北师大版八年级75三角形的内角和课件.ppt

5,三角形内角和定理,学习目标,?,1,、自主说出外角的定义，并能用外角解决,实际问题；,?,2,、探索并证明外角的两个定理推论，并能,运用它们解决相关问题，发展学生的演绎,推理能力；,?,3,、会添加适当的辅助线解决实际问题,.,内角三兄弟之争,在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟,非常团结,.,可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它,指,着,老,大,说,：,“,你,凭,什,么,度,数,最,大,，,我,也,要,和,你,一,样,大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们,这个家就再也围不起来了,”“,为什么？”,老二很纳闷,.,同学们，你们知道其中的道理吗？,我们知道三角形三个内角的和等于,180,.,你还记得这个结论的探索过程,吗,?,1,1,2,A,B,D,2,3,C,(1),如图,当时我们是把,A,移到,了,1,的位置,B,移到了,2,的位,置,.,如果不实际移动,A,和,B,那么你还有其它方法可以达到同,样的效果吗,?,(2),根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证,明思路吗,?,你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗,?,与同伴交流,.,三角形内角和定理,:,三角形三个内角的和等于,180,.,已知,:,如图,ABC,.,求证:,A,+,B,+,C,=180,.,证明,:,作,BC,的延长线,CD,过点,C,作,CE,AB,则,你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗,?,1=,A,(,两直线平行,内错角相等,),2=,B,(,两直线平行,同位角相等,).,又,1+,2+,3=180,(,平角的定义,),A,+,B,+,ACB,=180,(,等量代换,).,分析,:,延长,BC,到,D,过点,C,作射线,CE,AB,这样,就相当于把,A,移到,了,1,的位置,把,B,移到了,2,的位置,.,这里的,CD,CE,称,为辅助线,辅助线通,常画成虚,线,.,A,B,C,E,2,1,3,D,在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”,到,A,处,他过点,A,作直线,PQ,BC,(,如图,),他的想法可以吗,?,请你帮小明把想法化为实际行动,.,小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发,?,你有新的证法吗,?,证明,:,过点,A,作,PQ,BC,则,A,B,C,1=,B,(,两直线平行,内错角相等,),2=,C,(,两直线平行,内错角相等,),又,1+,2+,3,=180,0,(,平角的定义,),BAC,+,B,+,C,=180,0,(,等量代换,).,P,Q,2,3,1,根据下面的图形,写出相应的证明,.,你还能想出其它证法吗,?,(1),A,B,C,P,Q,R,T,S,N,(3),A,B,C,P,Q,R,M,T,S,N,(2),A,B,C,P,Q,R,M,试一试,三角形内角和定理,三角形内角和定理,三角形三个内角的和等于,180,.,ABC,中,A,+,B,+,C,=,180,.,A,+,B,+,C,=,180,的几种变形,:,?,A,=,180,(,B,+,C,).,?,B,=,180,(,A,+,C,).,?,C,=,180,(,A,+,B,).,?,A,+,B,=,180,C,.,?,B,+,C,=,180,A,.,?,A,+,C,=,180,B,.,这里的结论,以后可以直接运用,.,A,B,C,观察下面一组图形中,1,在各个图形中的位置，你能发现它们,的共同特征吗？,B,C,A,1,D,A,C,B,1,D,A,C,B,1,D,外角定义：,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角,.,三个特征,:,1.1的顶点在三角形的一个顶点上,;,2.1的一条边是三角形的一条边,;,3.1的另一条边是三角形的某条边的延长线,.,想一想,:,1,、每一个三角形有几个外角？,2,、每一个顶点处相对应的外角有,几个？,3,、这些外角中有几个外角相等？,4,、三角形的每一个外角与三角形,的三个内角有什么位置关系,?,画一个三角形，再画出它所有的外角,.,A,B,D,E,F,C,外,角,A,B,D,E,F,C,外,角,9,8,7,6,5,4,3,2,1,B,C,A,归纳,：,1,、每一个三角形都有,个,外角,;,2,、每一个顶点相对应的外角都有,个,;,4,、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和,两个不相邻的内角,.,3,、这,6,个外角中有,3,个外角相等,.,探究,:,你能用推理的方法来论证,ACD,=,B,+,A,吗？,你能,用几种方法呢？相信你一定能行！