全等三角形证明经典40题(含答案).doc

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD的长.ADBC解：延长AD到E,使AD=DED是BC中点BD=DC 在ACD和BDE中AD=DEBDE=ADCBD=DCACDBDEAC=BE=2在ABE中 AB-BEAEAB+BEAB=4即4-22AD4+21AD3AD=22. 已知：BC=ED，B=E，C=D，F是CD中点，求证：1=2证明：连接BF和EF BC=ED,CF=DF,BCF=EDF 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) BF=EF,CBF=DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF EBF=BEF。 ABC=AED。 ABE=AEB。 AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF 三角形ABF和三角形AEF全等。 BAF=EAF (1=2)。3. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=ACBACDF21E过C作CGEF交AD的延长线于点GCGEF，可得，EFDCGDDEDCFDEGDC（对顶角）EFDCGDEFCGCGDEFD又，EFAB，EFD11=2CGD2AGC为等腰三角形，ACCG又 EFCGEFAC4. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2CA证明：延长AB取点E，使AEAC，连接DEAD平分BACEADCADAEAC，ADADAEDACD （SAS）ECACAB+BDAEAB+BDAEAB+BEBDBEBDEEABCE+BDEABC2EABC2C5. 已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE上取F，使EFEB，连接CF CEAB CEBCEF90° EBEF，CECE， CEBCEF(SAS) BCFE BD180°，CFECFA180° DCFA AC平分BAD DACFAC ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE6. 如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。在BC上截取BF=AB，连接EFBE平分ABCABE=FBE又BE=BEABEFBE（SAS）A=BFEAB/CDA+D=180ºBFE+CFE=180ºD=CFE又DCE=FCE , CE平分BCD ,CE=CEDCEFCE（AAS）CD=CFBC=BF+CF=AB+CD7.已知：AB=CD，A=D，求证：B=C证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，则：AED是等腰三角形。AE=DE而AB=CDBE=CE BEC是等腰三角形B=C.8.P是BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB在AC上取点E，使AEAB。AEAB APAP EAPBAE，EAPBAPPEPB。PCECPEPC（ACAE）PBPCPBACAB。9.已知ABC=3C，1=2，BEAE，求证：AC-AB=2BE证明： 延长BE交AC于点F,可证ABEAFEABE=AFE,AB=AF,BE=FEAC AB =FC,FB=2BEABC=3CABE+FBC=3CAFB+FBC=3CAFB=C+FBCC+FBC+FBC=3CFBC=2C即FBC=CFB=FCAC-AB=FB=2BE10如图，在ABC中，BD=DC，1=2，求证：ADBC解：延长AD至BC于点E, BD=DC BDC是等腰三角形 DBC=DCB 又1=2 DBC+1=DCB+2 即ABC=ACB ABC是等腰三角形 AB=AC 在ABD和ACD中 AB=AC 1=2 BD=DC ABD和ACD是全等三角形（边角边） BAD=CAD AE是ABC的中垂线 AEBC ADBC11如图，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B为垂足，AB交OM于点N求证：OAB=OBA证明：OM平分POQPOMQOMMAOP，MBOQMAOMBO90OMOMAOMBOM （AAS）OAOBONONAONBON （SAS）OAB=OBA，ONA=ONBONA+ONB180ONAONB90OMAB12.如图，已知ADBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D求证：AD+BC=AB做BE的延长线，与AP相交于F点，PA/BCPAB+CBA=180°，又，AE，BE均为PAB和CBA的角平分线EAB+EBA=90°AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AEBF，且AE为FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB，三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC13.如图，ABC中，AD是CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：C=2B延长AC到E 使AE=AC 连接 ED AB=AC+CD CD=CE可得B=ECDE为等腰ACB=2B14已知：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：AEDEBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：证明：DCABCDEAEDDEDE，DCAEAEDEDCE为AB中点AEBEBEDCDCABDCEBECCECEEBCEDCAEDEBC15.如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE证明：CEB=CAB=90°ABCE四点共元ABE=CBEAE=CEECA=EAC 取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DGGAB=ABG而：ECA=GBA (同弧上的圆周角相等）ECA=EAC=GBA=GAB而：AC=ABAECAGBEC=BG=DGBE=2CE16、如图：DF=CE，AD=BC，D=C。求证：AEDBFC。证明：DF=CE，DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在AED和BFC中， AD=BC， D=C ，DE=CF AEDBFC（SAS） 17.如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BECF，BE=CF。求证：AM是ABC的中线。证明：BECFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中线.18.如图：在ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BDAC。ABD和BCD的三条边都相等ABD=BCDADB=CDADB=CDB=90°BDAC19.AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF在ABD与ACD中AB=ACBD=DCAD=ADABDACDADB=ADCBDF=FDC在BDF与FDC中BD=DCBDF=FDCDF=DFFBDFCDBF=FC20.