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    新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总.doc

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    新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总.doc

    二次根式的知识点汇总知识点一: 二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式。 例1下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:、(x>0)、-、(x0,y0) 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0知识点二:取值范围1、   二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。2、  二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a0时,没有意义。 例2当x是多少时,在实数范围内有意义?例3当x是多少时,+在实数范围内有意义?知识点三:二次根式()的非负性()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。例4(1)已知y=+5,求的值(2)若+=0,求a2004+b2004的值知识点四:二次根式()的性质()文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,. 例1 计算 1()2 2(3)2 3()2 4()2例2在实数范围内分解下列因式: (1)x2-3 (2)x4-4 (3) 2x2-3知识点五:二次根式的性质文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 (1) (2) (3) (4)例2 填空:当a0时,=_;当a<0时,=_,并根据这一性质回答下列问题(1)若=a,则a可以是什么数?(2)若=-a,则a是什么数? (3)>a,则a是什么数?例3当x>2,化简-知识点六:与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的, ,而2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而.知识点七:二次根式的乘除1、 乘法·(a0,b0) 反过来:=·(a0,b0)2、除法=(a0,b>0) 反过来,=(a0,b>0) (思考:b的取值与a相同吗?为什么?不相同,因为b在分母,所以不能为0) 例1计算 (1)4× (2)× (3)× (4)× 例2 化简(1) (2) (3) (4) 例3判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正: (1) (2)×=4××=4×=4=8 例4计算:(1) (2) (3) (4) 例5化简: (1) (2) (3) (4)例6已知,且x为偶数,求(1+x)的值3、最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式;(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式(熟记20以内数的平方;因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或2的倍数),若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式)例1把下列二次根式化为最简二次根式(1) ; (2) ; (3) 4、化简最简二次根式的方法:(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式,即分解因式;(2) 化去根号内的分母(或分母中的根号),即分母有理化;(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来(此步需要特别注意的是:开到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题)5.有理化因式:一般常见的互为有理化因式有如下几类: 与;              与;与;       与    说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式:被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。 判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如与知识点八:二次根式的加减1、二次根式的加减法:先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。(合并方法为:将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。 例1计算(1)+ (2)+ 分析:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并 解:(1)+=2+3=(2+3)=5 (2)+=4+8=(4+8)=12 例2计算 (1)3-9+3(2)(+)+(-)例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2)-(x2-5x)的值2、二次根式的混合运算:先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减3、二次根式的比较:(1)若,则有;(2)若,则有   (3)将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小例4比较3与4的大小

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