数学建模优秀论文货运公司的收益问题.doc

D 货运公司的收益问题某货运公司拥有3辆卡车，每辆载重量均为8000kg，可载体积为9.084m3，该公司为客户从甲地托运货物到乙地，收取一定费用。托运货物可分为四类：A、鲜活类  B、禽苗类  C、服装类  D、其他类，公司有技术实现四类货物任意混装。平均每类每kg所占体积和相应托运单价如下表：类别A、鲜活类B、禽苗类C、服装类D、其他类体积 (m3/kg)0.00120.00150.0030.0008托运单价 (元/kg)1.72.254.51.12托运手续是客户首先向公司提出托运申请，公司给予批复，客户根据批复量交货给公司托运。申请量与批复量均以公斤为单位，例如客户申请量为1000kg，批复量可以为01000kg内的任意整数，若取0则表示拒绝客户的申请。问题1、如果某天客户申请量为：A 类 6500kg，B类 5000kg，C 类 4000kg，D 类3000kg，如果要求C类货物占用的体积不能超过B、D两类体积之和的三倍 (注意：仅在问题1中作此要求)。问公司应如何批复，才能使得公司获利最大？问题2、每天各类货物的申请总量是随机量，为了获取更大收益，需要对将来的申请总量进行预测。现有一个月的数据（见附件一），请预测其后7天内，每天各类货物申请量大约是多少？问题3、一般，客户的申请是在一周前随机出现的，各类申请单立即批复，批复后即不能更改，并且不能将拒绝量（即申请量减批复量）累计到以后的申请量。请根据你对下周7天中各类货物申请量的预测，估算这7天的收益各为多少？附件一  某月申请量数据表(单位：kg)日期A类B类C类D类总计11601284549262239116112542128332871243113683189044884447275013575444394554299614841347351703292850884378140976323234972829359313151737622613893211786478116769216706187316667918971391806417501310210373735803386593816641111807445153171459130341216282636311277571513313172334714226244111861142584385445201373123311515513556349423651096616247926592918266010716171199433528603078114721841482882551436361618019244940842008308111622202026199958223204130512116902889284013188737223374217528934083125252320152510112138339479242480340916631773932525850372927362519983426224934894552605016340271674317287944710183502836664568555211791496529202940151195323932039030123836669552257917035 收益问题的数学建模一、 摘要 本题是一个关于货运收益的问题。题目告诉了货运公司的基本运输条件以及运输与收益之间的基本关系。根据问题要求我们建立了以下模型进行求解： 问题一是已知客户的申请量来求得运输公司的批复量。我们根据所给的约束条件建立线性整数规划模型，确定目标函数，求得最优解为:A类货物 6460 kg，B类货物 5000 kg，C类货物 4000 kg，D类货物 0 kg。 问题二是根据客户前一个月的申请量来预测后面七天的申请量。首先我们运用了时间序列中的一次移动平均值法。先对所给数据进行了处理，然后通过试验对每一项货物申请量的预测采用最佳的步数预测，最后得到后来七天四类货物的申请量。但是根据已知数据对该模型进行检验，误差较大。所以我们采用了另外一种运算模型BP神经网络。先对数据进行处理，然后利用前面十五天的数据对后面十五天预测，并将该预测值与真实值进行比较，判断该预测方法是否合理。然后用这种方法预测得到后面七天客户的申请量分别为：A类2866，1330，2701，2305，2521，2494，2136；B类3375，2198，3534，2827，3511，4097，3644；C类1674，4094，4711，3625，5444，5644，4280；D类4543，2654，5861，4669，2790，6263，2856。通过对该模型进行检验，与实际情况符合较好。所以采用BP神经网络模型求解更好。 