与圆有关的比例线段课件.ppt

2.5,与圆有关的比例线段,探究,1:,如图,1,AB,是,O,的直径,CD,AB,AB,与,CD,相交于,P,线段,PA,、,PB,、,PC,、,PD,之间有什么关系？,证明,:,连接,AD,、,BC.,则由圆周角定理的推论可得,:,A,C.,D,图,1,Rt,APD,Rt,CPB.,A,P,C,O,B,探究,2:,将,图中的,AB,向上（或向下）平移,使,AB,不再是,直径（如图），结论（）还成立吗？,D,图,A,P,O,B,C,PAPB=PCPD(1),D,图,A,P,B,O,C,探究,3:,上面讨论了,CD,AB,的情形进一步地,如果,CD,与,AB,不,D,图,垂直，如图,AB,、,CD,是圆内的任意两条相交弦,结论（）还,成立吗？,D,图,D,图,B,A,B,A,P,B,O,A,P,O,C,PAPB=PCPD(3),P,C,O,C,PAPB=PCPD(2),PAPB=PCPD(1),证明,:,连接,AD,、,BC.,则由圆周角定理的推论可得,:,A,C.,APD,CPB.,综上所述，不论,AB,、,CD,具有什么样的位置，,都有结论（）成立！,相交弦定理：,圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段,长的积相等,.,D,B,P,A,O,C,AB,、,CD,是圆内,交点为,P,PA,?,PB=PC,?,PD.,几何语言：,的任意两条相交弦,探究,4:,使圆的两条弦的交点从,圆内,（图）运动到,圆,上,（图），再到,圆外,（图），结论,(1),还成立吗？,D,图,3,B,D,图,4,B,P,O,A,O,C,(C,P),A,当点,P,在圆外,连接,AD,、,BC,容易证明,:,PAD,PCB,所以,PA:PC=PD:PB,即,PA?PB=PC?PD,仍成立,.,D,图,5,B,O,C,A,P,割线定理：,从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条,割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等,.,D,图,5,B,O,C,A,应用格式（几何语言描述）,:,P,PAB,PCD,是,O,的割线,PA?PB=PC?PD.,C,P,O,A,图,3,B,C,D,图,5,O,B,P,点,P,从圆内移动到圆外,D,A,PA?PB=PC?PD,PA?PB=PC?PD,探究,5:,使割线,PB,绕点,P,运动,到切线位置,结论,(1),还成立,吗？,使割线,PB,绕,P,点,运动到切线的位,置，是否还有,PA?PB=PC?PD,？,C,O,D,P,A(B),A(B),A,P,C,O,D,证明：连接,AC,、,AD,，,PA,切,O,于点,A,D=,PAC.,又,P=,P,PAC,PDA.,PA,：,PD=PC,：,PA.,PA,2,=PC?PD.,切割线定理,:,从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是,这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项,.,应用格式（几何语言描述）,:,PA,是,O,的切线,PCD,是,O,的割线,PA2,=PC?PD.,探究,6:,使割线,PD,绕点,P,运动到切线位置，结论,(1),还成立,C,吗？,C,B,P,A,图,3,O,D,点,P,从圆内移,动到圆外,.,D,图,5,O,B,P,相交弦定理,PA?PB=PC?PD,A,割线定理,PA?PB=PC?PD,使割线,PA,绕,P,点运动到切,线的位置,.,C(D),O,A(B),P,使割线,PC,绕,P,点也运动到,切线的位置,.,C,O,D,P,A(B),切割线定理,PA,2,=PC?PD,C(D),O,P,A(B),易证,Rt,OAP,Rt,OCP,.,PA=PC,CPO=,APO,切线长定理,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切,线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,.,应用格式（几何语言描述）,:,PA,、,PC,是,O,的切线,PA=PC,APO=,CPO.,C,O,B,C,D,O,P,D,A,C,O,B,P,A,B,A,割线,PCD,、,PAB,交,O,于点,C,、,D,和,A,、,B,=,PA?PB=PC?PD,割线定理,P,PC,切,O,于点,C,=,PA?PB=PC,2,切割线定理,AB,交,CD,于点,P,=,PA?PB=PC?PD,相交弦定理,C(D),P,O,A(B),PA,、,PC,分别切,O,于点,A,、,C,=,PA=PC,APO=,CPO,切线长定理,例,1(1),如图,圆内的两条弦,AB,、,CD,相交于圆内一点,P,已知,PA=PB=4,PC=PD/4.,求,CD,的长,.,(2),如图：过点,A,作,O,的两条割线,分别交,O,于,B,、,C,和,D,、,E.,已知,AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC.,求,AB,、,BD.,C,B,P,O,D,D,A,B,O,E,A,(1),解：设,PC=x,则,PD=4x,CD=5x.,由相交弦定理，得,PA?PB=PC?PD,4,4=x,?4x,解得,x=2.,CD=2x5=10,.,C,(2),如图：过点,A,作,O,的两条割线,分别交,O,于,B,、,C,和,D,、,E.,已知,AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC.,求,AB,、,BD.,解：由割线定理得,AD,AE=AB,AC,4x(4+2)=AB,2AB,AB=,2,3,D,A,B,C,O,E,ADB=,ACE,CAE=,DAB,ABD,AEC,AB:AE=BD:CE,2,3,:6=BD:5,BD=,5,3,3,练习,1,.,如图,割线,PAB,PCD,分别交圆,O,于,A,B,和,C,D,；,PT,是圆的切线,(1),已知,PA=5,PB=8,PC=4