计算结果，但是假如有错，这个程序不能再修改使用，只能再复制。因为我们一般不采用这种方式，而是采用先制作一个新M文档的方式（他可以存储和修改）。在制作之前要在current directory 右边单击，下拉 文件浏览文件夹，确定你的文档可以保存在那里。先单击file 下拉一个菜单 将鼠标移到new， 单击m-file 即出现一个新的窗口untitled，可以在这里写你的程序，程序写好后，再单击file，存储在刚才已设计好的文档目录里。以后计算式，也可以再matlab桌面的同样路径下单击file再下拉菜单中单击open，找到你的文件就可以调用你原来的文件了。 计算：只要用鼠标拖拉function后的文件名复制它，在matlab的窗口后粘贴，直接按回车键，就开始计算了。Matlab中也有很多已经定义的一些特殊语句和函数。因此在定义一个新的变量名时不能和已有的相冲突，为了避免这种情况你可以把变量名设置的长一些，一般不能超过19个字符，或者有一定含义，相关谐音便于记忆。2.2 Matlab-自然简洁的编程Matlab可以进行复杂的程序编写，因为它具有和vc编程环境相似的功能，例如常用的编程语句：循环语句forend 条件语句ifelse.end 等，除此之外还有丰富的内部函数abs（x）绝对值；cos（x）余弦函数；等你甚至还可以自定义函数。2.3 Matlab-多种绘图功能计算的可视化是现代科学计算中输出计算结果非常重要的手段，matlab提供了许多可选用的图形工具。例如plot的二维图形和mesh的三维图形，还可以制作movie动画等，这样使得计算结果的显示变得丰富多彩。三 科学计算的具体过程介绍科学计算是人类从事科学研究和工程技术活动不可缺少的手段之一，在科学计算与计算技术飞速发展的今天，为使计算机能更好地应用于科学研究和工程技术领域，必须按照下面的步骤进行：实际问题数学模型数值方法程序设计分析结果。3.1 对实际工程问题进行数学建模应用有关学科的 知识和数学理论，将实际工程问题，用精炼准确的数学语言对其核心部分行描述并给出数学建模，这一过程常称为数学建模，一个好的数学模型需符合以下两方面要求：一是数学模型要能真实而准确地反应实际工程问题的本质；二是数学模型所用的数学算法能在计算机上实现，这两点缺一不可。工程中的数学模型，按数学性质，可分为确定型与随机型；按表达形式，可分为连续型与离散型。这些数学模型，有的能用确定的数学解析式描述，有的不能用确定的数学解析式描述，数值计算方法，主要讨论能用确定的 解析式描述的实际工程计算问题。 3.2 对数学问题给出数值计算方法计算机无论如何先进，它所能执行的计算也不过是简单的算术运算和逻辑运算，要想使计算机能够解决科学和工程计算问题，要把从科学和工程中的实际问题中建立的数学模型数值化，也就是根据不同的数学问题，寻求不同的数值计算方法。数值计算方法只能用算术运算和逻辑运算，否则计算机将无法计算，这将直接关系到能否把计算机用于实际问题。可见，数值计算方法在科学与工程技术计算中具有重要地位。数值计算方法的优劣，显然速度和精度是两个重要的指标，一个好的数值计算方法不仅精度高而且数度快。数度快，虽然就适当规模的问题而言，这一优势因计算机的能力而被削弱带劲，但对于规模大的问题，速度仍是重要的因素，慢的数值计算方法由于不被淘汰。3.3 对数值计算方法进行程序设计一个好的数值计算方法要通过程序设计才能在计算机上实现。程序设计要求用最简练的计算机语言，最快的速度，最少的存贮空间来实现某种要求的计算结果。要达到这样的要求，程序设计者不仅要掌握数值方法，而且要熟悉使用计算机语言，准确无误地描述每一个算法，并能以最快的速度发现和解决计算过程中出现的各种问题。3.4 上机计算并分析结果前面三个阶段工作的结果如何？还需要上计算试验后才能得出结论。上机计算的结果是否与工程实际相符合？所作研究 具有推广价值？都是必须关注的问题。若与工程实际不相符合，则需找出原因，回到前面三个阶段，继续研究，直到得出正确结论为止。四 科学计算的的一般数值计算介绍科学技术发展到今天，计算机的应用已渗透到社会生活的各个领域。而数值计算方法是计算机处理实际问题的一种重要的手段，从宏观天体运动学到微观分子细胞学，从工程系统到非工程系统，无一能离开数值计算方法。