中科大版--现代控制系统(最新版)精品电子教案第九章频域稳定性课件.ppt

自动控制原理,中国科学技术大学工业自动化研究所,第九章,频域稳定性,目录9.1 引论9.2 S平面的映射围线9.3 Nyquist判据9.4 相对稳定性与Nyquist判据9.5 频域中的时域性能标准9.6 系统带宽9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性9.8 设计实例9.9 频域中的PID控制器 9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性9.11 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统 9.12 总结,习题,作业：E9.4、E9.12、E9.14、E9.16、E9.17、E9.19、E9.25、E9.29、P9.2、P9.4、P9.7、P9.9、P9.11、P9.14、P9.24、P9.28、AP9.1、AP9.3、DP9.4、DP9.8 作业要求：题目中要求绘制Bode图、极坐标图、Nichols图，如果是判断稳定性的，请用手工作图；如果是计算增益裕量、相位裕量的，可以用MATLAB作图，并直接在图中标明增益裕量、相位裕量等数值，集中在一起打印，贴到作业本上,本章研究系统的频域稳定性和相对稳定性1932年，H.Nyquist提出频域稳定性判据Nyquist稳定性判据Nyquist stability criterion的理论基础是复变函数论中的柯西定理Cauchys theorem闭环系统特征方程：,9.1 引论,对单回路控制系统：,对多回路控制系统，闭环系统特征方程：,单回路反馈控制系统,为保证闭环系统稳定性，F(s)的全部零点必须位于左半S平面H.Nyquist将右半S平面映射到F(s)平面，并提出Nyquist判据,9.1 引论,围线映射contour map：依函数关系F(s)将围线或轨迹从一个平面映射或转换到另一平面s是复变量，s=+j，s平面F(s)也是复变量，F(s)=u+jv，F(s)平面函数F(s)=2s+1，将S平面单位边长、封闭的正方形围线，映射到F(s)平面两倍边长、封闭的正方形围线，中心右移一个单位。S平面围线的点A、B、C、D，映射成F(s)平面点A、B、C、D，在两个平面上沿曲线变化的方向相同,9.2 s平面上的映射围线,保角映射conformal mapping：s平面上围线的角度映射到F(s)平面上角度不变,沿围线顺时针方向移动为正方向沿围线正方向移动时，右侧的区域称为围线包围区域clockwise and eyes right,9.2 s平面上的映射围线,依F(s)=2s+1=2(s+1/2)映射的正方形围线,对单位正方形围线，考虑s的有理函数F(s)：,9.2 s平面上的映射围线,F(s)平面上的围线包围了F(s)平面的原点,对系统输出：,9.2 s平面上的映射围线,F(s)的零点是系统特征方程的根柯西定理Cauchys theorem：如果S平面上围线s顺时针包围F(s)的Z个零点、P个极点，但不通过任何一个零点、极点，则对应的F(s)平面上围线F顺时针包围原点N=Z-P周,函数F(s)，有1个零点、1个极点，Z=1，P=1：,9.2 s平面上的映射围线,S平面围线包围F(s)的1个零点、1个极点，F(s)平面围线不包围原点，或包围原点N=Z-P=0次,柯西定理也称幅角原理principle of the argument当S平面上的点s沿围线s顺时针移动时，由于零点、极点的影响，F(s)的相角会发生不同的变化。仔细研究这种变化，可以更好地理解柯西定理。