如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FBABE=CDFDCB=ABFAB=DC BF=CEABF=CDEAF=DE21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BECF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证明：连接EFABCDB=CM是BC中点BM=CM在BEM和CFM中BE=CFB=CBM=CMBEMCFM（SAS）CF=BE22已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF求证：ABECDFAF=CE,FE=EF.AE=CF.DF/BE,AEB=CFD（两直线平行，内错角相等）BE=DF：ABECDF（SAS） 23.已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AEAF。 DBCcAFE连接BD；AB=AD BC=DADB=ABD CDB=ABD;两角相加，ADC=ABC；BC=DC EF是中点DE=BF；AB=AD DE=BFADC=ABCAE=AF。24如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 证明：在ADC，ABC中AC=AC，BAC=DAC，BCA=DCAADCABC（两角加一边）AB=AD，BC=CD在DEC与BEC中BCA=DCA，CE=CE，BC=CDDECBEC（两边夹一角）DEC=BEC25已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEFAD=DFAC=DFAB/DEA=EDF又BC/EFF=BCAABCDEF（ASA） 26已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDACBDEF证明：BDACBDC=90°CEABBEC=90°BDC=BEC=90°AB=ACDCB=EBCBC=BCRtBDCRtBEC（AAS)BE=CD27.如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F。求证：DE=DFAEBDCF证明：AD是BAC的平分线EAD=FADDEAB，DFACBFD=CFD=90°AED与AFD=90°在AED与AFD中EAD=FADAD=ADAED=AFDAEDAFD（AAS） AE=AF在AEO与AFO中 EAO=FAO AO=AOAE=AFAEOAFO（SAS）AOE=AOF=90°ADEF28.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的长？DCBAEADABBAC=ADE又ACBC于C，DEAC于E根据三角形角度之和等于180度ABC=DAEBC=AE，ABCDAE（ASA）AD=AB=529如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明：AB=ACB=CMEAB，MFACBEM=CFM=90°在BME和CMF中 B=C BEM=CFM=90° ME=MF BMECMF（AAS）MB=MC30在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）ADC=ACB=BEC=90°，CAD+ACD=90°，BCE+CBE=90°，ACD+BCE=90°CAD=BCEAC=BC，ADCCEBADCCEB，CE=AD，CD=BEDE=CE+CD=AD+BE（2）ADC=CEB=ACB=90°，ACD=CBE又AC=BC，ACDCBECE=AD，CD=BEDE=CECD=ADBE31如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF（1）AEAB，AFAC，BAE=CAF=90°，BAE+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF，在ABF和AEC中，AE=AB，EAC=BAF，AF=AC，ABFAEC（SAS），EC=BF；（2）如图，根据（1），ABFAEC，AEC=ABF，AEAB，BAE=90°，AEC+ADE=90°，ADE=BDM（对顶角相等），ABF+BDM=90°，在BDM中，BMD=180°-ABF-BDM=180°-90°=90°，ECBF 32如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。证明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90°，ACN+BAC=90°ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+BAN=90°BAM+BAN=90°即MAN=90°AMAN33如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF在ABF和CDE中,AB=DEA=DAF=CDABFCDE（边角边）FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF四边形BCEF是平行四边形BCEF34如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N ,使得AN=AC CAE=EAN AE为公共,CAEEANANE=ACE又AC平行BDACE+BDE=180而ANE+ENB=180ENB=BDENBE=EBNBE为公共边EBNEBDBD=BNAB=AN+BN=AC+BD35.如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF证明：AD是ABC的中线 BD=CD DF=DE（已知） BDE=FDC BDEFDC 则EBD=FCD BECF（内错角相等，两直线平行）。 36.已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：ADECBF证明：DEAC，BFACCED=AFB=90º又AB=CD，BF=DERtABFRtCDE（HL）AF=CEBAF=DCEAB/CD37.如图，已知1=2，3=4，求证：AB=CD ,3=4OB=OC在AOB和DOC中1=2OB=OCAOB=DOCAOBDOCAO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB在ACB和DBC中AC=DB,3=4BC=CBACBDBCAB=CD38.如图，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.ACEDBCE>DE。当AEB越小，则DE越小。证明：过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且DFB为等腰三角形。RTBAE中，AEB为锐角，即AEB<90°DF/AE FDB=AEB<90°DFB中 DFB=DBF=(180°-FDB)/2>45°RTAFB中，FBA=90°-DBF <45° AFB=90°-FBA>45°AB>AFAB=CE AF=DECE>DE39.ABECD (10分)如图，已知ABDC，ACDB，BECE，求证：AEDE.AB=DC,AC=DB，BC=BCABCDCB，ABC=DCB又BE=CE，AB=DCABEDCEAE=DE40如图9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDEABCDEF图9作CGAB,交AD于H,则ACH=45º,BCH=45ºCAH=90º-CDA, BCE=90º-CDA CAH=BCE又AC=CB, ACH=B=45ºACHCBE, CH=BE又DCH=B=45º, CD=DBCFDBEDADC=BDE