数值计算方法这门科学的诞生，使科学发展产生了巨大飞跃，它使各科学领域从定性分析阶段走向定量分析阶段，从粗糙走向精密。4.1 解解非线性代数方程-二分法一元一次方程ax+b=0，世界上很多民族在很早就会解了，古希腊人对二元方程，已经得到了解得公式为：，但是对于更高次的方程来说，用这种方法就相当的复杂了。于是人们开始探索用数值解法来解决物理以及工程中的高次方程的解得问题。数值解法的一般不需要得到求根解析式，而是求得满足一定精度要求的跟的数值解就可以。求方程的数值解可以分为三个步骤：（1） 根的存在性：方程是否有根？如果有，有几个？对于多项式方程，n次方程有n个根。（2） 根的隔离：我们要把有根的区间分成较小的子区间，每一个子区间最多只能有一个根，所以我们可以把区间内的每一点看成是根的近似值。（3） 根的精确化：对根的某个近似值我们再采用一定的方法让他逐步趋近于精确解，可以使其满足一定精度要求。所以说解高次方程的数值解的主要问题是采取什么样的方法让他接近精确解，或者说什么样的方法可以更快的逼近精确解，其实方法很多比如：二分法、割线法和抛物线法等等，这里我们只介绍一种-二分法二分法求解方程根的最简单、最直观的方法，其基本思想是：设函数f（x）在a,b上连续，且f（a）f（b）<0,又不妨假设f（a）<0， f（b）>0，由数学分析的知识我们可以发现，方程在区间（a,b）内至少有一个实根，（a,b）就是方程的有根区间，然后逐步二分区间a,b，再通过判断两端点函数值的符号，进一步缩小有根区间，将有根区间缩小到充分小，就可以得出满足精度的根的近似解。例题：用二分法求方程f（x）=在区间1,1.5内的一个实根，要求误差不超过0.005。程序：>>fun=inline(x3-x-1); x_star,k=bisect1(fun,1,1.5,0.005)运算结果：x_star=1.3242 K=7二分法的程序框图： 4.2 解线性代数方程组迭代法解线形方程组-共轭梯度法（最速下降法）对于解线性方程组一般常用的方法是消元法，但是实际操作起来十分的复杂，因为迭代的步骤太过于庞大，一个n*n阶的线性方程组需要消元n！次，所以当n很大时。手工计算是完全不可能的了！因此我们一般借用计算机和科学的计算方法就能很轻松的解决这样的问题。迭代法：解线性方程组的迭代法就是任意取定初始的近似解得向量，然后按某种方法逐步去生成无限接近解得近似解，也就是说生成的解得序列的极限为方程组的解。所以说迭代法是利用某种极限过程去逐步逼近精确解的方法，也就是说我们可以用有限的迭代去计算一个线性方程组的近似解。迭代法有很多下面我只简单介绍下最速下降法。最速下降法：从某一给定的初始近似值开始，求出F（x）的极小值点。因为 F（x）在点的梯度方向是上升速度最快的。GradF()=2(A-b)=-2迭代步骤： 例题：用最速下降法解线性方程组在matlab命令窗口执行A=2 -1 -1;-1 2 0;-1 0 1;b=0 1 0'x,k=getd(A,b)运算得到：x= 1 1 1 k=4 当然对于迭代法的方法有很多，而且各个方法各有优劣，优劣的主要地方是在于逼近的速度，这里我们就不讨论了。4.3积分问题在科学研究和工程技术的应用中，我们经常要进行积分的数值计算，在数学分析里面似乎这个问题已被牛顿和莱姆尼茨解决了，可是实际问题并非如此简单，有些积分问题在理论上能证明其原函数存在，但是我们却无法用初等函数来表示，例如积分，等，其实还有一些图表示的函数，牛顿-莱姆尼茨公式都不能直接运用，为了解决这些问题，下面研究积分的数值计算方法。