考虑函数：,9.2 s平面上的映射围线,当s沿围线s移动一周360，相角p1、p2、z2净变化0，而z1顺时针变化360，F(s)相角的总变化也是360，因为s只包围F(s)的一个零点,9.2 s平面上的映射围线,如果s包围F(s)的Z个零点、P个极点，F(s)的相角变化2Z2P弧度，则F(s)平面中围线F的净相角变化为：,9.2 s平面上的映射围线,F包围F(s)平面原点N=ZP周上图中，s包围F(s)的1个零点，因此，F顺时针包围原点1周若N为负值，则表示 F逆时针包围原点N周,S平面中围线s包围3个零点、1个极点，则：,9.2 s平面上的映射围线,F(s)平面中围线F顺时针包围原点2次,9.2 s平面上的映射围线,S平面中围线s包围0个零点、1个极点，则：,F(s)平面中围线F逆时针包围原点1次,闭环系统特征方程：,9.3 Nyquist判据,闭环系统稳定的充分必要条件：F(s)的所有零点都位于左半S平面在S平面取围线s 包围全部右半S平面，用柯西定理确定F(s)在围线s中是否有零点：在F(s)平面中绘制F，确定F围绕原点的周数N，则F(s)在围线s中零点（即，F(s)的不稳定零点或闭环系统不稳定极点）的数目Z=N+P,Nyquist围线：围线s从-j 到+j通过虚轴，此围线映射出频率特性F(j)；s其余部分是半径r（r）的半圆周，此围线映射到一个点。在F(s)平面上映射出的围线F即Nyquist图或极坐标图,9.3 Nyquist判据,Nyquist稳定判据的基本思路：绘制Nyquist围线s的映射曲线F，依柯西定理，根据F包围原点的周数，得到Nyquist围线s包围F(s)零点（即系统的不稳定特征根）的个数Z=N+P，从而判断系统的稳定性对特征方程：,9.3 Nyquist判据,L(s)是开环传递函数，容易因式分解，L(j)是开环频率特性；F(s)因式分解比较麻烦围线F对F(s)平面上原点（0，j0）的包围，转变为围线L对L(s)平面上（1，j0）点的包围,Nyquist稳定判据Nyquist stability criterion：开环传递函数L(s)在右半S平面没有不稳定极点(P=0)，反馈系统稳定的充分必要条件是，L(s)平面上的围线L不包围(1，j0)点开环传递函数L(s)在右半S平面有不稳定极点(P0)，反馈系统稳定的充分必要条件是，L(s)平面上的围线L逆时针包围(1，j0)点次数等于L(s)不稳定极点的个数闭环系统稳定的充分必要条件：L(s)平面上的围线L逆时针包围(1，j0)点的次数N，等于开环系统环路传递函数L(s)不稳定极点的个数P关键：Z=N+P=0，稳定,9.3 Nyquist判据,例9.1 有两个实极点的系统 单回路控制系统，环路传递函数：,9.3 Nyquist判据,S平面上围线s的正虚轴部分+j，映射为L(s)平面上Nyquist图；负虚轴部分-j，映射到L(s)平面与Nyquist图关于实轴对称；r的半圆周映射为L(s)平面的原点,9.3 Nyquist判据,L(s)在右半S平面没有不稳定极点，P=0如果该系统稳定，应有N=Z=0这就要求在L(s)平面上，Nyquist围线不能包围(1，j0)点由图可知，无论K取何值，围线不包围(1，j0)点。因此，K0时，闭环系统总是稳定的,9.3 Nyquist判据,例9.2 在原点有一个极点的系统 单回路控制系统：,9.3 Nyquist判据,S平面的原点：柯西定理要求S平面的Nyquist围线不能通过系统的任何零点、极点。对于原点处L(s)的极点，用半径为（0）的半圆周绕过原点处的极点。S平面无穷小半圆周为：,L(s)平面中，这部分映射围线的形状也是一个半圆周；半径无穷大；相角从=0处的90变成=0处的0，再变到=0+处的-90从=0+变化到=+的部分：在S平面这部分围线上，有s=j，在L(s)平面中，这部分映射围线就是L(s)的Nyquist图（极坐标图）：,9.3 Nyquist判据,9.3 Nyquist判据,从=+变化到=的部分：围线s中这一部分被映射到L(s)平面的原点：,从+变到=，从+90变到90，L(s)围线的相位从+180变到180；r时，L(s)围线的幅值为0或者某个常数从=变化到=0的部分：,即L(j)的复共轭。从=变化到=0的这部分极坐标图，与 从+变到=0+的这部分极坐标图，关于实轴对称,L(s)在右半平面无极点，P=0。若系统稳定，应有N=Z=0，围线L不包围L(s)平面(-1，j0)点从图可见，无论增益K、时间常数取何值，围线L都不包围(-1，j0)点。因此，系统稳定,9.3 Nyquist判据,从本例可得两个一般性结论：从 0的围线L与0+的围线复共轭，在L(s)平面中L(s)=GC(s)G(s)H(s)的极坐标图关于实轴对称。