线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件.ppt

一.线性方程组,则上述方程组（3.1.1）可写成向量方程,（3.1.2）,能使每个方程变为恒等式的n个数 称为方程组的解.,具有惟一解的方程组称为确定方程组.具有多于一个解的方程组称为不定方程组.,至少有一个解的方程组称为相容的.如果方程组没有解,就称这个方程组不相容.,解向量,1.下面讨论齐次方程组,在什么条件下在非零解?,所以齐次方程组总是相容的.,显然齐次方程组总有解,二.齐次方程组,则齐次方程组有非零解的充要条件是:,定理3.1.1 设A是mn矩阵,则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)n.,推论3.1.2 齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要条件是R(A)=n=A的列数.,特别地,当A为方阵时,Ax=0只有零解(有非零解),|A|0(|A|=0),齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解，为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间S,证毕.,因此,若可求出S的一个基,则方程组AX=0的通解可以表示为,1.非齐次线性方程组有解的条件,三非齐次线性方程组的解,2.非齐次线性方程组解的性质,证明,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.,3.非齐次线性方程组的解的结构定理:,定理3.1.11若非齐次线性方程组Ax=b有解,则其通解为,四齐次线性方程组解空间S的基的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解空间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则其通解为,定理1,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有,3.2线性方程组的求解,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例3,证,例4 求解方程组,解,解,例5 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为最简形,由于,令,（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系.,线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,