问题三是在问题二的基础上，再加上公司的运输条件，得出后面七天每天的批复量以及最大收益。对于该问题，我们采用了问题一用到的线性规划模型，得到公司每天的运输效益如下：25087，28602，40150，31822，39806，40510，34293。 在此问题目中我们所采用的数学模型有着广泛的用途，对于很多预测规划相关的问题都很实用。 二、 问题重述 题目首先以货运公司车辆的数量，即最多能运输的重量和体积为限制条件，然后以获得最大的货运收益为基本原则对客户的申请进行批复。问题一、题目给出了客户的申请量为：A 类 6500kg，B类 5000kg，C 类 4000kg，D 类3000kg，并且要满足四类货物之间的关系，即C类货物占用的体积不能超过B、D两类体积之和的三倍。在此基础上要求我们站在公司的立场进行分析，得出怎样批复才能使公司的获利最大。问题二、每天各类货物的申请总量是随机量，为了获取更大收益，要求我们对将来的申请总量进行预测。题目给出了一个月的数据（见附件一），预测其后7天内每天各类货物申请量大约是多少。问题三、基本条件为：客户的申请是在一周前随机出现的，各类申请单立即批复，批复后即不能更改，并且不能将拒绝量（即申请量减批复量）累计到以后的申请量。要求我们在对下周7天中各类货物申请量进行预测的基础上估算这七天的收益分别为多少。三、模型假设以及符号说明 1、模型假设（1）、假设在预测时期内其他各因素对客户的申请量的影响可以忽略。 （2）、客户每天的申请量是随机的。 2、符号说明：符号符号说明符号符号说明aA类货物的批复量bA类货物的批复量cA类货物的批复量dA类货物的批复量第t期的步长为N的移动平均值N 一次平移的步长xi第i天的申请量四、模型的建立和求解 问题一 根据题目和问题所给的约束条件，利用线性规划模型求得最优解。 假设公司对A、B、C、D四类货物的批复量分别为a、b、c、d。得到线性方程组为： (a,b,c,d>=0) 目标函数为：Max Z=1.7a+2.25b+4.5c+1.12d 即模型I利用lingo求解结果：Objective value: 40232.00Variable Value Reduced Costa 6460.000 b 5000.000 c 4000.000 d 0.000000 程序：model:title 货运分配问题;max Z=1.7*a+2.25*b+4.5*c+1.12*d;-0.0045*b+0.003*c-0.0024*d<0;0.0012*a+0.0015*b+0.003*c+0.0008*d<27.252;a+b+c+d<24000;a<6500;b<5000;c<4000;d<3000;end 即 公司最大收益 Max Z=40232.00 相应的批复量为：a 6460.000 b 5000.000 c 4000.000 d 0.000000 问题二我们从题目已知，客户的物品分为A、B、C、D四类，每一类有自己的申请总量，并且四类货物是相互独立的。针对该问题，我们采用了两种预测模型。方法一：时间序列模型所谓时间序列就是将某一个指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列而成的数列。所谓时间序列预测，就是知道某个经济变量在历史上各时期所取的值，预测它的未来值。预测所根据的基本假设是：历史数据所显示出来的规律性，可以被延伸未来时期，在预测期与观察期经济环境基本相同时，这一假定可以被接受。一次移动平均值法移动平均法，是假定预测值同预测期相邻的若干观察期的数据有密切关系。所谓移动平均法，就是根据某一产品过去的实际销售数值（观察值），按时间顺序排列由远而近按一定的跨越期（或步长）数据逐一求得移动平均值，将接近预测期的最后一个移动平均值，作为确定预测值的基础。一次移动平均法，就是采取算术移动平均，是以相同的权数对各期观察值，按一定的跨越期求其移动平均值，并以最后一个移动平均数为基础，确定其预测值。设给定的时间序列观察值X1,X2,，Xt（tN）一次移动平均法的基本公式如下：（1） 预测方程为： （2）称为第t期的步长为N的移动平均值，一次移动平均法是以第t期的平均值作为第t+1期的预测值。步长对预测值有着很大的影响。如果N取得大，求移动平均值是使用的数据就多，于是随机成份抵消得较好，对数据的平滑作用强，但当数据由一个水平变到另一个水平时，预测值要经过一段较长的时间才能跟上，即预测值对数据变化的敏感性较差。 基本公式的递推形式由公式（1） （3）或写成（4）公式（3）和（4）称为移动平均法的递推公式。与利用公式（1）计算相比较，递推公式显然减少了计算量。 通过试验我们知道采取四步预测为最优，并将2330天的预测值与真实值进行了比较。