研究稳定性时，只需画出0+的围线L（注意原点附近的小半圆周）,9.3 Nyquist判据,例9.3 三个极点的系统 单回路系统：,9.3 Nyquist判据,围线L在0+的部分L(j)：,9.3 Nyquist判据,当=0+时，L(j)的幅值无穷大，相角90当+时，L(j)的幅值趋近于0，相角趋近于270：,在L(s)平面中围线穿越实轴，L与实轴交点：,9.3 Nyquist判据,在该频率下，L(j)对应的实部为：,围线L的L(j)部分与L(j)关于实轴对称S平面上围绕原点的小半园映射到L(s)平面上，成为半径无穷大的半园当r时，s平面的半园rej映射到L(s)平面的原点,9.3 Nyquist判据,如图，L包围(1，j0)点两次N=2，P=0，系统不稳定。Z=N+P=2，右半S平面有两个极点,围线L与L(s)平面负实轴交点位于(1，j0)点右侧，L不包围(1，j0)点，系统稳定：,9.3 Nyquist判据,围线L与L(s)平面负实轴交于(1，j0)点，系统临界稳定：,围线L与L(s)平面负实轴交点位于(1，j0)点左侧，L包围(1，j0)点两次，系统不稳定：,例9.4 原点处有2个重极点的系统 单回路系统：,9.3 Nyquist判据,L(j)的相角小于等于180，对0+，L(j)总是位于实轴上方当0+时，有：,9.3 Nyquist判据,当+时，有：,对S平面原点处的小半圆周，有：,围线L包围(1，j0)点两次N=2，P=0，Z=2，无论增益K取何值，闭环系统在右半平面有两个极点，不稳定,例9.5 右半S平面有极点的系统 首先考虑没有速度反馈的系统，K2=0：,9.3 Nyquist判据,环路传递函数有一个右半平面极点，P=1,对S平面围绕原点的半圆周：,9.3 Nyquist判据,这部分L是左半L(s)平面半径无穷大的半圆周考虑Nyquist图，令s=j，有：,考虑S平面上半径r无穷大的半圆周：,围线L在L(s)平面的原点逆时针从变到,9.3 Nyquist判据,L顺时针包围(1，j0)点1周N=1，Z=N+P=2。无论K取何值，总有2个极点位于右半平面，系统不稳定,引入速度反馈（K20），环路传递函数：,9.3 Nyquist判据,对S平面围绕原点的半圆周，与K2=0相同：,考虑S平面上半径r无穷大的半圆周：,围线L在L(s)平面原点逆时针从/2变到/2,9.3 Nyquist判据,求L(j)与实轴的交点：,例9.6 在右半S平面有1个零点的系统 开环稳定、非最小相位的单回路系统：,9.3 Nyquist判据,L(j)的幅值与K成比例，可以绘制L(j)/K的Nyquist图这3个典型值决定了映射围线与实轴的3个交点当K=1/2时，L(j)与实轴相交于-1+j0点当01/2时，围线围绕-1+j0点1周N=1，L(s)位于右半S平面的极点数P=0，则Z=N+P=1，闭环系统在右半平面有1个极点，系统不稳定,9.3 Nyquist判据,L(j)/K的Nyquist图,Nyquist判据可以判断闭环系统的绝对稳定性，也可以用来定义和确定相对稳定性用极坐标图L(j)与(1，j0)点的接近程度来衡量系统的相对稳定性考虑频率特性函数：,9.4 相对稳定性与Nyquist判据,随着增益K的增长，极坐标图接近1+j0点，最终包围1+j0点极坐标图与实轴交点的横坐标为：,增益达到临界值时，系统在虚轴上有极点：,9.4 相对稳定性与Nyquist判据,当增益K低于临界值时，系统稳定性增强用临界增益与实际增益之间的差额，衡量系统的相对稳定性，称为增益裕量。即增益被放大增益裕量倍时，系统达到临界稳定的1+j0点增益裕量gain margin：相频特性180的频率上(相位交界频率)，增益L(j)的倒数,9.4 相对稳定性与Nyquist判据,增益裕量相角为180时，如果要使系统临界稳定（Nyquist图与实轴交于1+j0点），系统增益需要增加的倍数,相位裕量phase margin：幅频特性L(j)=1的频率上(增益交界频率)，在L(j)平面中，使L(j)通过(1，j0)点所要旋转的相位角相位裕量衡量实际系统与临界稳定系统的相位差额，是使系统到达临界稳定需要增加的相角相位裕量增益为单位幅值时，如果要使系统临界稳定（Nyquist图与实轴交于1+j0点），系统相位需要增加的相移PM用Bode图、对数幅相图评估系统相对稳定性。