4.3.1 简单的递推法例题1 计算积分I=通过计算直接可产生递推公式： I=-5I+ I=ln0.182322,且由经典积分可推得I具有如下性质：（1） I>0;（2） I单调递减；（3） 当n时；I0；（4） <I<(n>1)算法：递推关系I=-5I+，I=ln0.182322,MATLAB程序x=0.00873016for n=20:-1:1 n-1 x=-(1/5)*x+1/(5*n) end运算结果：ans=19x=0.008253968ans=18x=0.008875522ans=17x=0.009336007ans=16x=0.009897505ans=15x=0.010520499ans=14x=0.011229234ans=13x=0.012039868ans=12x=0.012976642ans=11x=0.014071338ans=10x=0.015367551ans=9x=0.01692649ans=8x=0.018836924ans=7x=0.021232615ans=6x=0.024324906ans=5x=0.028468352ans=4x=0.03430633ans=3x=0.043138734ans=2x=0.05803892ans=1x=0.088392216ans=0x=0.1823215574.3.2 复合梯形求积公式：对于那些没有递推关系的积分我们还可以用数值积分，也就是将复杂函数用简单的函数近似替代是构造积分数值算法的基本思想，简单函数很容易求得积分的数值，从几何观点来看，即为由曲线y=f（x），直线x=a。x=b及x轴所围成平面图形的面积的代数和。所以我们可以用y=f（），近似的去代替曲线段y=f（x）则可得矩形积分公式（b-a）f（）所我们可以运用这种思想让简单函数尽量的去接近积分值，下面我就介绍一下复合梯形求积公式：把积分区间a,bn等分，步长为，节点，在每个子区间上使用递推公式相加后得=，于是。复合梯形公式例题 利用复合梯形公式求Matlab程序：>>x=-1:0.1:1;Y=exp(-x2);I=tquad(x,y)运算结果：I=1.49244.4 微分方程求解在微分学中，函数的导数是通过极限求导数的定义或者求导法则求得的，当函数是表格形式给出时，就不能用上述方法求导数了，因此有必要研究数值方法求函数的导数了，数值求导的方法有很多，比如利用插值方法求微分simpson积分法，三次样条求微分法等等，这里我们只讨论一下最形象的中点法。微分中点数值算法：有导数的定义，导数是差商当时的极限，假如精度要求不高的话，我们可以取向前差商作导数的近似值，这样一来我们就可以建立一种数值微分法但是为了使其的精度更高，一般我们采用中点方法：例题：用中点法求在x=2处的导数。计算公式为：取四位小数的matlab计算结果：h1.0 0.5 0.1 0.500 0.010 0.005 0.0010 0.0005 0.0001 G(h)0.3660 0.3564 0.3535 0.3530 0.3500 0.3500 0.3500 0.3000 0.3000 的精确值为0.353553，由计算结果可见h=0.1时逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果越来越差。五 科学计算在工程中的运用在科学技术的发展进程中，理论研究和实验一直都是重要的手段和方法，但是随着研究的深入以及由于对象本身的复杂性，或者试验费用的高昂，很多研究已经无法通过理论来描述，或者用试验方法来实现。然而随着计算机技术的发展，利用高性能的计算机作为工具，能够帮助我们研究许多以前复杂的无法求解的问题或者无法描述的自然现象，去模拟或者仿真那些复杂的系统，得到在实际当中所需要一些数据，于是科学计算理所当然地成为当前科学研究中重要的手段。5.1 数值模拟计算在河流防洪工程中的运用正在规划中某高速公路横穿位于一个小貝河，桥梁位置的详细见下图。该工程的目的是，探讨架桥对流场的影响。通过二维浅水计算结果确定桥墩方向，以及讨论桥梁对上游水位的影响。建造新的桥梁时，我们必须评价桥梁对流场的影响。在实际工程中，我们往往只做简单的评价，就是利用DAubuisson公式计算桥梁引起的水位上升量，然后把这个水位上升量作为评价影响流场的因素。这种算法仅仅适用于理想河道。对于天然河道，地形复杂，并且有时桥梁斜跨河道。这种情况下，那些河道流速分布不均匀，各个桥墩处的水位发生变化，利用DAubuisson公式计算误差实在太大，无法满足工程要求。所以我们采用非结构网格的二维浅水模拟，不仅能够精确反映桥墩形状，还可以解决流速分布不均匀引起的问题。5.2数值模拟在采矿工程中的应用近年来，由于计算机技术迅猛发展，才使得数值计算方法在采矿工程问题分析中得到了广泛运用，同时也极大地促进了采矿工程学科的发展。