结果如下： A类真实值2480202622491674366620291238预测值2276.252568.752179.751898.51813.252109.752404.5误差-0.082160.26789-0.030790.13411-0.505390.039790.94224B类真实值3409372934893172456840153666预测值2393.252745.752955.753284.253449.753739.53811误差-0.29796-0.26368-0.152840.035388-0.2448-0.068620.039553C类真实值16632736455287945552119539552预测值31692129.252103.2525184436.255408.57712.75误差0.905592-0.22177-0.53795-0.71367-0.20096-0.54752-0.19255D类真实值1773251960504710117923932579预测值3109.52751.7530523543.7537633614.53583误差0.753800.09239-0.49554-0.24762.191680.510440.389298未来七天预测值如下：A类货物：时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天预测值2151 2271 1922 18952060 2037 1979 B类货物：时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天预测值3855 4026 3890 3859 3907 3920 3894 C类货物：时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天预测值8962 9004 9868 9346 9295 9378 9472 D类货物：时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天预测值2715 2217 2476 2497 2476 2416 2466 通过数据的比较可以看出预测值与真实值间相差较大，所以不宜采用此种预测模型。方法二：BP神经网络模型 从前面的时间序列一次平移均值法可以看出，得到的预测值误差比较大，结果不是很好。因此，我们另外采用了BP神经网络法对其进行预测。具体过程如下：1、 问题分析 从题目所给数据我们可知，每天各类货物的申请量不尽相同，而且杂乱无章，波动性较大，是一个非线性的动力学系统。而神经系统具有非常好的非线性逼近能力与自学、自适应等特征。货物申请量表面上毫无规律可行，但是实际上尤其内部变化规律，这也是神经网络预测的基础。BP神经网络通过对以往历史数据的学习，找出其变化规律，并将其存储在网络具体的权值、阀值中，用以预测未来的走势。2、 BP神经网络a、BP神经网络的结构 BP网络是一种单向传播的多层前向网络。网络结构是由输入层、输出层和隐层组成，其中隐层可以是一层，也可以是多层，前层至后层节点通过网络权值相连接，同层节点中没有任何藕合，输入层和隐层的激活函数通常为Sigmoid型。但是在隐层和输出层之间的激活函数可以是线性的。b、BP神经网络算法的推导设网络的输入层有功个神经元，输出层有。个神经元，中间层有个神经元，网络的训练样本有对，则网络的设置如下：输入样本向量：期望输出向量：网络的实际输出向：网络中间各层的加权输入：网络中间各层的输出：输出层各层的加权翰入：辘入层至中间层的连接权：中间层至输出层的连接权：中间层各单元的阀值：输出层各单元的阀值：其中： 激活函数采用Sigmoid型函数： 其导数为： （式一）输入输出之间的变量的关系： 即为：对第对训练样本（Ak，,Yk），网络的期望输出与实际输出之间的误差定义如下：网络全局误差：输出单元的校正误差：进一步由式一可得：中间各层单元的校正误差：进一步可得： 由于网络全局误差是定义在整个训练样本集上，要实现全局误差函数在曲面上按梯度下降，需要求对输出层和隐层的连接权和问值的负梯度：按梯度下降原则（即连接权和闭值的变化正比与负梯度），故而有：其中：故而可得经过调整后的网络连接权值和阅值如下： 其中，L表示训练次数。 根据上面的算法分析，可以得到神经网络的整个训练过程如下： 9、选取第组训练样本，重复到的计算过程，直到全部个样本训练完。10、开始进行第次训练，从第个样本开始，重复一过程，直到网络全局误差函数小于预先设定的值（网络误差）或训练次数达到预先设定的值，整个训练过程结束。