L(j)平面上1+j0点是临界稳定点；对数幅频特性图0dB点、相频特性图180点；对数幅相图中临界稳定点为0dB点、180点,9.4 相对稳定性与Nyquist判据,对系统：,9.4 相对稳定性与Nyquist判据,在Bode图、对数幅相图上得到如下结果：对数幅频特性为0dB的频率上，相位137，相位裕量为180137=43相频特性为180的频率上，增益15dB，增益裕量为15dB对系统：,增益裕量为5.7dB，相位裕量为20反馈系统L1(j)比L2(j)相对更稳定,单回路系统回路传递函数：,9.4 相对稳定性与Nyquist判据,9.4 相对稳定性与Nyquist判据,二阶欠阻尼系统，开环频率特性相位裕量与闭环极点阻尼比的关系，是频域响应与时域响应之间的关系阻尼比与相位裕量（角度）有近似线性关系：,也适用于具有一对欠阻尼主导极点的高阶系统,二阶系统闭环极点阻尼比与开环频率特性相位裕量的关系,系统开环频率特性为：,9.4 相对稳定性与Nyquist判据,相位裕量为43，闭环系统主导极点的阻尼比近似为:,闭环系统阶跃响应的百分比超调量：,单回路控制系统开环传递函数：,使系统临界稳定的增益K=K*=128,反馈系统在时域中的瞬态响应由系统闭环频率响应决定，需要建立闭环频率特性、开环频率特性、时域响应之间的关系Nyquist稳定判据、稳定裕量采用开环频率特性,9.5 频域中的时域性能标准,单回路系统闭环、开环频率特性的关系为：,对单位反馈系统有H(j)=1：,9.5 频域中的时域性能标准,闭环频率特性T(j)、开环频率特性GCG(j)的关系很容易在GCG(j)平面中研究，GCG(j)平面的坐标为u和v：,闭环频率特性的幅值为：,9.5 频域中的时域性能标准,不同的M值得到不同的圆，这个圆簇称等M圆,M1：直线u=0.5左侧 M1：直线u=0.5右侧M=1：直线u=0.5闭环幅频特性相等的点组成的圆,开环系统极坐标图，K2K1,闭环系统幅频特性图，K2K1,增益K=K1的开环频率响应曲线与幅值为M1的圆相切，切点处频率为r1增益K=K2的开环频率响应曲线与幅值为M2的圆相切，切点处频率为r2切点的频率r就是系统谐振频率，闭环频率响应幅值达到谐振峰值Mp开环频率响应曲线与各个等M圆的交点，在对应频率上，闭环频率响应的幅值为M通过开环系统极坐标图、等M园，可以绘制闭环系统幅频特性图K=K2时，开环频率响应曲线与M1圆两次相交在频率1和2处，闭环频率响应幅值均为M1,9.5 频域中的时域性能标准,K=K1时，闭环系统截止频率（带宽）为B1，其开环幅频特性与M=0.707的等M圆相交于B1开环系统幅频特性增益交界频率（过零频率、穿越频率crossover frequency）c、闭环系统幅频特性截止频率（带宽）B的近似关系：,9.5 频域中的时域性能标准,闭环系统相位相等，构成等N圆：,9.5 频域中的时域性能标准,通过开环系统极坐标图、等N圆，可以绘制闭环系统相频特性图Nichols图：N.B.Nichols将等M圆、等N圆迭加到对数幅相图等M圆单位为dB等N圆单位为度,例9.7 用Nichols图研究稳定性 单位反馈控制系统开环频率特性为：,9.5 频域中的时域性能标准,由Nichols图，闭环系统频率响应的谐振峰值Mp=0.25dB，谐振频率r=0.8，在r处闭环系统相位为72闭环系统3dB带宽B=1.33，在B处闭环系统相位142,例9.8 三阶系统 单位反馈系统开环频率特性为：,9.5 频域中的时域性能标准,开环系统共轭复极点的阻尼比=0.5由Nichols图，相位裕量30如果闭环系统存在一对主导共轭复极点，由相位裕量估计这对共轭复极点的阻尼比为：,闭环系统谐振频率r=0.88，谐振峰值+9dB,由相位裕量、谐振峰值所估计的值是不同的可见，频域、时域之间的关系是不清晰和不确定的本例中，开环频率特性的形状比较特殊，它从0dB轴迅速滑向180线，从而导致了有显著差异的估计结果,9.5 频域中的时域性能标准,如果闭环系统可以近似为一对共轭复极点，由闭环系统幅频特性谐振峰值与二阶系统阻尼比的关系，可以估计得到阻尼比：,由闭环特征方程1+L(s)求共轭复极点阻尼比：,9.5 频域中的时域性能标准,说明共轭复极点不是闭环系统主导极点，不能主导闭环系统响应。