其中，最常用的数值计算方法有：有限差分法、有限元法、边界元法、加权余量法、半解析元法、刚体元法、离散元法、无界元法和流行元方法等。数值模拟不仅能模拟岩体的复杂力学和结构特性，而且还可以很方便地分析各种边值问题和施工工艺过程对硐室或巷道围岩稳定性的影响，并对工程岩体稳定性进行可靠的预测。如果我们能从宏观上准确地把握岩体的力学特性，通过地应力测试把握地应力场，那么数值力学分析结果完全可以用于指导工程实践。近年来，数值模拟技术得到了大力发展，已成为解决采矿工程和其他岩土工程问题的重要研究手段之一。5.3 数值天气预报数值天气预报numerical weather prediction是指我们根据大气实际情况，在一定的初值和边值的条件下，通过使用大型计算机作数值计算，求解那些描写天气演变过程的流体力学和热力学的方程组，预测未来一定时段内大气运动状态和天气现象的一种方法。数值天气预报与经典的以天气学方法为基础的天气预报不同，它是一种定量的和客观的预报，正因如此，数值天气预报必须首先建立一个较好的反映预报时段内的（短期的、中期的）数值预报模式和误差较小、计算稳定而且相对运算较快的计算方法。其次，由于数值天气预报也需要利用各种手段（常规的观测，雷达观测，船舶观测，卫星观测等）获取大量的气象资料，因此，必须恰当地作一些气象资料的调整、处理和客观分析等。第三，由于数值天气预报的计算数据非常之多，很难用手工或小型计算机去完成，所以，必须要有大型的计算机。六 科学计算的意义和结束语6.1 科学计算的意义我们在解决科学技术问题时，古典数学方法给了我们很大的限制。尽管近代的数学家们提出了很多理论和方法，来证明这些问题的解存在唯一及解得某些特性，但是这仅仅是对解得性质作了某些定性的描述，可是科技工作者和设计工程师们却需要真实的、定量的数据。为此，除了耗费巨大的实验模拟之外，就必须去依靠我们的数值计算了，我想这就是科学计算最大的意义所在吧！现在，科学计算已经与理论、实验并列为科学研究的三种最主要的方法。有些情况下，其实实验无法进行（核爆炸实验），这时科学计算就占据了主要的手段地位了，在很多领域已经有开始有用科学计算代替实验的倾向了。石钟慈院士曾指明：“计算不仅仅只是作为验证理论模型的正确性的一种手段，大量的现实例子表明它已是重大科学发现的一种重要手段。”因此，科学计算不仅仅是一种数值计算的手段，而是一种科学研究方法，这也许是科学计算的另外一种意义吧！例如近代物理中非常重要的非线性“孤粒子”，就是两个美国数学家在计算机上首次发现的。6.2 结束语6.21 总结 通过本次论文的撰写，对我以前的学习进行了一个很好验证和温习。通过这次的毕业设计，我更加看清了自己的不足之处。通过查阅资料以及在老师和同学的帮助下，最终达到了设计要求。在实践的基础上，不仅巩固了理论知识，也提高了将所学知识实际应用的能力，对科学计算有了新的认识。并且还积累了许多宝贵的经验。在这次设计实践过程中，使我充分认识到不管做什么事，都需要在理论与实践的基础上完成，无论缺少一个都达不到理想的效果。论文的撰写即将结束，纵观整个撰写过程，可以说在这一过程中我的收获很大，充分认识到自己的不足，通过理论分析与实践的反复进行和论证，许多的问题总的来说有了较好的解决方案。依次实现了二分法解非线性方程、共轭梯度法解解线性方程组、复合梯形求积分和中点法求微分的一系列matlab程序的运算。 6.2.2 感谢 本论文从选题到完成，每一步都是禹老师的指导下完成的，倾在此，谨向老师表示感谢。 在完成论文到现在除了感谢一直指导我们的禹老师，还要感谢一直帮助我完成论文的同学们，表示真心的感谢。 论文顺利的完成也同样的离不开平时教导我们并传授知识的理学系的所有老师。在此，感谢你们。七 参考文献 百度百科.熊春光 李育安 主编 科学与工程计算方法 北京理工大学出版社.吕同富 康兆敏 方秀男编著数值计算方法 清华大学出版社陈传淼 科学计算概论科学出版社华师大数学系编 数学分析（上、下） 高教出版社.王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编常微分方程 高教出版社