数列的概念与简单表示法知识点.doc

数列一、 数列的概念与简单表示法1、 数列的概念 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每个数称为该数列的项。数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为，或者简记为，其中表示数列的通项。注： 研究对象:“数”(与集合相区别)。 首项（第1项）：数列中的排在第1位的数。 第2项 ：数列中的排在第2位的数。 通项（第n项）：数列中的排在第n位的数。 注意与含义的区别： ：表示数列中的第n项。：表示数列，简单记法。 数列的项性质：有序性 ：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与排列顺序有关。可重复性 ：数列中数可以重复出现。补充知识：集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性。例：a 1、2、3、4、5、6和6、5、4、3、2、1构成同一个结合，不同的数列b 1、2、2、3、5、5可以表示数列，但不能构成集合。 从函数的角度研究数列： 对于任意一个数列，其每一项与序号都有对应的关系，见下表：序号（项数n）123n项数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集1,2,3，,n)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。注：1、数列可以看作特殊的函数（离散型），其图像是一系列孤立的点。 2、函数不一定是数列。2、 数列的表示方法 列表法：列出表格表示出数列的项和序号的关系 例：数列6,66,666,6666,66666,666666可以用下表表示序号（项数）123456项666666666666666666666 图像法： 在平面直角坐标中，数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点（,）。 通项公式法：用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。3、 数列的通项公式： 数列的第n项叫做数列的通项。 如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。注： 并不是所有的数列都可以用通项公式表示 例：小数点后每一位所构成的数列1,4,1,5,9，2,6精确到1,0.1,0.01,0.001，的近似值组成的数列3,3.1，3.14,3.142， 只给出一个数列的若干项，而未指明数列构成规律时，该数列的通项公式不能唯一确定。例：数列1,4,7,10，通项公式可以是,也可以 数列通项公式的表示方法不唯一。例：数列-1，1,-1,1,-1，通项公式可以是,也可以是。4、 数列的递推公式： 递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式。 通项公式与递推公式异同点：相同点：都可以确定一个数列，都可以求出数列的任意一项。不同点：通项公式可以通过代入项数n直接求出项。简单直接 递推公式需要通过一次或者多次赋值，求出需要的项。赋值繁琐所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。（相应专题练习）5、 数列的前n项和：叫做数列的前n项和，记作数列的通项与前n项和的关系：注：1、不是对一切正整数n都成立的，而是对于的一切正整数恒成立，因为当时，无意义。 2、由前n项和求通项公式时，要分两种情况：和，然后验证两种情形可否用同一式子表示。若当时，也适合的表达式，则将两种情况统一合写。若不能，则需要采用分段形式来表示。例： （1）； （2）；（3）；（4）；（5）；6、 数列的分类： 分类标准名称含义举例项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3，n无穷数列项数无限的数列1,4,9, 项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列3,4,5，n+2递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列1, , 常数列各项相等的数列6,6,6, ,6摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列1,-2,3,-4, 7、 数列的性质： 单调性，周期性，有界性 单调性：递增数列：，>递减数列：，<摆动数列：有大有小常数列：，=求数列的最大（小）项，一般先研究数列的单调性，可以用 或 求解，也可以转换为函数的最值问题或利用数形结合求解。 周期性： ，=（k为正整数），那么称数列是以k为周期的周期函数。例：、注意：，不是周期函数。递推公式（创新题型）：， 有界性：， ,那么称为 有界数列，否则称为无界数列。例：1、等均为有界数列 2、等均为无界数列