在本例中，不能忽略实极点的影响，这个实极点在某种程度上会影响闭环系统的阻尼本例中，采用闭环谐振峰值Mp估计得到的闭环阻尼比=0.18，接近于真实阻尼比在使用频域、时域的近似关系时，要小心谨慎,闭环控制系统的输出要能够准确、快速、稳定地复现输入信号闭环控制系统带宽B能够很好地衡量系统逼真复现信号的频率范围对低频增益为0dB的系统，带宽为增益降低到3dB的频率范围系统阶跃响应速度与带宽B大致成正比，调整时间与带宽B大致成反比两个一阶闭环系统传递函数：,9.6 系统带宽,带宽越宽，阶跃响应速度越快，复现斜波输入信号的逼真度越高,一阶闭环系统幅频特性,9.6 系统带宽,一阶闭环系统阶跃响应,9.6 系统带宽,一阶闭环系统斜波响应,两个二阶闭环系统传递函数：,9.6 系统带宽,两个系统的阻尼比均为0.5，自然频率分别为10和30,闭环系统带宽越宽，时域响应速度越快,二阶闭环系统幅频特性,9.6 系统带宽,二阶闭环系统阶跃响应,9.6 系统带宽,时延time delay系统中某一点发生的事件，在系统中另一点产生效果，之间的时间间隔称为时延。也称纯滞后pure time delay,时延对反馈系统稳定性有不利影响，这种影响可以用Nyquist稳定性判据来确定时延环节不引入新的零、极点，不改变系统的幅频特性，但会增大系统相位滞后在有物质移动的系统中，物料从输入点（控制点）到输出点（测量点），需要经过一定时间,9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性,轧钢机控制系统：马达调整轧辊的间距，以减小板材的厚度偏差。钢板速度v，轧辊与测量点距离d，轧辊间距调整和厚度测量之间时延：,9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性,要减小时延的影响，就必须减少控制点与测量点之间的距离，或者加快板材的移动速度实际生产中，常常无法做到，无法忽略时延对系统的影响。系统开环传递函数为：,绘制时延系统Bode图，分析0dB、180点的稳定性,9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性,例9.9 液位控制系统,9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性,阀门调节和液体流出之间的时延为：,系统开环传递函数为：,有时延、无时延系统的幅频特性相同，但相频特性不同。幅频特性在=0.8处穿越0dB线，无时延系统的相位裕量40，有时延系统的相位裕量为3，有时延系统不稳定,9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性,液位控制系统Bode图,必须减小系统增益，提供足够的相位裕量为了使系统的相位裕量达到+30，就必须将增益减少5dB，系统稳态增益应有：,实际反馈系统常常含有纯时间滞后，纯滞后引入附加的滞后相位，会降低系统的稳定性。因此，为了确保系统稳定，必须减小系统增益，这将会增大系统的稳态误差因此，在增强纯滞后系统稳定性的同时，付出了增大稳态误差的代价,9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性,控制系统的模型一般为有理函数，或者有限阶的常微分方程时延因子是非有理的，如果能用有理函数近似描述时延，则便于时延系统的分析与设计Pad近似Pad approximation：对超越函数进行级数展开，并与指定阶次有理函数的级数展开尽可能多地匹配相等的参数。用一阶有理函数近似超越函数，先展开成Maclaurin级数：,9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性,对一阶近似，要获得no，n1，d0，d1，使得：,令对应项系数相等，可得：,9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性,前3项是相同的如果s比较小，Pad近似可以合理的描述时延也可以得到高阶的有理函数,将近似多项式展开得：,9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性,例9.9 遥控侦察车 未来可用于执行联合国维和任务。