如下图为神经网络的训练流程。在训练的过程中，网络的连接权值和阀值被逐步调整，在训练结束之后，网络从输入样本中获得了信息并存贮在连接权值和阐值中，根据这些参数和实际资料输入，就可以得到所需要的预报值。c、网络参数的选取人工神经网络的层数选取：理论上早已经证明，具有至少一个Sigmoid型隐含层加上一个线性输出层的网络，能够通近任何的有理函数。而且实践表明，增加层数未必能降低误差提高精度，却同时会使网络复杂化，增加了网络的训练时间。增加层数并不能增强预测效果而误差精度的提高可以通过调节隐含层中间的神经元节点数目来获得，其训练效果也比增加层数更明显。因此在实践运用中，通常优先考虑调整隐含层中的神经元节点数目。人工神经网络的输入层和输出层的设计：输入层仅起输入数据的作用，除此之外，不参与任何的网络学习过程。其节点数目取决于数据源的维数，即有多少个数据源就设立同样数目的节点。因此廓清正确的数据源是设计网络的首要之务。输入数据不经过任何处理，会影响网络的学习和仿真效果。因此、确定数据源的合适数目。网络输出层的神经元根据需要求解的问题和数据表示的方式而定。在设计输入和输出层时，应该尽可能的减小系统规模，使系统的学习时间和复杂性减小。BP神经网络隐含层的节点选择基于算法的神经网络中各层节点数目的选择对于网络的性能影响很大，过多的隐含层节点对网络的概括推理能力产生不利影响，即影响网络对于新输入的适应性。而过少的隐含层节点数目会影响网络学习的精确度并且使网络学习出现局部极小的情况增多，所以隐层内部节点数需要进行恰当的选择一般说来，一个多层网络需要多少隐含层单元主要由网络的用途来决定的，但是这并非唯一的，因此对于隐含层单元数目的问题至今没有一个完全统一的方法来解决，目前大部分还是以经验为主要的依据。已有的一些经验公式所指出的建议隐含层节点数目为2，其中为输入的节点数。类似的经验公式还有；如，分别为输入节点个数和输出节点个数。常用的解决办法就是使隐含层单元数目可变。一种是开始放入足够的隐含单元，然后把学习后那些不起作用的隐含层单元逐步去掉，一直减少到不可收缩为止。另一种是开始放入比较少的隐含层单元，学习一定次数后，还不成功就要增加隐含单元个数，一直达到比较合理的隐含单元数目为止。3、 模型的建立（1） 、数据处理从题目所给数据可知，有些数据不是很正常，所以我们先进行数据处理，用异常数据前后两个数的均值将其代替，需要替换的数据如下：货物类型 C类 D类 D类 D类 D类天数 第四天 第四天 第九天 第十三天 第十四天原始数据 2996 1484 1750 2441 1373新数据 4767 3564 3905 4565 2373另外，为了满足网络输入输出对数据的要求，在学习之前先对数据采用下列方法进行归一化处理： 取网络输入节点个数为P=7，输出节点为1，即我们用客户t-1，t-2，t-7天的货物申请量预测t+1天的申请量。(2)、神经元以及隐含层的个数a、神经元个数 对于神经网络的隐层确定目前没有任何的理论依据和解决办法，本文为了使网络的计算相对来说不那么复杂，井且在保证误差非常小的前提下，对于隐层的个数的多少对于本文的研究更加有效，可行进行了试验，数据见下表：神经元个数8910111213141516网络误差2.70980.87140.83711.32040.81131.43680.84102.89550.8460 为了得到最好的函数逼近效果，我们采用不同的训练函数进行训练。训练函数不同其实是采用不同的改进算法。当隐层神经元为个时，不同训练函数的网络逼近误差如下表：不同训练函数变化下得网络误差训练函数traingdmtraingdxtrainlmtraingda平均绝对误差0.00180.00320.00080.0108通过上述两张表，不难判定建立3层的BP网络，只有采用Levenberg-Marquardt学习方法训练网络速度很快。采用的网络结构为：7-12-1。输入节点为7个，输出为个节点，隐含层为个节点根据网络泛化能力的特点，依据经验和试验本文选取每类训练样本为15个，训练样本为15个。（3） 、模型的建立 根据BP网络原理以及特点，我们建立以下流程图式的模型，即模型III BP神经网络结构图（4）、模型的求解应用改进的网络模型进行计算首先要对网络模型进行训练和测试，其基本过程如下图所示： 首先，我们采用前15天的值通过此模型预测第16天至30天的数据，用以检验模型的准确性以及可行性。