,则,PD=,PT=,10,(2),已知,PA=5,PB=8,PO=7,则半径,R=,3,T,B,O,D,A,E,PA,PB=(7-R),(7+R),P,C,F,例,2,如图,E,是圆内两弦,AB,和,CD,的交点，直线,EF/CB,交,AD,的延长线于点,F,，,FG,切圆于点,G.,求证：,(1),DFE,EFA;(2)EF=FG.,证明：,(1),EF/CB,DEF=,DCB.,DCB,和,DAB,都是,上的圆周角,.,DAB=,DCB=,DEF.,(2),由,(1),知,DFE,EFA,，,O,A,C,E,D,B,G,F,DFE=,EFA,（公共角）,DFE,EFA.,EF,2,=FA,?,FD.,又,FG,是圆的切线，,FG,2,=FA,?,FD.,EF,2,=FG,2,即,FG=EF.,例,3,如图，两圆相交于,A,、,B,两点，,P,为两圆公共弦,AB,上任意一点，从,P,引,两圆的切线,PC,、,PD,，求证：,PC=PD.,P,证明：由切割线定理可得：,PC,2,=PA?PB,PD,2=,PA?PB.,PC,2,=PD,2,.,即,PC=PD,D,B,A,C,练习,3,.,如图,A,是,O,上一点,过,A,的切线交直径,CB,的延长线,于点,P,AD,BC,，,D,为垂足,.,求证：,PB:PD=PO:PC.,A,B,D,O,C,P,课堂小结,1,、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长,定理，要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。,2,、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。,例,3,如图，两圆相交于,A,、,B,两点，,P,P,D,为两圆公共弦,AB,上任意一点，从,P,引,B,两圆的切线,PC,、,PD,，求证：,PC=PD.,证明：由切割线定理可得：,A,PC,2,=PA?PB,PD,2=,PA?PB.,C,PC,2,=PD,2,.,即,PC=PD,例,4,如图，,AB,是,O,的直径，过,A,、,B,引两条弦,AD,和,BE,，,相交于点,C,求证：,AC,AD+BC,BE=AB,2,证明：连接,AE,、,BD,，过,C,作,CF,AB,与,AB,交于,F,AB,是,O,的直径，,AEB=,ADB=90,0,.,D,又,AFC=90,0,A,、,F,、,C,、,E,四点共圆,.,E,C,BC,?BE=BF?BA.,(1),同理可证,F,、,B,、,D,、,C,四点共圆,.,A,F,O,AC?AD=AF?AB,.,(2),(1)+(2),可得,AC?AD+BC?BE=AB(AF+BF)=AB,2,.,B,例,5,如图，,AB,、,AC,是,O,的切线，,ADE,是,O,的割线，连,接,CD,、,BD,、,BE,、,CE.,B,E,A,D,O,图,1,C,问题,1:,由上述条件能推出哪些结论？,探究,1:,由已知条件可知,ACD=,AEC,而,CAD=,EAC,ADC,ACE.,(1),CD:CE=AC:AE,CD,?AE=AC?CE.,(2),同理可证,BD?AE=AC?CE.,(3),AC=AB,由,(2)(3),可得,BE?CD=BD?CE,.,(4),问题,2,在图,1,中,使线段,AC,绕,A,旋转，得到图,2.,其中,EC,交圆于,G,DC,交圆于,F.,此时又能推出哪些结论？,B,E,A,D,C,O,A,图,1,B,E,D,F,O,G,图,2,探究,2:,连接,FG.,与探究,1,所得到的结论相比较,可以猜想,ACD,AEC,.,下面给出证明,.,AB,2,=AD?AE,而,AB=AC,AC,2,=AD?AE,而,CAD=,EAC,ADC,ACE.,(5),同探究,1,的思路，还可得到探究,1,得出的结论,(2)(3)(4).,另一方面，由于,F,、,G,、,E,、,D,四点共圆,.,CFG=,AEC.,又,ACF=,AEC.,CFG=,ACF.,故,FG/AC.,(6),C,你还能推出其他结论吗？,问题,3,在图,2,中,使线段,AC,继续绕,A,旋转，使割线,CFD,变成切线,CD,得到图,3.,此时又能推出哪些结论？,B,E,A,B,D,A,Q,G,P,O,图,3,E,D,F,C,O,G,图,2,C,探究,3:,可以推出探究,1,、,2,中得到的,(1),(6),的所有结论,.,此外，,AC/DG.,ADC,ACE.,由,(7)(8),两式可得：,AC?CD=AE?CG.,(9),连接,BD,、,BE,延长,GC,到,P,延长,BD,交,AC,于,Q,则PCQ=PGD=DBE,所以,C,、,E,、,B,、,Q,四点共圆,.,(10),你还能推出其他结论吗？,课堂小结,1,、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长,定理，要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。,2,、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。,3,、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与,代数、几何等知识的联系及应用,探究,4:,使圆的两条弦的交点从,圆内,（图）运动到,圆,上,（图），再到,圆外,（图），结论,(1),还成立吗？,D,P,图,3,B,D,图,4,B,D,图,5,B,O,O,A,O,C,C,A,(C,P),A,当点,P,在圆上,PA=PC=0,所以,PA,?,PB=PC,?,PD,=0,仍成立,.,P,当点,P,在圆外,连接,AD,、,BC,容易证明,:,PAD,PCB,所以,PA:PC=PD:PB,即,PA?PB=PC?PD,仍成立,.,2.,联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？,C,C,A,D,O,B,C,A,D,B,说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的,特例！,