期望速度R(s)无线传送给侦察车，斜坡和岩石造成干扰Td(s)要求单位阶跃响应稳态误差较低、超调量较小,9.8 设计实例,单位阶跃响应的稳态误差：,9.8 设计实例,当K=20时，稳态误差为输入信号幅值的9%当K=20时，系统开环传递函数为：,在06的开环频率响应,9.8 设计实例,由Nichols图，谐振峰值Mp为12dB，相位裕量为15。闭环系统幅频特性谐振峰值太大，开环系统频率特性相位裕量太小，系统阶跃响应为欠阻尼响应由相位裕量，可以估计闭环主导共轭复极点的阻尼比：,由阻尼比和超调量的关系图，超调量约为61%,为了减少超调量，可以减小系统增益若超调量限制为25%，由阻尼比、超调量的关系图可知，闭环系统主导共轭复极点的阻尼比为0.4；由阻尼比、谐振峰值的关系图可知，谐振峰值为Mp=1.35或20log(Mp)=2.6dB为减小增益，在Nichols图中，将K=20的对数幅相曲线垂直向下平移，使得在1=2.8处，新的对数幅相曲线与2.6dB的等M圆相交叉由平移前后曲线可见，增益降低13dB(4.5倍)，而K的取值应为K=20/4.5=4.44K取4.44，超调量减小，稳态误差却增加了：,9.8 设计实例,系统在K=4.44，10，20时的单位阶跃响应,K=4.44，超调量32%K=10，超调量48%，稳态误差17%K=4.44，10，20时的时域指标：,9.8 设计实例,折衷考虑，取增益K=10Nichols图中，将K=20的对数幅相图垂直下移20 log(20/10)=20 log2=6dB，得到K=10的对数幅相图，谐振峰值7dB，相位裕量26。闭环系统主导极点阻尼比估计为0.34，超调量30%，带宽B5，调整时间(2%准则)为3.3秒,K=10时的实际调节时间约为5.4s，可见用频域方法估计时域指标，存在一定误差单位阶跃扰动对系统稳态响应的影响：,9.8 设计实例,因此，在系统的稳态响应中，单位干扰的影响被衰减为干扰输入的1/(4+2K)当K=10时，y()=1/24，稳态干扰影响被减少到只有干扰幅值的4%K=10是一个很好的折衷设计结果,例9.9 热锭铁机器人控制 机器人抓取热锭铁放入淬火箱，视觉传感器测量热锭铁位置，作为控制器期望输入R(s)，控制器使机器人在x轴朝向锭铁运动,9.8 设计实例,机器人在轨道上的位置Y(s)通过位置传感器测量，反馈给控制器，假设测量值无噪声机器人的动态特性为：,9.8 设计实例,控制目标：存在已知的时延，当外部扰动出现时，使跟踪误差E(s)=R(s)-Y(s)最小,确立控制目标,确定被控变量,给出设计指标,确立系统结构,建立过程、执行机构、传感器的模型,确定控制器并选取需要调整的关键参数,优化关键参数并分析系统性能,系统性能不满足设计指标则重新选择系统结构,系统性能满足设计指标结束设计,见图和方程,采用PI控制器见方程,见图,热锭铁机器人控制系统设计过程中的要素：,9.8 设计实例,设计指标：DS1：阶跃输入的稳态跟踪误差小于10%DS2：时延T=/4秒时，相位裕量大于50DS3：阶跃输入的百分比超调量小于10%先采用P控制器，如果没有时延：,9.8 设计实例,开环系统为0型系统，阶跃输入稳态误差不为0,闭环传递函数为：,9.8 设计实例,跟踪误差为：,取K=9，增益裕量G.M.=，交界频率c=2.8 rad/s，相位裕量P.M.=38.9,没有时延、K=9时的Bode图,如果增加K，增益交界频率c右移、增加，相位裕量减少，但相位裕量永远大于0如果有时延，时延不影响幅频特性，引入一个负的相移。保证系统稳定，系统可以承受的由时延环节引入的负相移为：,9.8 设计实例,如果时延T0.24秒，系统稳定T=/4将导致系统不稳定增大增益K，情况更加恶化。降低增益K，相位裕量增加，但稳态跟踪误差超过10%的限制,有时延的开环传递函数：,9.8 设计实例,K=9时，N=2，Z=N+P=2，系统不稳定,有时延、K=9时的Bode图，包围-1+j0点两次，N=2,T=/4=0.78s，系统不稳定，不能采用P控制器K=9，T=0.1s，Nyquist曲线与实轴的交点：,9.8 设计实例,该方程有无穷多解，第一个与实轴交点（左半平面最远处）的频率c=4.43rad/s。