具体程序如下：A类货物： p=1601,5421,1890,4439,1703,3232,376,1167,1897,3737,1807,1628,1723,2584,1551;%输入数据t=2479,1199,4148,2449,2026,1690,3374,2015,2480,850,2249,1674,3666,2029,1238;%目标数据pi=p/40000;%数据转换ti=t/40000;%数据转换n=newff(0 1,5 12 1);%建立网格，注意各层调整节点数n.trainparam.show=50;%设定参数n.trainparam.goal=0.0001;%精度不是越小越好，双向调整n.trainparam.epoachs=1000;%实际次数最小，调整对结果有影响n=train(n,pi,ti);%训练网格yi=sim(n,pi);%仿真输出，与ti比较y1=(yi-ti)./ti %计算目标相对误差pk=0.0916 0.0507 0.0309;%选择检验样本（ti的三到五位）tk=0.0431 0.0646 0.0388;%pi的后三位yk=sim(n,pk);%方正检验与tk对比y2=(yk-tk)./tk%计算检验相对误差pc=0.0474 0.0934 0.0452 0.0407 0.0431 0.0646 0.0388;%选择预测样本pi的后五位y3=sim(n,pc);%模拟预测y4=y3*40000%预测真实值y5=yi*40000 得到的输出结果为：y1 = -0.0948 0.0212 -0.3115 -0.0743 0.2214 -0.3305 0.0121 -0.2020 0.1563 0.5664 0.2001 0.3768 -0.3128 0.2293 0.3236y2 = -0.2782 0.1770 0.0585y4 =1.0e+003 * 2.8659 1.3301 2.7012 2.3047 2.5214 2.4942 2.1359y5 =1.0e+003 *2.2439 1.2244 2.8557 2.2669 2.4745 1.1314 3.4149 1.6079 2.8676 1.3314 2.6991 2.3047 2.5192 2.4942 3.8257同理，对B类货物采用同样的方法进行训练，得到的输出结果为：y1 = 0.1315 -0.3050 0.2089 -0.1695 0.4940 0.2293 0.0130 -0.0113 - 0.0067 -0.0133 0.0132 -0.0418 -0.2318 -0.0173 -0.0060y2 =-0.0289 0.0248 0.0662y4 =1.0e+003 * 3.3750 2.1982 3.5337 2.8272 3.5108 4.0974 3.6438y5 =1.0e+003 * 3.0086 3.0127 3.4841 3.3916 2.9864 3.5514 2.2032 2.4816 3.3863 3.6795 3.5350 3.0395 3.5091 3.9455 3.6438C类货物得到的输出结果为：y1 = 0.3570 0.1397 0.0189 -0.0143 -0.1060 0.1271 0.7231 -0.0410 0.0068 0.4950 0.0343 -0.2825 -0.0191 -0.2526 -0.2914y2 = -0.0402 -0.7569 -0.1311y4 =1.0e+003 *1.6744 4.0940 4.7105 3.6247 5.4440 5.6441 4.2799y5 =1.0e+003 *5.4498 3.2596 5.6184 5.5970 5.2047 3.2009 4.9849 1.0751 1.6744 4.0904 4.7080 3.6247 5.4461 5.6441 4.2835D类货物得到的输出结果为：y1 = 0.1392 -0.0224 -0.2370 0.1062 0.0171 -0.0607 -0.1956 0.0544 0.0932 0.0531 -0.0305 -0.0084 -0.1219 0.1895 0.1070y2 = 1.8813 1.0613 0.1581y4 =1.0e+003 *4.5434 2.6536 5.8607 4.6691 2.7897 6.2630 2.8559y5 =1.0e+003 *3.0302 3.0092 2.7742 3.4083 3.2589 3.4217 3.2842 4.0416 3.4720 2.6527 5.8654 4.6703 3.1180 2.8465 