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第二篇 几 何,第三章 小结,介绍了图形变换和投影中的若干问题：图形变换的基本描述 图形变换的几何化表示 投影变换（深度）和投影视图 透视变换,图形变换的基本描述,所有的变换均基于点的变换；采用向量、矩阵和齐次坐标的形式来描述图形的变换十分方便；一个普通坐标的点P=(Px,Py,Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx,wPy,wPz,w)，其中w不等于零。把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。,图形变换的基本描述,三维齐次坐标有_个分量。A、2B、3C、4D、5写出下列齐次坐标表示的二维坐标。（6，18，3），（5，8，1），（4，6，8）,二维基本变换,5种二维基本变换的变换矩阵都可以用如下的3*3矩阵来描述：,（1）左上角的2*2子块可实现比例、旋转、对称、错切四种 基本变换；（2）左下角的1*2子块可实现平移变换；（3）右上角的2*1子块可实现投影变换；（4）右下角的1*1子块可实现整体比例变换。,二维基本变换,二维基本变换,二维基本变换,二维基本变换,1、在齐次坐标系中，写出下列变换矩阵：（1）整个图形放大2倍。（2）x向放大3倍，y向放大4倍。（3）y方向上移10个单位，x方向上右移5个单位。（4）对称于-45线的坐标变换（5）图形绕原点顺时针旋转90,三维基本变换,旋转、比例、错切、对称,透视投影,总体比例,平移,三维基本变换,1、二维变换中绕原点的旋转相当于三维变换中绕_轴旋转。A、XB、YC、ZD、以上都不是,图形变换的几何化表示,根据仿射变换理论，从几何计算的理论和算法出发，探索了图形变换的几何化表示机制：用有向直线的求解系列函数构筑图形变换齐次矩阵；将图形变换与基本几何有机地联系在一起；统一了平移、旋转、错切、对称和比例等坐标变换。,二维组合变换,1、已知三角形各顶点坐标为（10，10），（10，30），（30，15），试对其进行下列变换，写出变换矩阵，画出变换后的图形。（1）沿X向平移20，沿Y向平移15，再绕原点旋转90度（2）绕原点旋转90度，再沿X向平移20，沿Y轴平移152、如下图所示三角形ABC，将其关于A点逆时针旋转60度，写出其变换矩阵和变换后图形各点的规范化齐次坐标。,二维组合变换,3、已知三角形ABC各顶点的坐标A(3,2)、B(5,5)、C(4,5)，相对直线P1P2(线段的坐标分别为：P1(-3,-2)、P2(2,3)做对称变换后到达A、B、C。试计算A、B、C的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵。）4、求以直线L作为对称轴的对称变换矩阵。,二维组合变换,投影变换,1、将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的 过程称为投影变换。2、根据视点的远近，投影分为平行投影和透视投影。当投影中心（观察点）与投影平面之间的距离为无 穷远时，为平行投影，否则为透视投影。,轴测变换,轴向变形系数下的轴测变换矩阵：,用轴间角表示的轴测变换矩阵：,物体和连同确定它的空间直角坐标系,沿不平行于任一坐标面的方向,用平行投影法投影到单一投影面上，在投影面上得到的立体感图形的过程称为轴测变换。,透视变换,透视变换的基本原理：与画面成一角度的平行线簇经透视变换后交于灭点。,透视变换,不与投影面平行的任一组平行线投影后收敛于一点，此点称为灭点 一般说来，三维图形中有多少组平行线就有多少个灭点。平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称为主灭点。主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定，并据此将透视投影分类为一点、二点或三点透视。,1、透视投影中主灭点最多可以有_个。A、0B、1C、2D、3,灭点的求取,1、灭点可以看作是无穷远点经透视变换后得到的点；2、齐次坐标系中沿坐标轴三个方向的无穷远点是单位矩 阵E的前三行构成的向量；3、对单位阵E实施透视变换就可以进行灭点的求取。,一灭点的求取,把单位立方体绕y轴旋转y角，然后进行投影变换，则,平行于x轴的向量将在投影面xoy上有灭点：平行于z轴的向量将在投影面xoy上有灭点：,二灭点的求取,将物体绕x轴转 x角(Rx)，绕y轴转 y角(Ry)，再施以变换Pz即得三灭点透视，变换为：,三灭点的求取,规格化矩阵的前三行，即得原来分别平行于x，y，z轴的向量经变换后的投影分别交于三个灭点：,谢谢观看！,