,K=9时系统稳定，当K增加2.3倍，达到20.67，系统变成临界稳定，增益裕量为：,9.8 设计实例,采用PI控制器：,开环传递函数为：,为1型系统，阶跃输入稳态误差为0，DS1满足由阶跃输入百分比超调量P.O.10%，可得期望的系统阻尼比0.59,PI控制器给系统增加一个零点s=-KI/Kp，它影响系统的稳定性，也影响系统其它性能利用阻尼比与相位裕量的近似关系：,9.8 设计实例,要求0.59，目标相位裕量为60PI控制器可写为：,-1为控制器的转折频率。将转折频率配置到低于增益交界频率处，使得由于引入了PI控制器的零点，相位裕量不会降低很多,未补偿系统为：,9.8 设计实例,c=2.83rad/s时，相位裕量P.M.=88.34期望的相位裕量P.M.=600.87rad/s时，相位120，增益14.5dB。要使增益交界频率c=0.87rad/s，控制器需要降低系统增益14.5dB，使得c处，增益为0对PI控制器：,T=/4、K=9时未补偿系统Bode图,高频段很大，可近似认为KP为补偿器增益：,9.8 设计实例,选择KI，使控制器的转折频率低于增益交界频率c，使得由于有PI控制器的零点，相位裕量不会下降太多。经验方法为：,得到PID控制器：,T=/4、K=9时，补偿系统Bode图,增益裕量5.3dB，相位裕量56.5检验系统性能：系统为1型系统，阶跃响应稳态误差为0，满足指标DS1有时延时，相位裕量56.5，满足指标DS2单位阶跃响应百分比超调量约为4.2%，满足指标DS3,9.8 设计实例,锭铁机器人控制系统阶跃响应,PID控制器传递函数：,9.9 频域中的PID控制器,KD=0时，成为PI控制器：,当被控对象G(s)只有1个或2个极点时，PID控制器对减小稳态误差、改善瞬态性能，效果特别明显,KI=0时，成为PD控制器：,PID控制器可以改写为：,9.9 频域中的PID控制器,PID控制器可视为带阻补偿器，KI为可调变量PID控制器也可能有复零点，频率特性为：,阻尼比通常取为0.70.9这种PID控制器Bode图取决于复零点的值，相频特性和幅频特性都会随的变化而变化,KI=2、=10时，PID控制器Bode图,本节以Matlab为工具，重新讨论了与频域稳定性有关的Nyquist图、Nichols图和Bode图，并用两个实例说明了控制系统设计的频域方法，所采用的系统模型是开环和闭环的频率特性函数，及GH(jw)和T(jw)此外，本节介绍了处理时延系统的Pade近似公式，并通过举例说明了它的应用本节涉及的Matlab函数有Nyquist函数、nichols函数、margin函数、pade函数和ngrid函数等,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,利用nyquist函数可以生成线性时不变系统的nyquist函数 NYQUIST(SYS)NYQUIST(SYS,WMIN,WMAX)NYQUIST(SYS,W):LOGSPACE()NYQUIST(SYS1,SYS2,.,W)RE,IM=NYQUIST(SYS,W):plot()RE,IM,W=NYQUIST(SYS):plot()AXIS(XMIN XMAX YMIN YMAX)：可以自行定义坐标轴的显示尺度，用于提高图像显示的分辨率,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,利用Nyquist图和Bode图，可以直接求得系统的增益裕量和相位裕量在Matlab中，用来计算上述指标的函数是margin函数Margin函数与bode函数等结合使用时，能直接在bode图或Nyquist图上标注所得的计算结果,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,Nichols图：利用nichols函数可以生成系统的Nichols图。Ngrid函数可以在Nichols图上画出网格坐标Margin函数主要与bode函数结合使用，但它也可以同nichols函数结合使用，以便在Nichols图上标注系统的增益裕量和相位裕量因此，在调用margin函数时，最好再指令中带上参数说明，以便将计算结果放在工作区内，供其他函数使用,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,液面控制系统及其方框图见下图a,b,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,要求液面高度控制系统的相位裕度达到30o。