,D,A,B,C,D,ACD,+,ACB,=180,又,A,+,B,+,ACB,=180,A,+,B,=,ACD,解：,A,B,C,ACD,=180,ACB,A,+,B,=180,ACB,（邻补角的定义）,（三角形内角和,180,）,方法一,:,1,（作,CE,/,BA,）,由平行线的性质,把两个内角转换,可得,A,E,方法二：,擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看,动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下,.,C,B,D,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角,.,D,A,C,B,ACD,=,A,+,B,ACD,A,ACD,B,结论：,3.,三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小,关系,?,三角形外角的性质：,性质,1,、三角形的,一个外角,等于,与它,不相邻的两个内角,的,和,.,B,+,C,=,CAD,性质,2,、三角形的,一个外角,大于,任何,一个与它,不相邻的内角,.,CAD,B,，,CAD,C,A,B,C,D,证明：,EAC,=,B,+,C,(,三角形的一个外角等于和它,不相邻的两个内角的和,),B,=,C,(,已知,),B,=,EAC,(,等式性质,),A,C,D,B,E,例,1,已知,:,如图在,ABC,中,AD,平分外角,EAC,B,=,C,.,求证：,AD,BC,.,2,1,AD,平分,EAC,(,已知,),DAE,=,EAC,(,角平分线的定义,),2,1,DAE,=,B,(,等量代换,),AD,BC,(,同位角相等,两直线平行,),这里是运用了公理,“,同位角相等，两直,线平行,”得到了证实,.,例,2,已知：如图,在,ABC,中,1是它的一,个外角,E,为边,AC,上一点,延长,BC,到,D,连接,DE,.,求证:1 2.,证明：,1,是,ABC,的一个外角,(,已知,),1 3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,),3是,CDE,的一个外角,(,外角定义,),3 2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,),1 2(不等式的性质,),C,A,B,F,1,3,4,5,E,D,2,跟踪练习,1.,若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角,形是,(),A.,直角三角形,B.,锐角三角形,C.,钝角三角形,D.,无法确定,C,2.,如图所示,若,A,=32,B,=45,C,=38,则,DFE,等于,(),A.120,B.115,C.110,D.105,F,E,D,C,B,A,B,3.,如图，把,ACB,沿,DE,折叠，当点,A,落在四边形,BCED,内部时，,DAE,与,1,2,之间有一种数量关系保持不变，这一规律是,（,）,A.,A,=,1+,2 B.2,A,=,1+,2,C.3,A,=2,1+,2 D.3,A,=2,（,1+,2,）,B,D,A,A,C,E,1,2,B,4.,如图所示,1=_.,140,80,1,120,5.,已知等腰三角形的一个外角为,150,则它的底角为,_ _.,30,或,75,6.,如图所示,A,=50,B,=40,C,=30,则,BDC,=_.,D,C,B,A,120,7.,已知：如图，在,ABC,中，外角,DCA,=100,A,=45,.,求：,B,和,ACB,的大小,.,A,B,C,D,解,:,DCA,是,ABC,的一个外角,(,已知,),B,=,DCA,-,A,=100,-,45,=55,又,DCA,+,BCA,=180,(,平角,=180,).,ACB,=80,(,等式的性质,).,100,45,(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,).,已知,:,国旗上的正五角星形如图所示,.,求:A+B+C+D+E的度数,.,解:1是,BDF,的一个外角,(,外角的意义,),分析,:,设法利用外角把这五个角“凑”到一,个三角形中,运用三角形内角和定理来求解,.,1=,B,+,D,(,三角形的一个外角等,于和它不相邻的两个内角的和,).,2=,C,+,E,(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内,角的和,).,又,A,+1+2=180,(,三角形内角和定理,).,又,2,是,EHC,的一个外角,(,外角的意义,),A,B,C,D,E,F,1,H,2,A,+,B,+,C,+,D,+,E,=180,(,等式性质,).,拔尖自助餐,1.(1),如图,(,甲,),，在五角星图形中，求,A,+,B,+,C,+,D,+,E,的度数,.,(2),把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和,与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？,A,E,A,B,C,D,A,E,(,甲,),E,B,C,D,D,C,B,(,乙,),(,丙,),相等，也可凑到一个三角形中,.,当堂检测,ABC,中,若,A,B,C,则,ABC,是（,）,A.,锐角,B.,直角,C.,钝角,D.,等腰,一个三角形至少有（,）,A.,一个锐角,B.,两个锐角,C.,一个钝角,D.,一个直角,B,B,证明：,1+,4=180,2+,5=180,3+,6=180,1+,2+,3+,4,+,5,+,6=3,180,=540,又,4+,5+,6=180,(,三角形内角和定理,),1+,2+,3=540,-,180,=360,3.,已知：,1,，,2,，,3,是,ABC,的三个外角,求证：1+2+3=360,.,C,A,B,3,1,2,6,4,5,4.,在,ABC,中,A,=80,B,=,C,求,C,的度数,.,解：在,ABC,中,A,+,B,+,C,=180,，,A,=80,B,+,C,=100,B,=,C,B,=,C,=50,A,B,C,5.,已知三角形三个内角的度数之比为,1:3:5,，求这三个,内角的度数,.,解：设三个内角度数分别为：,x,3,x,5,x,.,列出方程,x,+3,x,+5,x,=180,x,=20,答：三个内角度数分别为,20,60,100,.,三角形内角和定理,三角形三个内角的和等于,180,.,ABC,中,A,+,B,+,C,=180,.,推论,1:,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,.,推论,2:,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,.,小,结,