2.8548通过以上方法我们得到客户A类申请量预测值对照表：日期实际值（处理过后）预测值相对误差第十六天24792243.9-0.0948第十七天11991224.42.12第十八天41482855.7-0.3115第十九天24492266.9-0.0743第二十天20262474.50.2214第二十一天16901131.4-0.3305第二十二天33743414.90.0121第二十三天20151607.90.2020第二十四天24802867.60.1563第二十五天8501331.40.5664第二十六天22492699.10.2001第二十七天16742304.70.3768第二十八天36662519.2-0.3128第二十九天20292494.20.2293第三十天12383825.70.3236客户B类申请量预测值对照表：日期实际值（处理过后）预测值相对误差第十六天26593008.60.1315第十七天43353012.7-0.3050第十八天28823481.40.2089第十九天40483391.6-0.1695第二十天19992986.40.4940第二十一天28893551.40.2293第二十二天21752203.20.0130第二十三天25102481.6-0.0113第二十四天34093386.30.0067第二十五天37293679.5-0.0133第二十六天34893535.00.0132第二十七天31723039.5-0.0418第二十八天45683509.1-0.2318第二十九天40153945.5-0.0173第三十天36663643.8-0.0060 客户C类货物申请量预测值对照表：日期实际值（处理后）预测值相对误差第十六天29185449.80.3570第十七天28603259.60.1397第十八天55145618.40.0189第十九天20085597.0-0.0143第二十天58225204.7-0.1060第二十一天28403200.90.1271第二十二天28934984.90.7231第二十三天11211075.1-0.0410第二十四天16631674.40.0068第二十五天27364090.40.4950第二十六天45524708.00.0343第二十七天87943624.7-0.2825第二十八天55525446.1-0.0191第二十九天11953 5644.1-0.2526第三十天95524283.5-0.2914客户D类货物申请量预测值对照表：日期实际值（处理后）预测值相对误差第十六天26603030.20.1392第十七天30783009.2-0.0224第十八天36362774.2-0.2370第十九天30813408.30.1062第二十天32043258.90.0171第二十一天13183421.7-0.0607第二十二天40833284.2-0.1956第二十三天38334041.60.0544第二十四天17733472.00.0932第二十五天25192652.70.0531第二十六天60505865.4-0.0305第二十七天47104670.3-0.0084第二十八天11793118.0-0.1219第二十九天23932846.50.1895第三十天25792854.80.1070 通过检验发现，虽然有个别数据误差比较大，但是总体还是比较吻合精确的，特别是针对此类波动比较大的数据而言，采用此类预测方法是比较理想的。 因此，这种方法是可行的，我们利用此方法得到后七天的预测值分别为：日期货物类型A类B类C类D类第一天2866337516744543第二天1330219840942654第三天2701353447115861第四天2305282736254669第五天2521351154442790第六天2494409756446263第七天2136364442802856问题三该问题与问题一所用方法相同。利用问题二中求得的每天的申请量和公司的 运载条件求得公司的批复量以及相应的最大收益。根据题目和问题所给的约束条件，利用线性规划模型求得最优解。 假设公司对A、B、C、D四类货物的批复量分别为a、b、c、d。得到线性方程组为： (a,b,c,d>=0) 目标函数为：Max Z=1.7a+2.25b+4.5c+1.12d第一天有以下程序进行求解model:title 货运分配问题;max=1.7*a+2.25*b+4.5*c+1.12*d;0.0012*a+0.0015*b+0.003*c+0.0008*d<27.252;a+b+c+d<24000;a<2866;b<3375;c<1674;d<4543;end Global optimal solution found. Objective value: 25087.11 Total solver iterations: 0 Model Title: 货运分配问题 Variable Value