为此，用Matlab来完成系统的设计给系统有一个时延环节，其开环传递函数为:利用下图所示的pade函数，可以得到e-sT的近似表达式，从而将上式的分子和父母都变成s的多项式如果系统时延为T=1，近似式的阶数取为n=2,运行pade函数后可得：,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,于是有L(s):至此，可以建立一个Matlab文本，绘制Bode图来研究系统的相对稳定性该文本将增益K的幅值命令放置在工作区内，从而具备了一定的交互功能给定K的设计初值，该文本能验证系统的相位裕量是否满足了设计要求如所得系统不能满足要求，更新K值，就能重复上述实验过程经多次运行，得到设计结果为K=16,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,遥控侦察车系统如下。设计目标：使阶跃响应具有较小的稳态误差和超调量,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,Matlab文本,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,首先考虑单位阶跃响应的稳态误差ess,即：上式表明了增益K对稳态误差的影响。当K=20，稳态误差相当于输入幅值的90%当K=10，稳态误差相当于输入幅值的17%再考虑阶跃响应的超调量。若要求小于50%,则近似有：可推知系统的谐振峰值应满足Mpw2.45。因此，当增益K的取值使得Mpw 2.45时，系统就会满足超调量的设计要求,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,针对K的不同取值，利用上图给出的文本，可以绘制出侦察车系统的Bode图，据此就能验证Mpw是否满足了设计要求严格地讲，第8章给出的和关系Mpw关系曲线只适合于2阶系，因此，只能将频域内的设计值视为增益的初步估计值，在完成了频域内的设计之后，还应按照下图b给出的Matlab文本计算系统的时域响应，验证系统的实际超调量,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,分别计算增益K=20、10和4.44时系统的时域响应，得到响应曲线如上图a所示可以看出，当K=20时，Mpw2.45，已经超出了频域设计要求的范围，可见时域计算结果和频域分析结果是一致的在频域内，也可以用Nichols图来完成系统的设计，例如下图给出的Nichols图，也可以得到Mpw的取值，从而确定可行的增益设计值为了兼顾稳态误差和超调量的设计要求，在多次运行设计文本之后，最终选定的增益值为K=10,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,K=10时的Nyquist图如下，增益裕量为49.56dB，相位裕量:26.11o,9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性,具有挠性谐振的磁盘驱动读取系统采用PD控制器，零点配置在s=-1K=400时，增益裕量22.9dB，相位裕量37.2阶跃响应调整时间为9.6ms,9.11 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统,利用Nyquist稳定判据，在频域内判断反馈控制系统稳定性两种相对稳定性指标：增益裕量和相位裕量。采用频域和瞬态响应的相互关系，这两种相对稳定性指标还能用来测度瞬态性能在极坐标图上绘制等M圆、等N圆，通过开环频率响应确定闭环系统频率响应在对数幅相图上迭加等M曲线、等N曲线，得到闭环频率响应Nichols图。用Nichols图可以估计谐振峰值，得到另一个频域稳定性指标具有时延的系统的稳定性15种典型系统的Nyquist图，Bode图，Nichols图，根轨迹图,9.12 总结,THE END,